1.2.1.3 充要条件 课件（共20张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共20张PPT)
1.2.1.3 充要条件
新授课
1.结合具体实例,理解充要条件的意义,能够判断证明充要条件.
2.理解充要条件与数学定义之间的关系.
回顾:
勾股定理
知识点:充要条件
勾股定理的逆定理
如果一个三角形为直角三角形, 那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和, 那么这条边所对的角是直角.
在勾股定理中, “两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件.（p q）
在勾股定理的逆定理中, “三角形的一个角是直角”是“三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件；“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件.（q p）
概念生成
一般地, 如果p q, 且q p, 那么称p是q的充分且必要条件, 简称p是q的充要条件, 记作p q.
p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”, 或“p与q等价”.
当p是q的充要条件时, q也是p的充要条件.
问题:若p q, 则p为q的充要条件,其中 p这个条件唯一吗？请举例说明.
不唯一
例如, “三角形一边的平方等于其他两边的平方和”与“三角形一边上的中线等于该边长的一半”都可以用来定义直角三角形.
思考：上述例子从不同角度刻画了“直角三角形”这个概念，据此我们可以给出直角三角形的不同定义．再回忆你学过的其他数学定义，思考充要条件和数学定义之间有什么关系？
数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．
例1. 在下列各题中, 试判断p是q的什么条件.
(1) p:A B, q:A∩B=A；
(2) p:a=b, q: |a|=|b|；
(3) p:四边形的对角线相等, q:四边形是平行四边形.
解: (1) 因为命题“若A B, 则A∩B=A”为真命题, 并且“若A∩B=A, 则A B”也为真命题, 所以p是q的充要条件；
(2) 因为“a=b” “|a|=|b|”, 但是“|a|=|b|”不能推出“a=b”, 例如, “|1|=|-1|”而“1≠-1”, 所以p是q的充分条件, 但不是必要条件；
(3) 因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”, 并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”, 所以p既不是q的充分条件, 也不是q的必要条件.
(3) p:四边形的对角线相等, q:四边形是平行四边形.
一般地,
(1)若p q,但q p, 则称p是q的充分不必要条件;
(2)若p q, 但q p, 则称p是q的必要不充分条件;
(3)若p q, 且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
判断充要条件的方法：
(1)分清命题的条件和结论;
(2)找推式，判断p q和q p的真假;
(3)根据条件和推式得出结论.
归纳总结
1.指出下列各组中p是q的什么条件.
①p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
练一练
②p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
因为p和q代表的都是等腰三角形，所以p=q，即p q，p是q的充要条件.
四边形对角线互相平分 四边形是矩形；
四边形是矩形 四边形对角线互相平分，
所以p是q的必要不充分条件.
例2.指出下列各组中p是q的什么条件.
(1)p:x2-2x-3<0, q:|x|>3;
(2)p:平行四边形, q:正方形;
(3)p:x>0, q:x≥5.
解:(1)令A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
则A={x|x2-2x-3<0}={x|-13}={x|x>3或x<-3},
由下图可知,A B,且B A,所以p是q的既不充分也不必要条件.
-3
-2
-1
0
1
2
3
B
A
B
x
(2)p:平行四边形, q:正方形;
(3)p:x>0, q:x≥5.
(2)令A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
由下图可知B A,
平行四边形
正方形
B
A
(3)令A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
则A={x|x>0},B={x|x≥5}.由可知B A,
A
B
0
5
所以p是q的必要不充分条件.
所以p是q的必要不充分条件
归纳总结
记法 A={x|p(x)},B={x|q(x)}
关系 A B B A A=B A B,且B A
图示
结论
A
B
A
B
A(B)
A
B
A
B
如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,可得下表:
p是q的充分不必要条件.
p是q的必要不充分条件
p,q互为充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
练一练
1.设p:x<3,q:-1A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
C
例3. 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明:充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充要条件证明的思路：
(1)证明p是q的充要条件，明确p是条件，q是结论；
(2)推证p q证明充分性，推证q p证明必要性.
归纳总结
求证：关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
必要性：由于方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有一正根和一负根.
证明 充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2= <0，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2= <0，所以ac<0.
练一练
请举出初中数学中一些充要条件的命题,判断是否成立,并与同学交流.