1.4.1 一元二次函数 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共13张PPT)
1.4.1 一元二次函数
新授课
1. 掌握二次函数的概念、表达式、图象与性质；
2. 理解参数对二次函数图象的作用，掌握二次函数的图象的变换方法；
3. 会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值.
知识点 1：二次函数的图象和性质
回顾：初中阶段学习一元二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的过程.
y = x2
y = ax2 ( a ≠ 0 )
y = x2 + k
y = ( x – h ) 2
y = a ( x – h )2 + k ( a ≠ 0 )
y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )
思考：函数 y = a ( x – h )2 + k ( a ≠ 0 )的图象可以由函数 y = ax2 图象经过怎样的变换得到？
函数 y = a ( x – h )2 + k ( a ≠ 0 )的图象可以由函数 y = ax2 ( a ≠ 0 ) 图象经过向左（或向右）平移 | h | 个单位，再向上（或向下）平移 | k | 个单位得到.
即：
y = a ( x – h )2
向左 (或向右)
平移 | h | 个单位
y = a ( x – h )2 + k
y = ax2
向上 (或向下)
平移 | k | 个单位
如：函数 y = 2 ( x – 1 )2 – 1 可由 y = 2x2 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到.
问题 1 ：通过什么方式可以将一元二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 转化为y = a ( x – h )2 + k 的形式？
一元二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 都可以通过配方化为：
y = a ()2 + ，
若设 h = – ，k = ，则有 y = a ( x – h )2 + k .
注：任何一元二次函数 都可以通过配方法，将一般式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )
化为顶点式 y = a ( x – h )2 + k .
问题 2 ：观察一元二次函数 y = a ( x – h )2 + k ( a ≠ 0 ) 的图象，说说你有什么发现？
o
x
y
( h，k )
y = a ( x – h )2 + k ( a > 0 )
o
x
y
( h，k)
y = a ( x – h )2 + k ( a < 0 )
（1）参数 a：决定二次函数图象的开口方向；
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下；
（2）参数 h：决定二次函数图象的对称轴及顶点；
对称轴是直线 x = h ；顶点横坐标为 h；
（3）参数 k：决定二次函数图象的顶点及最值；顶点纵坐标为 k，最值为 k.
一元二次函数 y = a ( x – h )2 + k ( a ≠ 0 ) 的性质
概念生成
知识点2：运用配方法解决相关二次函数问题
例 1 ：已知一元二次函数 y = x2 + 2x + 5，求：
（1）指出它的图象可以由函数 y = x2 的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及最大值或最小值.
解：（1）配方： y = x2 + 2x + 5 = ( x2 + 4x ) + 5 = ( x2 + 4x + 4 – 4 ) + 5
= ( x + 2 ) 2 + 3；
所以，函数 y = x2 + 2x + 5 可以由函数 y = x2 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到.
（2）已知一元二次函数 y = x2 + 2x + 5，指出它的图象的对称轴，并试述函数值的变化趋势及最大值或最小值.
（2）由（1）可知：y = ( x + 2 ) 2 + 3；该函数开口向上，对称轴为 x = 2；
变化趋势：在区间 ( – ∞，2 ) 上，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；
在区间 ( 2，+ ∞ ) 上，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；
最值：函数在 x = – 2 处取得最小值 3，即 ymin = 3.
方法归纳：
① 先配方，将一般式 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 化为顶点式 y = a ( x – h )2 + k ；
② 根据顶点式中的参数，直接读出函数的对称轴、顶点、变化规律及最值.
练一练
1.口述回答：抛物线 经过怎样的变换可以得到 抛物线？
解：
向左平移 1 个单位
向下平移 1 个单位
练一练
2. 若抛物线 y = x2 – (m – 2)x + m + 3 的顶点在 y 轴上，则 m = _____.
方法总结：
（1）一元二次函数 y = ax2 + bx + c 的对称轴为：x = – ；
（2）一元二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值为：x = .
2
3. 抛物线 y = 2x2 – 8x + 11 的最小值为 _____.
3
根据今天所学，回答下列问题：
（1）什么是二次函数？
（2）抛物线的变换规律是什么？
（3）二次函数顶点式中的三个参数 a、h、k 分别决定了二次函数图象的什么性质？
框图结构
二次函数
配方法
对称轴、顶点、最值
图象的变换
参数 a、h、k
概念、表达式
图象
性质