§4.1.1 圆的标准方程
【问题导学】阅读教材P后回答下列问题：
1、 在平面直角坐标系中， 两点确定一直线，一点和倾斜角也能确定一直线，
类比此性质，您知道确定一个圆的最基本要素是什么？_______________
2、圆的定义：平面上______ _____ _的点的集合 。
3、圆的方程的推导：
①建系设点：在坐标系中圆心A的坐标为，半径为，设 为圆上任意一点，
②列式：由圆的定义可知________ _； ③坐标化：由两点间的距离公式可得________ _；
④化简：化简得_____ _____（1）； ⑤检验证明。
则方程（1）称为圆心为、半径为的圆的标准方程。它是关于的 元 次方程。
4、特别地：圆心在原点，半径为的圆的标准方程是 。
【预习自测】
1、已知，则线段AB、BC的垂直平分线方程分是____________， 。
2、写出下列圆的标准方程：
（1)圆心，半径长是； ；（2）圆心，且过点； 。
3、写出下列方程表示的圆的圆心和半径：
( 1) 圆心： ，半径：
( 2) 圆心： ，半径：
( 3) 圆心： ，半径：
4、判断下列点与圆的位置关系：
( 1) ； (2) ； (3)
拓展探究：点在圆C：内的条件是什么？在圆上、圆外呢？
点在圆内 ；点在圆上 ；
点在圆外 。
【合作探究】
例1、（1）求以，为直径的圆的标准方程。
（2）求圆心为且与直线相切的圆的标准方程．
例2、若，求Δ的外接圆的方程。有能力的考虑多种解法？
变式：求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程
【小结反思】这节课我的收获是
。
【课后作业】
1、圆心是、且过原点的圆的标准方程是 。
2、过点且与轴切于原点的圆的标准方程 。
3、圆心在直线上的圆C与轴交于两点，则圆C 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、若点在圆外，则实数的取值范围是 ．
5、已知圆C的圆心在直线，并且经过原点和，求圆C的标准方程。
6、（选作）已知，问这四点共圆吗？为什么？
课件16张PPT。必修2第四章 圆的方程4.1.1圆的标准方程墨子在《墨经》中这样描述道：圆，
一中同长也 任何一条直线都可以用二元一次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？【新课引入】【学习目标】【重点】【难点】会根据不同的条件，利用代数法和几何法求圆的标准方程圆的标准方程求法及点与圆的位置关系（1）会利用学过的圆的定义及两点间的距离公式推出圆的标准方程；
（2）会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能判断点与圆的位置关系
（3）能根据不同条件求出圆的标准方程，体会数形结合思想。 4.1.1圆的标准方程【问题导学】1、在平面直角坐标系中， 两点确定一直线，一点和倾斜角也能确定一直线， 类比此性质，您知道确定一个圆的最基本要素是什么？2、如何用集合的观点来描述圆的定义？3、如何推导圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程？圆心与半径平面内与定点距离等于定长的点的集合【新课】圆的方程的推导①建系设点：在坐标系中圆心A的坐标为
A(a, b) ，半径为r，设M(x,y)为圆上任意一点.②列式：由圆的定义可知________ _； ③坐标化：由两点间距离公式可得________ _； ④化简：化简得_____ _____思考：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 把这个方程称为圆心为A(a，b) ，半径长为r 的圆的方程，并把它叫做圆的标准方程。A|MA|=r(x?a)2 + (y?b)2 =r2 【新课】圆的标准方程的特征
(x?a)2 + (y?b)2 =r2 a是 ， b是 ， r是 ， x,y的系数都是 ， 平方减号特别地,圆心为原点O(0,0)，半径r的圆的方程为：x2 + y2 =r2 圆心横坐标圆心纵坐标圆的半径1思考：方程(x?1)2 + (y+2)2 =m表示圆吗？ 1、已知A(1,12),B(7,10),C(-9,2)，则线段AB,BC的垂直平分线方程分是________________，________________。 【预习自测】2、写出下列圆的标准方程：
（1）圆心C(-3,4)，半径为 ： ________________。
（2）圆心C(8,-3)，且过点(5,1) ： ________________。3、写出下列方程表示的圆的圆心与半径：
（1）(x+3)2 + y2 =4 圆心_______，半径为____。
（2） (x?2)2 + (y+1)2 =5 圆心_______ ，半径为____。
（3） (x+1)2 + (y?a)2 =a2 圆心_______ ，半径为____。4、判断下列点与圆(x?3)2 + (y+2)2 =16的位置关系：
(1)A(2,1) ______; (2)B(3,2) ______;(3)C(0,1) ______.3x ? y ?1= 02x+y?4= 0(x+3)2 +(y?4)2=5(x? 8)2 +(y+3)2=25(? 3,0)2(2,?1)(?1,a)|a|在圆内在圆上在圆外【拓展探究】Cd点M (x0,y0)在圆C: (x?a)2 + (y ?b)2= r2内的条件是什么？在圆上？在圆外？结论：点与圆位置关系的判定方法 形的方面
几何方法数的方面
代数方法【合作探究】初步应用，快速作答例1:(1)求以点A (?1,2) ,B (7,8)在为直径的圆的标准方程。
(2)求圆心为(3,?4)且与直线3x?4 y?5=0相切的圆的标准方程。分析：求圆的标准方程关键就在于求圆心坐标与半径(1)(x?3)2 + (y?5)2 =25(2)(x?3)2 + (y+4)2 =16【合作探究】分组讨论，展示成果例2:若A (1,12) ,B (7,10),C(?9,2),求△ABC的外接圆的方程xyOMA(1,12)C(-9, 2)B(7,10)圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点分析：法一：先设圆M的标准方程为: (x?a)2 + (y ?b)2= r2
再把A,B,C三点坐标代入，解方程组即可法二：(x?1)2 + (y ?2)2= 100形的方面
几何方法数的方面
代数方法 变式 、已知圆心为C的圆经过点A(1, －1)和B(－1,1)，且圆心C在直线上l：x +y－2 =0，求圆心为C的圆的标准方程．【合作探究】规范解答 解：法一（代数法） 变式、已知圆心为C的圆经过点A(1, －1)和B(－1,1)，且圆心C在直线上l：x +y－2 =0，求圆心为C的圆的标准方程． 解：法二（几何法）【合作探究】规范解答【小结反思】这节课我的收获是什么？5.心得：借助圆的几何性质，可大大简 化
计算的过程与难度.1.牢记：圆的标准方程(x?a)2 + (y?b)2 =r2 4.掌握：圆的标准方程的两种求法
代数法（待定系数法），几何法2.明确：三个条件a ,b,r确定一个圆3.理解：点与圆的位置关系的判断方法。2.已知A (0,1) ,B (2,1), C(3,4), C(?1,2),问这四点共圆吗？为什么？ 思考？【能力提升】说方法1.方程 y 2 =1 ?(x?2)2，y = 1 ?(x?2)2分别表示什么图形？【课后作业】(x?2)2 + (y +3)2 =13(x?6)2 +y 2 =36Ca>3或a【学习目标】
1．掌握圆的一般方程及其条件，能进行标准方程与一般方程的互化，理解圆的一般方程与标准方程的联系。
2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。
3．进一步掌握配方法和待定系数法．
重点：1.圆的一般方程的形式特征。 2．待定系数法求圆的方程。
难点：坐标转移法求轨迹方程。
【问题导学】～直线有一般方程，圆也有吗?形式怎样? 请阅《必修2》P后回答下列问题：
1、圆心为(1，—2)、半径为2的圆的方程是_______ ，将它展开得
____ ______ ___________(要求方程右边为0)，这是一个___元___次方程。
2、形如++D+E+F=0的方程表示什么图形？
将它配方得 。
(1)当 时，方程表示圆，圆心为 ，半径为 。
(2)当 时，方程表示一个点 。
(3)当 时，方程无解，不表示任何图形。
3、圆的一般方程： 。
4、圆的标准方程特点：直接指出了 和 。
圆的一般方程特点：是一种和的系数 、且无二次项的 元 次方程。
【预习自测】
1．求下列各圆的圆心坐标和半径(先配成标准方程)：
方程
圆心
半径
+—6=0
++2=0
3+3+6—12+9=0
2．下列方程分别表示什么图形，若是圆，需指出圆心坐标和半径：
(1)+=0： ；(2)+—2+4=6： ；
(3) +—2=0： 。
3．方程++4—2+4+=0表示圆时，则 。
4、满足下列条件的圆++D+E+F=0(D2+E2_4F＞0）的位置分别有什么特点？
(1)D=0 (2)E=0 (3)F=0
【典例探究】
例1、求过三点A(—2，4)、B(—1，3)、C(2，6)的圆的方程，并求出此圆的半径长和圆心坐标。
例2、若B(—4，3)，动点A在圆=4上运动，点M满足，求点M的轨迹方程。
【变式】若B(—4，3)，线段AB的端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的
轨迹方程。
【总结提升】
1、圆的一般方程：++D+E+F=0(D+E—4F>0)。
2、求圆的方程方法：(1)几何法：直接算出圆心坐标和半径；
(2)待定系数法：①设标准方程；②设一般方程(过已知三点时最好用)。
3、用坐标转移法（相关点法）求点的轨迹方程的基本步骤：
【课后作业】
1．写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) +—2=5的圆心： ； 半径： 。
(2) ++2—2=0的圆心： ； 半径： 。
2．已知点P(5，3)，点M在圆+—4+2+4=0上运动，则|PM|的最大值是 ，
最小值是 。
3．平面直角坐标系中的四点A(0，1)、B(2，1)、C(3，4)、D(—1，2)能在同一个圆上？为什么？
4、已知点A(0，2)，动点B在圆+—4+2+4=0上运动，若点M满足，
求点M的轨迹方程。
课件15张PPT。4.1.2圆的一般方程教学重难点重点：1.圆的一般方程的形式特征。
2．待定系数法求圆的方程。难点：坐标转移法求轨迹方程。【学习目标】
1．掌握圆的一般方程及其条件，能进行标准方程与一般方程的互化，理解圆的一般方程与标准方程的联系。
2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。
3．进一步掌握配方法和待定系数法．复习引入1．回顾圆的标准方程；2．问题：圆还能用其他形式的方程表示吗？问题导学：1.已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是
_______ _.将它展开得____ _____
（要求方程右边为0），这是一个___元___ 次方程。
它的结构为二 二（*）问题导学：（*）配方得（1）当_______________时，方程表示一个圆，圆
心为________,半径为______________.
2.形如表示什么图形？（2）当_______________时，方程表示一个点_________
（3）当_______________时，方程无解，不表示任何曲线3.圆的一般方程：_____________________________________问题导学：4.圆的标准方程与一般方程各有什么特点：
标准方程：能够直接指出了 和 。
一般方程：表明圆的方程是一种特殊的
元 次方程。x2和y2的系数 ，且不等于0，方程中没有xy这样的二次项。圆心半径二 二相同预习自测1．求下列各圆的圆心坐标和半径(先配成标准方程)：2．下列方程分别表示什么图形，若是圆，需指出圆心坐标和半径：原点预习自测：4.满足下列条件的圆
的位置分别有什么特点？ （1）D=0（2）E=0（3）F=0解：（1）D=0时，圆心在y轴；（2）E=0时，圆心在x轴；（3）F=0时，圆过原点。典例探究例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。典例探究例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。圆心(0,5),半径典例探究例2、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆 上运动，点M满足 ，求点M的轨迹方程. 变式、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 坐标转移法变式、 已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 课堂小结1.圆的一般方程为：________________________
该圆的圆心坐标是 ，半径是 。一般方程化标准方程的方法是 。
2.求圆的方程：
（1）几何法：直接算出圆心坐标和半径（根据圆的几何性质）；
（2）待定系数法：①设标准方程；
②设一般方程（过已知三点时最好用）
3.坐标转移法求点的轨迹方程的基本步骤:配方法（设、转、代、求、答）课后作业：d+rd—r1．写出下列各圆的圆心坐标和半径：（1，0）（-1，b）2.已知点P(5，3)，点M在圆 上运动，
则|PM|的最大值是 ，最小值是 。64课后作业：3．平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？， 课后作业：4、 已知A（0，2）,动点B在圆 上运动，点M满足 ，求点M的轨迹方程.
