1.4.2 一元二次不等式及其解法 课件(共14张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共14张PPT)
1.4.2 一元二次不等式及其解法
新授课
1. 了解一元二次不等式的概念和一般形式；
2. 能理解三个二次的关系，并能够利用这种关系求解一元二次不等式.
知识点 1：一元二次不等式的概念
问题 1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是 24 m，围成的矩形区域的面积要大于 20 m2，则这个矩形的边长为多少米？（列出不等式即可）
设：这个矩形的一条边长为 x m，则另一条边长为 (12 – x) m，
由题意，得：(12 – x)·x > 20，其中x∈{ x | 0 < x < 12 }，
整理得：x2 – 12x + 20 < 0，x∈{ x | 0 < x < 12 } ①，
求得不等式 ① 的解集，即得到了问题的答案．
概念讲解
通常我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式；
一元二次不等式的一般表达式 ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) 或 ax2 + bx + c < 0 ，其中 a，b，c 均为常数，a ≠ 0；
如：问题1中得到的 x2 – 12x + 20 < 0，x∈{ x | 0 < x < 12 } 就是一个一元二次不等式.
思考：该如何求解不等式 x2 – 12x + 20 < 0，x∈{ x | 0 < x < 12 } ？
知识点 2：一元二次不等式的解法
分别从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，可以发现它们的内在联系，利用这种联系我们可以更简便的解决问题：
思考：对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，它们的联系又是怎样的呢？
y = x + 1
–1
1
方程 x + 1 = 0 的解为x = – 1
不等式 x + 1 > 0 的解为 x > – 1
不等式 x + 1 > 1 的解为 x > 0
① 画出函数 y = x2 – 12x + 20 的图象如图；
问题 2 ：利用一元二次函数图象求不等式 x2 – 12x + 20 < 0 的解集.
② 函数 y = x2 – 12x + 20 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为 2，10；
即当 x1 = 2，x2 = 10 时，方程 x2 – 12x + 20 = 0.
y=x2–12x + 20
y < 0
y > 0
③ 如图，x 轴将函数 y = x2 – 12x + 20 图象分成三段：
当 x < 2 或 x > 10 时，图象在 x 轴上方，满足 y > 0；
当 x = 2 或 x = 10 时，图象在 x 轴上，满足 y = 0；
当 2 < x < 10 时，图象在 x 轴下方，满足 y < 0；
综上，一元二次不等式 x2 – 12x + 20 < 0 的解集 { x | 2 < x < 10 }.
y = 0
y = ax2 + bx + c (a > 0)
方程 ax2 + bx + c = 0 的判别式 = b2 – 4ac > 0 = 0 < 0
方程 ax2 + bx + c = 0 的实数根
函数 y = ax2 + bx + c 的图象
不等式 ax2 + bx + c > 0的解集
不等式 ax2 + bx + c < 0的解集
问题 3：思考交流，完成下列填空.
有两个不相等的
实数根x1，x2
有两个相等的
实数根 x1 = x2
没有实数根
{ x | x < x1 或 x > x2 }
{ x | x1 < x < x2 }
例 1 ：求不等式 x2 – 5x + 6 > 0 的解集.
解：对于方程 x2 – 5x + 6 = 0，因为 > 0，所以它有两个实数根；
解得 x1 = 2，x2 = 3；
画出二次函数 y = x2 – 5x + 6 的图象；
结合图像，可知不等式 x2 – 5x + 6 > 0 的
解集为{ x | x < 2 或 x > 3 }.
2
6
y
x
3
练一练
1. 求不等式 9x2 – 6x + 1 > 0 的解集.
解：对于方程 9x2 – 6x + 1 = 0，因为 = 0，所以它有两个相等的实数根，
解得 ；
结合图像得不等 9x2 – 6x + 1 > 0 的解集为 .
画出二次函数 y = 9x2 – 6x + 1 的图象；
0.2
0.6
y
x
0.4
y = 9x2 – 6x + 1
练一练
2. 求不等式 – x2 + 2x – 3 > 0 的解集.
解：原不等式可化为： x2 – 2x + 3 < 0，
画出二次函数 y = x2 – 2x + 3 的图象，
结合图象得不等式 x2 – 2x + 3 < 0 的解集为 ，因此，原不等式的解集为 .
因为 = – 8 < 0，所以方程 x2 – 2x + 3 = 0 无实数根；
2
6
y
x
3
归纳总结
（1）检查 a 的符号：对于 a < 0 的一元二次不等式，把 a 化为正数；
（2）计算 的值：如果 ≥ 0，求出方程 ax2 + bx + c = 0 的根；
如果 < 0，说明方程 ax2 + bx + c = 0 无实数根；
（3）画出 y = ax2 + bx + c 的函数图象，结合图象得出不等式的解集.
解 ax2 + bx + c > 0 (a > 0) 和 ax2 + bx + c < 0 (a > 0) 的一般步骤
一元二次不等式的求解过程：
将原不等式化为 ax2 + bx + c > 0 (a > 0) 的形式
计算 = b2 – 4ac 的值
方程 ax2 + bx + c = 0
有两个不相等实根 x1，x2
方程 ax2 + bx + c = 0
没有实数根
原不等式的解集为
(–∞，x1)∪(x1，+∞)
原不等式的解集为 R
方程 ax2 + bx + c = 0
有两个相等实根 x1= x2
原不等式的解集为
(–∞，x1)∪(x2，+∞)
> 0
= 0
< 0
根据今天所学，回答下列问题：
1. 二次函数与一元二次方程、不等式之间有什么联系？
2. 求解一元二次不等式的步骤是什么？
y = ax2 + bx + c (a > 0)
方程 ax2 + bx + c = 0 的判别式 = b2 – 4ac > 0 = 0 < 0
方程 ax2 + bx + c = 0 的实数根
函数 y = ax2 + bx + c 的图象
不等式 ax2 + bx + c > 0的解集
不等式 ax2 + bx + c < 0的解集
有两个不相等的
实数根x1，x2
有两个相等的
实数根 x1 = x2
没有实数根
{ x | x < x1 或 x > x2 }
{ x | x1 < x < x2 }