第三章 3.2 勾股定理的逆定理 同步练习

§3.2 勾股定理的逆定理
一、细心选一选．
1．下列四组线段可以构成直角三角形的是 ( )
A．4，5，6 B．1．5，2，2．5．
C．2，3，4 D．1，，3
2．分别以下列四组数为一个三角形的三边长 ( http: / / www.21cnjy.com )：①6，8，10；②13，5，12； ③1，2，3；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有 ( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．已知三角形的三边长为a，b，c，如果(a－5)2++c2－26c+169=0，那么此三角形的形状是 ( )
A．以a为斜边的直角三角形． B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
4．一个三角形三边的长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是 ( )
A．12 cm B．10 cm
C．12cm D．10cm
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 ( )
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6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c下列说法中错误的是 ( )
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
B．如果c2=b2－a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果(c + a)(c－a) =b2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
D．如果∠A：∠B：∠C=3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
二、认真填一填．
7．填空：
(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，则c= ；
(2) 在△ABC中，AC=6，BC=8，当AB= 时，∠C=90°．
8．在△ABC中，若a2= (b + c)(b－c)，则△ABC是 三角形．
9．若+与z2－10z+25互为相反数，则x= ， y= ，z= ，以 x，y，z为三边的三角形是 三角形．
10．△ABC中，若a2 + b2=25， ( http: / / www.21cnjy.com )a2－b2=7，又c=5，则最大边上的 高是 ．
11．如图，在由单位正方形组成的网格图中标 ( http: / / www.21cnjy.com )有AB，CD，EF， GH四条线段，其中，能构成一个直角三角形三边的三条线段是 ．
12．观察下列表格：
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请你结合该表格及相关知识可知b= ，c= ．
三、耐心解一解．
13．判断下列由线段a，b，c为三边组成的三角形是否为直角三角形．
(1) a=7，b=24，c=5 (2) a=2．5，b=2，c=1．5
(3) a=，b=1，c=
14．已知：如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．求证：AC⊥CD．
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15．如图是一块地的平面图，其中AD=4 m，CD=3 m，AB=13 m，BC=12 m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
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16．如图，E，F分别是正方形ABCD 中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF，AE，则△AEF是什么三角形 请说明理由．
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17．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2=AC2．求证：∠A=90°．
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18．已知：在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n2－1，b=2n，c=n2+1(n>1)．求证：∠C=90°．
19．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
(1) 猜想AP与CQ具有怎样的数量关系 并请证明你的猜想；
(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状并说明理由．
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参考答案
1．B 2．C 3 ( http: / / www.21cnjy.com )．C 4．A 5．C 6．B 7．(1) 15 (2) 10 8．直角 9．12 13．5 直角 10．2．4 11．AB，EF，GH 12．84 85 13．略 14．略 15．连接AC． AC=
==5，AC2+BC2=25+144=169，AB2=169．∴AC2+BC2=AB2．∴∠ACB=90°． S=S△ACB－S△ACD =×AC×BC－×AD×CD =×5×12
－×4×3 =24(m2) 16．△AEF是直角三角形．理由：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，∵AE2=EF2+AF2，∴△AEF是直角三角形． 17．连接EC，∵D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，∴BE=CE．∵BE2－EA2=AC2，∴ CE2－EA2=AC2．∴CE2=EA2+AC2．∴∠A=90°。 18．∵a2 + b2= (n2－1)2+ (2n)2=n4－2n2 +1 + 4n2=n4+2n2+1= (n2+ 1)2=c2，根据直角三角形的判定条件，得∠C=90°． 19．(1) AP=CQ，只需证△ABP
≌△CBQ即可． (2) 设PA=3 ( http: / / www.21cnjy.com )x，PB=4x，PC=5x，则CQ=3x，PQ=4x，可得CP2=CQ2 + PQ2，∴△PQC是直角三角形．