§4.2.1 直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系的特点.2.会用代数方法判断直线和圆的位置关系.
3.会用几何方法判断直线和圆的位置关系. 4、解决有关直线和圆的位置关系的问题
重点：会用几何方法解决直线和圆的位置关系. 难点：会用几何方法解决直线和圆的位置关系.
【问题导学】请阅《必修2》P后回答下列问题：
点到直线=0的距离公式是______________________。
2、直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
____个
____个
____个
判
定
方
法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d____r
d____r
d____r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ____0
Δ____0
Δ____0
【预习自测】
1、判断直线3+4+2=0与圆+—2=0的位置关系，若有交点，求出它们的交点坐标。
代数法： 几何法：
2、直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为______ __．
3、过点(－3,4)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程为___ _____．
【典例探究】
例1、求过点P(4，0)的直线的斜率的值或范围，使得与圆=8 分别满足下列关系：
①相切； ②相交； ③相离
例2、若过点P(—1，—2)的直线被圆+—2—2+1=0所截得的弦长为，求直线的方程。
【总结提升】
1、判断直线与圆的位置关系有两种方法：
代数法：联立直线与圆的方程组，方程组无解时，直线与圆 ；方程组有1组解时，直线与圆 ；方程组有2组解时，直线与圆 。
几何法：判断圆心到直线的距离与圆的半径的关系，当<时，直线与圆 ；
当=时，直线与圆 ；当>时，直线与圆 。
【课后作业】
1、已知点M(a,b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆D的位置关系是( )
A．相切 B．相交C．相离 D．不确定
2、以为圆心、且与直线相切的圆的方程为 ；
3、过点且与圆=1相切的直线方程为__________________________。
4过点且与圆=2相切的直线方程为_______________________。
5、为过圆=8内的点且倾斜角为的弦：
(1)当=135时，求；
(2)当弦被点平分时，求直线的方程。
6．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为2，求圆C的方程．
课件16张PPT。 4.2.1 直线、圆的位置关系问题1：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？问题导学一问题导学二问题导学3：认真阅读例1，当直线与圆用方程表示后，我们得到判断直线与圆的位置关系的方法有：解法一，（代数法）：联立直线方程与圆方程的方程组，消元后得一元二次方程，利用判别式的符号进行判断，完成下表 012问题导学3：认真阅读例1，当直线与圆用方程表示后，我们得到判断直线与圆的位置关系的方法有：解法二，（几何法）：利用圆心到直线的距离与半径之间的关系判断：1、判断直线:3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系；若有交点，求出它们的交点坐标。l解法一（代数法）：消去y，得预习自测所以，直线l与圆相切，有1个公共点解上面的方程组得 1、判断直线:3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系；若有交点，求出它们的交点坐标。解法二（几何法）：所以,直线l与圆相切，有1个公共点.
以下与解法一相同。圆心（1,0），半径r=1预习自测2、直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5
所截得的弦长为______ __．
3、过点(－3,4)且与圆x2＋y2＝25相切
的直线方程为___ _____．3x－4y＋25＝0例1、求过点P(4，0)的直线 的斜率 的值或范围，
使得 与圆 分别满足下列关系：
①相切； ②相交； ③相离
?解一:依题意，设过P点的直线方程为y=k(x-4)，则(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0??= - 32(k2 - 1)(用点斜式设出直线的方程)待定系数法①当?==-32(1k2-1)=0时，②当?=-32(1k2-1)>0时，③当?=32(1-k2)<0时，即 k>1 或 k< -1时，直线与圆相离.即 -1< k <1时，直线与圆相交; 即k= -1 或k=1时，直线与圆相切; 解二:依题，设过P点的直线方程为y=k(x-4)，则圆心（0，0）到该直线的距离为∴ k= -1 或k=1时，直线与圆相切①∴ k>1 或 k< -1时，直线与圆相离∴ -1< k <1时，直线与圆相交②③例2、已知过点 的直线 被圆
所截得的弦长为 ，求直线 的方程并画出图形。 分析：圆心（1，1），半径 r=1解：由直线被圆所截得的弦长为 得圆心到直线的距离为若直线 的斜率不存在，易知直线与圆相离，不符合题意则直线 的斜率存在且设为 ，则直线方程为即由圆心到直线的距离得解得：注意：当直线的斜率不知道而要设时，必须考虑直线的斜率是否存在。课堂小结：1、判断直线与圆的位置关系两种方法方法一：联立直线方程与圆的方程组成的方程组，
利用方程组的解的个数判断直线与圆的
位置关系：方法二：利用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系：方程组无解： 相离
方程组有一组解：相切
方程组有两组解：相交d>r：相离
d=r：相切
d再求出半径即可．4.2.2 圆与圆的位置关系
【学习目标】1、掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；
2、通过两圆的位置关系，培养学生分析问题及数形结合的能力；
重点： 两圆的五中位置关系与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系
难点： 两圆位置关系及判定。
【课前导学】 阅读必修2课本P129～130的内容后完成下表：（两圆圆心距为，
半径分别为R、r）：
图形
公共点个数
0
1
2
1
0
公切线条数
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
、R、r
间的关系
=R+r
=R—r
【预习自测】
1、⊙C1和⊙C2的半径分别为3cm和4cm， 求⊙C1和⊙C2的位置关系.设:
(1)C1C2=8cm ______ (2)C1C2=7cm ________
(3)C1C2=5cm _______(4)C1C2=1cm _________ (5)C1C2=0cm _______
2、判断下列圆与圆的位置关系：
(1) 圆与圆的位置关系是
(2) 圆与圆的位置关系是
3、圆与圆的公切线条数是 条
【典例探究】
变式：圆与圆相交，求实数的取值范围？
例2、若圆C1：++2+2=8与圆C2：+—2+10=24交于A、B两点：
(1)求直线AB的方程；(2)求|AB|；
【总结与提升】
1、已知两圆圆C1：与C2：的圆心距为，则
两圆外离； 两圆外切；
两圆相交； 两圆内切；
两圆内含
2、当两圆的方程中系数相同时，将两圆方程相减即得 所在的直线方程。
【反馈检测】
1、若0<<+1，则圆与圆=2的位置关系是 。
2、以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程是
3、圆与圆的交点坐标是 。
4、已知两圆，求以两圆公共弦为直径的圆的方程。
5、已知圆，圆，为何值时，(1)圆与圆相外切；(2)圆与圆内含．
课件15张PPT。圆与圆的位置关系点与圆的位置关系点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜rOrrrdOldldl直线l与⊙O相离 d > r ;直线l与⊙O相切 d = r ;直线l与⊙O相交 d < r ;直线与圆的位置关系无公共点一个公共点二个公共点两圆的位置关系有哪些？两圆的位置关系43210d>R+rR+r>d>|R-r|d<|R-r|两圆位置关系的性质与判定性质判定0R―rR+r同心圆内含外离 外切相交内切d 1、⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm， 求⊙O1和⊙O2的位置关系.设:
(1)O1O2=8cm ______
(2)O1O2=7cm ________
(3)O1O2=5cm _______
(4)O1O2=1cm _______
(5)O1O2=0cm _______外离外切相交内切内含预习自测外切内切4典题探究【总结与提升】公共弦【反馈检测】相交（-1,2）或（-1，-2）4、已知两圆求以两圆公共弦为直径的圆的方程。4.2.3 直线与圆的方程的应用
【学习目标】 1、理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用；
2、会用“数形结合”的数学思想解决问题； 3、会用坐标法解决几何问题.
重点与难点：直线与圆的方程的应用
【课前导学】（ 阅读课本P130～132的内容后，完成下列内容）
1、已知点、，则.
2、①圆与圆的位置关系有________、________、________、________、________；
②判断圆与圆的位置关系的方法有_______法和__________法。 ③填空：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
圆心距d与两圆半径r1、r2的关系
3、用坐标法解决几何问题的步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系，用______________表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； （2）通过_____________，解决代数问题； （3）将代数运算结果______________________。
【预习自测】
1、圆心在(—3，4)、且与轴相切的圆的方程是__________________________.
2、过点(5，12)且与圆=169相切的直线的方程是__________________________.
3、直线：2—=2被圆C：=9所截得的弦长为_________.
【典例探究】
例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，拱高A6P6=15米，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．
变式：P132练习第3题
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
【总结与提升】
【反馈检测】
若直线+1=0与圆=2相切，则的值为( )
A、±1 B、±2 C、1 D、1
P132练习第2题
3、P132练习第4题
课件18张PPT。判断两圆位置关系几何方法两圆心坐标及半径（配方法） 圆心距d
（两点间距离公式） 比较d和r1，r2的大小，下结论代数方法 消去y（或x）复习:相离相交外切内切内含代数几何 4.2.3 直线与圆的方程的应用 【学习目标】
1、理解、掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用；
2、会用“数形结合”的数学思想解决问题；
3、会用坐标法解决几何问题.
重点与难点：
直线与圆的方程的应用3、用坐标法解决几何问题的步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系，用______________表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
（2）通过_____________，解决代数问题；
（3）将代数运算结果______________________。坐标和方程代数运算“翻译”成几何结论例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84m，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，拱高A6P6=15m，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．思考:(用坐标法)
1.圆心和半径能直接求出吗？
2.怎样求出圆的方程？
3.怎样求出支柱A3P3的长度？【课内探究】A6P6A3P3AA2A1A5A4B解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .答：支柱A3P3的长度约为11.59m.A6P6A3P3AA2A1A5A4B变式： P132练习第3题某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?提问：请说说你的解题思路例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.A(-10,0)B(10,0)P(0,4)分析：将自然语言转化为图形语言，建立适当的直角坐标系证明问题。由已知，可选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，关键在求圆心坐标。M(5,y)y>3?E例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)变式和例2展示：O’O’解：如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系。设过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得：所以，即：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。小结： 用坐标法解决问题的步骤——“三步曲”1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地）3、把代数运算结果“翻译”成几何结论几何 代数几何P132练习第4题：等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且 AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP.(6,0)(2,0)(0,0)思考：
如何建立坐标系？
如何设△ABC的边长？D(6,0)(2,0)(0,0)2.过原点O作圆 的弦OA.(1)求弦OA中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程. 备选练习：1.求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得的弦长.3、点M在圆心为C1的方程：x2+y2+6x-2y+1=0，
点N在圆心为C2的方程：x2+y2+2x+4y+1=0，
求|MN|的最大值.5.自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反
射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0
相切，求反射光线所在直线的方程l : 4x+3y+25=0或3x+4y+21=0解二:利用|O’P|2=|O’M|2+|MP|2=|O’M|2+|OM|2得:m=3已知圆M的方程是x2+(y-2)2=1，点Q是x轴上的动点，
QA，QB分别切圆M于A、B，求弦AB中点P的轨迹方程3.有一台风中心位于城市O的东偏南θ( )的方向
300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45。方向
移动。台风袭击的范围为圆形区域，当前半径为60km，
并以10km/h的速度不断增大。问几小时后该城市开始受到
台风的侵袭2.自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线，交圆得弦BC，求弦BC的
中点P的轨迹方程。4. 已知实数x,y满足x2+y2=3(y≥0)， ,求证：
(1) (2) 5.已知圆C1:x2+y2=2x+2y-8=0与C2:x2+y2-2x+10y-24=0
相交于A、B两点，(1)求圆心在直线y=-x上，且经过A，B
两点的圆的方程；(2)求经过A，B两点且面积最小的圆
的方程6.如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作以圆与圆O
的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，求证：EF
平分CD7.过两圆x2+y2-1=0和x2-4x+y2=0的交点且与直线x- y-6=0
相切的直线方程8.已知RtΔABC中，∠C=90。，AC＝8，BC＝6，P是ΔABC
内切圆上的动点，试求点P到ΔABC三个定点距离的平方
和的最大值和最小值
