1.3.2 基本不等式 第1课时 课件(共15张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共15张PPT)
1.3.2 基本不等式
第1课时
新授课
1.理解和掌握基本不等式的证明过程及其几何意义.
2.会用基本不等式解决简单的证明问题.
有如图所示的两种广告牌：图(1)由两个等腰直角三角形构成，图(2)是一个矩形.试比较这两个广告牌面积的大小，并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.
，只有当时，等号成立.
S1=
S2=
a
b
a
b
S1=S2
>
知识点1：基本不等式的证明
？
当a=b，
证明：对于任意实数x和y，(x-y)2≥0恒成立，
思考：试结合完全平方公式证明.
当且仅当x=y时，等号成立.
即x2-2xy+y2≥0,所以 ,
取x=，y=，得
当且仅当a=b时，等号成立.
若取x=，y=
算术平均值
几何平均值
当且仅当a=b时，等号成立
因此基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
概念生成
成立条件
这个不等式称为基本不等式.
基本不等式的各种形式:
①
②
③
特别的:
④
⑤
如图, AB是半圆O的直径,点C是AB上一动点, AC=a, BC=b. 过点C作AB的垂线 交AB于点D,连接AD、OD、BD.
A O C B
D
利用三角形相似，可证得△ACD∽△DCB,从而CD=
从图可以看出，OD≥CD,用不等式表示
当且仅当点C与圆心O重合时，等号成立，即“半径大于或等于半弦”.
显然OD=OA= .
（“当且仅当”包含的两层含义：一是存在一个，二是只有一个.）
⌒
如图,AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=a,CB=b.过点O作AB的垂线，交AB于点F,连接FC.试利用FC≥OF，写出一个关于a,b的不等式，并将这个不等式与基本不等式进行比较.
⌒
A O C B
F
因为FC≥OF，≥
因为AC=a,CB=b，所以OF=,OC=AC-AO=
由勾股定理得：FC2=OC2+OF2
FC==
当且仅当点C与圆心O重合时，等号成立.
例1.已知a>0,b>0,c>0,求证： .
,当且仅当a=b=c时，等号成立.
上面三式相加，得
,当且仅当a=c时，等号成立.
,当且仅当b=c时，等号成立，
,当且仅当a=b时，等号成立，
证明：因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式，得
知识点2：基本不等式的简单应用
即:
已知x>0，求证： 2.
证明：因为x>0，所以
当且仅当
即x2=1，x=1时，等号成立.
练一练
例2. 设a>0,b>0,求证：
证明：因为a，b均为正数，由基本不等式
可知 (a+b)
即.
所以，当且仅当a=b时，等号成立.
≥
思考：本节课我们学习了以下几个不等式，你们能发现各式之间的大小关系吗
≥
二次幂平均值
调和平均值
几何平均值
算术平均值
本节课内容总结：
(1)基本不等式的概念.
(2)基本不等式的简单证明.
应用
成立条件
几何解释
框图结构