1.3.1 不等式的性质 课件（共21张PPT） 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共21张PPT)
1.3.1 不等式的性质
新授课
1.能用作差法判断实数（或代数式）的大小.
2.掌握不等式的基本性质,会运用基本性质比较大小.
在生活中,存在着形形色色的数量关系,既有相等关系,又有不等关系.在数学中,用不等式表示不等关系.
请思考:生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢
将其转化为数学问题:b克糖水中含有a克糖(b>a),若再加入m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么
分析:起初糖水浓度为 ,加入m克糖后的糖水浓度为 ,只要证
即可,怎么证呢
实数a、b大小比较的依据
如果a-b是正数,那么a>b
如果a-b等于0,那么a=b
如果a-b是负数,那么aa-b>0 a>b
a-b=0 a=b
a-b<0 a知识点1：实数(代数式)的大小比较
结论：确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a-b与0的大小关系.
思考：比较两个实数的大小可以采取什么办法？
例1. 试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.
解：因为(x+1)(x+5)-(x+3)2
=(x2+6x+5)-(x2+6x+9)
=-4<0,
所以(x+1)(x+5)<(x+3)2.
方法归纳
比较两个实数(或代数式)大小的步骤：
作差
对要比较大小的两个数(或式子)作差
变形
对差进行变形(因式分解、通分、配方等)
判号
结合变形的结果及题设条件判断差的符号
定论
根据符号判断大小
练一练
1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.
练一练
解:(x-3)2-(x-2)(x-4)
=x2-6x+9-x2+6x-8
=1＞0
所以(x-3)2＞(x-2)(x-4).
回顾：在初中的学习中，你还记得不等式有哪些基本性质吗？
知识点2：不等式的基本性质
性质1 如果a>b,b>c,那么a>c.
性质2 若a>b,则a±c>b±c.
性质3 若a>b，c>0，则ac>bc(或 );
若 a>b，c<0 ，则ac思考：根据前面比较实数大小的方法，你能证明上述不等式吗？
分析 要证a>c,只需证a-c>0.
证明:因为a>b,且b>c,所以a-b>0,b-c>0,
从而a-c=(a-b)+(b-c)>0,即a>c.
性质1
如果a>b,b>c,那么a>c.（传递性）
分析 要证a+c>b+c,只需证(a+c)-(b+c)>0.
证明: 因为a>b,所以a-b>0,
所以(a+c)-(b+c)=a-b>0,即a+c>b+c.
性质2
如果a>b,那么a+c>b+c.(可加性)
分析 (1)要证ac>bc,只需证ac-bc>0.
证明: (1)因为a>b,所以a-b>0.
又因为c>0,所以(a-b)c>0,ac-bc>0,即ac>bc.
试用(1)的方法完成(2)的证明.
(可乘性)
性质3
(1)如果a>b,c>0,那么ac>bc;
(2)如果a>b,c<0,那么ac思考：由该性质可得ac>bc a>b吗？
例2. 试证明：若00,则
又a0.
因此
证明:
又b>0,m>0,故
练一练
1.试证明：若0因此
故
又0证明：
证明:因为a>b,所以a+c>b+c.
又因为c>d,所以b+c>b+d.
由不等式的性质1,得a+c>b+d.
性质4
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(同向可加性)
性质拓展
想一想：当c=d时，结合前面所学的性质，你发现了什么？
实际上，性质2和性质4可以合并在一起表达为：如果a>b,c≥d,那么a+c>b+d.
证明 (1)因为a>b,c>0,所以ac>bc.
又因为c>d,b>0,所以bc>bd.
由不等式的性质1,得ac>bd.
试用(1)的方法完成(2)的证明.
性质5
(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(2)如果a>b>0,c特殊地，当a>b>0时，an>bn,其中n∈N+,n≥2.
注意：该性质不能逆推,
如ac>bd a>b,c>d.
当 时，可得 ，即ab>0矛盾.
当 时，可得 ，即a=b与已知条件a>b>0矛盾.
所以 不成立，即
性质6
当a>b>0，,其中n∈N+,n≥2
以上不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.
（反证法）
证明: 假设
③
例3 . 给出下列结论：
①若ac>bc，则a>b； ②若a③若 <0，则a>b； ④若a>b，c>d，则a－c>b－d；
⑤若a>b，c>d，则ac>bd.
其中正确结论的序号是______.
判断不等式是否成立的方法:
(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.
(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;
二是取值要简单,便于验证计算.
归纳总结
练一练
1.若0A.1-a<1-b B.
C.a2>b2 D.
B
例4. (1)已知a>b,ab>0,求证：<;
(2)已知a>b,cb-d.
证明: (1)因为ab>0,所以 >0.
又因为a>b,所以由不等式的性质3,得 .即 .
(2)因为c-d.
又因为a>b,所以由不等式的性质4,得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.
根据今天所学，回答下列问题：
(1)怎样比较两个实数(代数式)的大小？
(2)不等式的基本性质都有哪些？