1.3.2 基本不等式 第2课时 课件(共16张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共16张PPT)
1.3.2 基本不等式
第2课时
新授课
1.能用基本不等式解决简单的最值问题.
2.能用基本不等式解决实际应用问题.
回顾:上节课我们学习了基本不等式,你能用符号语言和文字语言分别表述基本不等式吗？
符号语言:若实数a≥0,b≥0,则,当且仅当a=b时,等号成立.
文字语言:两个非负数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
把一段长为16cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表,并想一想当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大.
方案 长/cm 宽/cm 面积/cm2
方案1
方案2
方案3
..... ...... ...... ......
1
7
4
16
4
6
7
2
12
设矩形的长为xcm,宽为ycm,则x+y=8.
由基本不等式，得,即
所以xy≤16.又因为当x=y=4时，xy=16(即不等式xy≤16中的等号成立),
由此可知，边长为4cm的正方形的面积最大.
思考：类比上面的方法，说明：面积为16m2的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的正方形的周长最小.
当x,y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y时，xy取得最大值：
(2)若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y时，x+y取得最小值2.
当且仅当x=y=时，等号成立，
此时xy取得最大值
证明: (1)由基本不等式 和x+y=s,
两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.
所以
得
抽象概括
(2)由基本不等式 和xy=p,得
所以，x+y≥2 ,当且仅当x=y时，等号成立.
此时x+y取得最小值 .
两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.
(2)若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y时，x+y取得最小值2.
解：⑴因为x>0，所以
当且仅当
即x2=1，x=1时，等号成立.故y≥2.
例1. ⑴已知x>0，求函数 最小值；
⑵已知x<0,求函数 最大值.
⑵因为x<0，所以-x>0,所以
所以
当且仅当 ，即x=-1时，等号成立.故y≤-2
利用基本不等式求最值时，要特别注意需要满足的条件：
① “一正”：x,y是正数；
② “二定”：求积的最大值时(x+y)为定值，求和的最小值时xy为定值；
③ “三等”：x=y.
归纳总结
1.已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，求x+y的最小值；
(2)如果x+y＝15，求xy的最大值.
解:(1)x+y≥2＝2，即x+y的最小值是2；
当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤＝＝，即xy的最大值是，
当且仅当x＝y＝时,xy取最大值．
练一练
例2. 如图,动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成（接头处不计）
(1)现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
(2)若使每间禽舍面积为24m2,则每间禽合的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
因此，当每间禽合的长、宽分别设计为4.5m和3m时，可使每间禽含面积最大，最大面积为13.5m2 .
(1)设每间禽舍的长为xm,宽为ym,则4x+6y=36，即 2x+3y=18.
设S=xy(0当且仅当2x=3y时，不等式中的等号成立，此时
解：
即2≤18.所以S≤13.5.
解得
请你与同学合作，解决问题(2).
练一练
1.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元.根据题意，有
Z=150×+120×(2×3x+2×3y) =240000+720(x+y)≥240000+720×2.
当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
2.某公司一年采购某种货物600吨，每次采购x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次采购多少吨？
解：设总费用为y元，
则
当且仅当 ，即x=30时，等号成立，
即:每次采购30吨.
本节课内容总结：
（1）基本不等式求最值及求最值需满足的条件.
（2）基本不等式的实际应用.