§3.3.1～3.3.2 两直线的交点坐标及两点间的距离
【问题导学】阅读教材P后回答下列问题：
已知两直线：=0和：=0相交，如何求出它们的交点坐标？
几何元素及关系
代数表示
点A(，)在直线：=0上
直线与的交点是 A(，)
2、两直线方程联立得方程组，方程组有唯一解两直线 ；
方程组无解两直线 ；方程组有无数个解两直线 。
3、：与 ；
与 ；与 。
4、，则= ，= 即为P、P间的距离。
【预习自测】
1、直线2+3=12和—2=4的交点坐标是 。
2、判断下列各对直线的位置关系：
(1) ：2—3=7和：4+2=1 ； (2) ：2—6=10和：= 。(3) ：+=3和：+=1 。
3、若点A(，—5)和B(0，10)的距离为17，则= 。
【知识拓展】当λ变化时，方程3 + 4–2+λ(2 + +2) =0表示什么图形？图形有何特点？
。
【典例探究】
例1、求过两条直线x+2y=1和2x－y=7的交点、且垂直于直线x+3y=5的直线的方程。
变式：过点P（3,0）作一直线，使它夹在两直线与之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程。
例2、求证：三角形两边中点所连线段平行于第三边且等于第三边的一半(提示：建立适当的坐标系) 。
【课后作业】
1、 三条直线相交于一点，则
2、以A(3，—4)、B(2，0)、C(6，1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形
3、已知点P在轴上，且与点的距离为13，则点P的坐标为
4、求满足下列条件的直线方程。
（1）经过两条直线的交点，且垂直于直线
（2）经过两条直线的交点，且平行于直线
5、已知直线：++6=0和：(—2)+3+2=0，分别求实数的值，使得：
(1)∥； (2)⊥； (3)相交。
6、已知△ABC的顶点A（5,1），AB边上的中线CM所在直线方程，AC边上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程。
课件18张PPT。两直线的交点坐标及两点间距离必修2第三章点P(x0,y0)和斜率k点斜式斜截式两点式截距式斜率k,y轴上的纵截距b在x轴上的截距a,在y轴上的截距bP1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x轴的直线不垂直于x轴的直线不垂直于x、y轴的直线不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线一、复习提问：一般式任意直线【问题导学】相交平行重合结论1：求两直线交点坐标方法----联立方程组练习：判断下列各对直线的位置关系.
① l1: 3x＋4y－5＝0， l2: 6x＋8y－10＝0 ；
② l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
③ l1: x－y=0， l2: 3x＋y－10＝0.【问题导学】如何根据两直线的一般式方程的系数关系 来判定两直线的位置关系？重合平行相交重合平行相交【问题导学】 如何根据两直线的方程系数之间的关系 来判定两直线的位置关系？重合平行相交（4）l1与l2相交?A1B2-A2B1 0(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0 (或A1C2-A2C1≠0).对于两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.结论2：用直线方程系数判断两直线位置关系的方法【问题导学】(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.(3)l1与l2重合?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0 (或A1C2-A2C1=0). 【预习自测】相交平行平行【展示点评】例2、求证：三角形两边中点所连线段平行于第三边且等于第三边的一半(提示：建立适当的坐标系) 。例2、求证：三角形两边中点所连线段平行于第三边且等于第三边的一半。yx已知在△ABC中、D、E分别是AB
的中点，求证：两直线交点的求法---联立方程组。
2.两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。
3.共点直线系方程及其应用
课堂小结【反馈检测】18发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与
直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）【知识拓展】表示什么图形？图形有何特点？=0时，方程为3x+4y-2=0xy=1时，方程为5x+5y=0l2=-1时，方程为x+3y-4=00l1l3上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0 直线A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2）=0是表示过两直线
A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。结论3：共点直线系方程3.3.3-4 点到直线的距离及两平行线间的距离
【学习目标】1、让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用；
2、会用点到直线距离求两平行线间的距离；
重点： 1、点到直线的距离公式的推导思路分析；2、点到直线的距离公式的应用
难点： 点到直线的距离公式的推导思路。
【课前导学】 阅读必修2课本P106～110的内容后回答下列问题：
1、点到直线的距离：如图，点到直线：Ax+By+C=0的 线段
的长度，叫点到直线的距离，且
2、问题：已知点P（x0,y0）的坐标和直线l:Ax+By+C=0方程，如何求点P到直线l的距离？
方法一：①求垂线PQ的方程（由PQ⊥以及直线的斜率可知垂线PQ的斜率，点斜式）
②求交点Q坐标（联立方程组求解）③两点间距离公式
此方法思路自然，但运算非常繁琐。
方法二：如图，设，则直线与轴和轴均相交，过点P
分别作轴、轴的平行线，交直线于R( , )和S( , )。
故=，
=,
设从而由等面积法 得 ，
故=__________________________________。
因此，点 。
思考：（1）当A=0或B=0时，上述公式是否成立？（2）使用该公式之前需将直线方程化为 式.
【预习自测】
1、（1）P（-2，3）到直线y= -2的距离是________
（2）P（-1，1）到直线3x= 2的距离是_________
（3）P（2，-3）到直线x+2y+4= 0的距离是_______
（4）原点到直线3x+2y-26= 0的距离是______
（5）P（2，0）到直线y= 2x的距离是______
【典例探究】
例1、 已知点，求ΔA BC的面积。
例2、求直线：3—2—4=0和：3—2+5=0间的距离。
变式：求证：两条平行线
【总结与提升】1、平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
2、两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
【反馈检测】
1、若点在直线：—10=0上，为原点，则的最小值是( )
A、2 B、 C、2 D、
6、在轴上求一点P，使以点A(1，2)、B(3，4)和P为顶点的ΔPA B的面积为10。
课件17张PPT。点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离点到直线距离公式xyP0 (x0,y0)O|y0||x0|x0y0点到直线距离公式xyP0 (x0,y0)O|x1-x0||y1-y0|x0y0y1x1lP0.: Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离QP0（x0，y0）l:Ax+By+C=0问题：求点P0（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。 此方法思路自然，但运算非常繁琐。法二：P0(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,由三角形面积公式可得：?在使用该公式前，须将
直线方程化为一般式．注： ?A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离． 1、
（1）P（-2，3）到直线y= -2的距离是______
（2）P（-1，1）到直线3x= 2的距离是______
（3）P（2，-3）到直线x+2y+4= 0的距离是
_______
（4）原点到直线3x+2y-26= 0的距离是______
?（5）P（2，0）到直线y= 2x的距离是______
?
?
【预习自测】解：设AB边上的高为h，AB的方程为xyC (-2,0)O-1122331B (2,1)A (1,3)即例、已知点A（1，3）,B（2，1）,C（-2，0），求△ABC的面积-2例2： 求直线l1:3x-2y-4=0与l2:3x-2y+5=0的距离。两平行线间的距离处处相等解：在l2上任取一点，例如P(0,2.5)则l1与l2的距离等于P到l1的距离?直线到直线的距离转化为点到直线的距离任意两条平行直线都可以写成如下形式：PQ思考：
任意两条平行线的距离是多少呢？注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。两平行线间距离公式（2）两平行直线间的距离： ，注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意:用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。【总结与提升】【反馈检测】6、在x 轴上求一点P，使以点A(1，2)、B(3，4)和P为顶点的ΔPA B的面积为10。课件22张PPT。两直线的位置关系与对称问题学习目标:诊断例题例题2. 判断下列各对直线的位置关系.
① l1: x－y=0， l2: 3x＋3y－10＝0；
② l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
③ l1: 3x＋4y－5＝0， l2: 6x＋8y－10＝0.练习:若l1: x+my+6＝0， l2: (m-2)x+3y+2m＝0，则
①当 时，l1与l2平行；
②当 时， l1与l2垂直 ；
③当 时， l1与l2相交；
④当 时， l1与l2重合.关于x轴的对称点为 ;
关于y轴的对称点为 ;
关于原点的对称点为 06 一 两条直线的位置关系【典例探究】 二 对称问题解二：解一：解二：解三：解：【总结提升】 1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为_____________.2. 点P(a,b)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q(a’,b’)可利用l是PQ的垂直平分线列方程组求得.3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称点问题。(轨迹转移法）4. 直线关于直线的对称直线问题可转化为点关于直线的对称点问题。(2a-x,2b-y)【反馈检测】DA解：两直线的平行与垂直及对称问题
【学习目标】
掌握两直线平行与垂直的条件、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，能把握对称的实质，并能应用对称性解题.
【课前导学】
1.平面内的两条直线的位置关系
若直线或; 直线或.
(1)∥ 且b1≠b2或__________ 且≠0(或≠0).
(2)l1⊥l2______ ___或______ _____ .
(3)l1与l2相交______ ___或______ _____ .
(4)l1与l2重合_____ _ ___或______ _____ .
2.中心对称与轴对称
(1)中心对称：P()关于点M(a,b)对称的点P′的坐标为P′ .
特例：当a=0,b=0时，P()关于原点的对称点为P′ .
(2)轴对称：求已知点P()关于已知直线l:y=kx+b的对称点P′(x,y)的基本方法是转化为求方程组的解,即由
特例:当k=0,±1或b=0时，分别有以下规律：
（ⅰ）P(x,y)关于x轴、y轴对称的点分别为 、 ..
（ⅱ）P(x,y)关于直线y=x,y=-x对称的点分别为_____________，
（ⅲ）P(x,y)关于直线y=x+b,y=-x+b对称的点分别为 (y-b,x+b) ， (-y+b,-x+b).
（ⅳ）P(x,y)关于直线x=a,y=b对称的点分别为 (2a-x,y)， (x,2b-y).
注意：当k≠±1，0时，不具有上述规律.
【预习自测】
1、当=___ _时，直线2+=2和+2=1垂直。
2、若直线3+4—12=0和+8—11=0平行，则=_____，此直线间的距离为_____。
3、点A(2，5)关于点B(1，1)的对称点C的坐标为(_____，_____)。
【典例探究】
例1、（1）已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，若l1∥l2，求实数m的值；
（2）已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.若l1⊥l2，求实数a的值．
例2、已知点A(2，3)和直线：2—=0，求：（1）A关于的对称点B的坐标；
（2）关于A对称的直线的方程；（3）直线：2—=4关于对称的直线的方程。
【总结提升】
【反馈检测】
1、点P(2，5)和Q(4，3)关于直线( )对称
A．x+y=0 B．x－y=0 C．x+y—1=0 D．x－y+1=0
2、直线3x—4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x+4y－5=0 B．3x－4y+5=0 C．3x+4y+5=0 D．3x－4y－5=0
3. 实数为何值时，：(+3)+4 =5—3和：2+(+5)=8：
（1）垂直； （2）平行； （3）相交。
4、平行四边形的两邻边所在直线的方程分别是x+y=1、3x—y+4=0，且其两条对角线的交点是M(3，2). (1)求点M关于x+y=1对称的点M′的坐标；(2) 求这个平行四边形其他两边所在的直线的方程。
