2.2.1 函数概念 课件（共16张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共16张PPT)
2.2.1 函数概念
新授课
1. 能从集合的角度理解函数的概念；
2. 了解同一函数概念，并能判断两个函数是否为同一个函数；
3. 会求函数的定义域与函数值.
知识点 1：用集合语言理解函数的概念
回顾：观察下列图象，判断哪些是函数图象，并说一说初中学习的函数的定义是什么？
函数的基本特征：对于每一个 x 的取值，都有唯一确定的 y 值和它对应.
x
y
x
y
x
y
不是函数图象
不是函数图象
是函数图象
概念讲解
借助集合语言，给出函数定义：
给定实数集 R 中的两个非空数集 A 和 B，如果存在一个对应关系 f，使对于集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就把对应关系 f 称为定义在集合 A 上的一个函数，记作 y = f(x)，x∈A；
其中集合 A 称为函数的定义域，x 称为自变量，与 x 值对应的 y 值称为函数值，集合 { f (x) | x∈A } 称为函数的值域.
归纳总结
值域：{ f (x) | x∈A }
非空数集 A，{ x | x∈A }
定义域{ x | x∈A }
非空数集 B，{ y | y∈B }
y = f ( x )，x∈A
函数值
自变量
对应关系 f
子集
注：定义域即为集合 A，但值域 { f (x) | x∈A } 为集合 B 的子集.
对应关系 f
问题 1：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域就确定了吗？两个函数相等的条件是什么？
由定义域、对应关系、值域组成；其中函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；若定义域相同，对应关系完全一致，则两个函数相等.
知识点 2：判断两个函数是否为同一函数
思考：根据上述条件，你能判断出两个函数相等吗？
例 1：下列各组中的两个函数是否为同一函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：若要两个函数为同一函数，则必要有定义域相同，对应关系完全一致.
解：（1）因为 f (x) 的定义域是R，g (x) 的定义域是 [0，+∞)；两个函数的定义域不同，故不是同一函数；
（2）因为两个函数的对应关系不同，故不是同一函数；
（3）因为 f (x) 的定义域是{x | x ≠ –1}，g (x) 的定义域是R；故不是同一函数；
（4）f (x) 和 g (x) 虽然字母不同，但定义域及对应关系都相同，是同一函数.
方法总结
判断两个函数为同一函数的方法
若要两个函数为同一函数，则必要有定义域相同，对应关系完全一致；
例如： 与 的对应过程不同但结果相同，故是同一个函数.
（2）对应关系 f ：是数与数之间的对应，且指对应的结果，而非对应的过程；
注意：
（1）定义域：未指明定义域时，定义域是使解析式有意义的自变量取值范围；例如： 的定义域就是{ x | x ≠ 0 }；
练一练
⑤
下列各组函数中，表示同一函数的是_______.
① f (x) = 1， ；
② 求 ， ；
③ f (x) = x， ；
④ ；
⑤ .
知识点 3：求函数的定义域与函数值.
例 2：已知函数 ，求：
（1）函数的定义域；（2）f (– 3)， 的值；（3）当a > 0时，f (a)，f (a – 1)的值.
解：（1）使根式 有意义的实数 x 的集合是{ x | x ≥ – 3 }，
使分式 有意义的实数 x 的集合是{ x | x ≠ – 2 }，
所以，这个函数的定义域是
即 ；
（2）将 – 3 代入解析式，得： 同理
（3）已知函数 ，求：当a > 0时，f (a)，f (a – 1)的值.
（3）因为 a > 0，则 a – 1 > – 1 ，所以 f (a)，f (a – 1) 均有意义，
将 a 代入解析式，得： ；
将 a – 1 代入解析式，得：
方法小结：当 x = a 时，函数 f (x) 的函数值用 f (a) 表示.
练一练
1. 已知函数 f (x) = ，求：
（1） f (x) 的定义域；（2） f ( – 1)，f (2) 的值；（3）当 a ≠ – 1 时， f (a + 1) 的值.
解：（1）要使 f (x) 有意义，则 x ≠ 0，∴ f (x) 的定义域是 ( – ∞，0)∪(0，+∞)；
（2）f ( – 1) = = – 2，f (2) = ；
（3）当 a ≠ – 1 时，a + 1 ≠ 0，∴ f (a + 1) =
例 3 ：已知函数 y = f (x) 的定义域 [0，3]，求函数 y = f (3 + 2x) 的定义域.
解：令 u = 3 + 2x，那么 y = f (3 + 2x) 可以表示为 y = f (u)，
即 u = 3 + 2x∈[0，3]，
∵ y = f (x) 的定义域 [0，3]，∴ y = f (u) 的定义域也为[0，3]，
即 y = f (3 + 2x) 的定义域为 .
∴ 0 ≤ 3 + 2x ≤ 3
知识拓展：
用 g (x) 表示 u = 3 + 2x，即 u = 3 + 2x = g(x)，
所以 y = f (3 + 2x) = f (u) = f [ g (x) ]，一般称 y = f [ g (x) ]为复合函数.
2. 已知函数 y = f (x) 的定义域是 [1，2]，求函数 y = f (x + 1) 的定义域．
解：∵ y = f (x) 的定义域是 [1，2]，
∴ 在 y = f (x + 1)中，x + 1∈ [1，2]，
即 1 ≤ x + 1 ≤ 2，解得 0 ≤ x ≤ 1，
∴ 函数 y = f (x + 1) 的定义域是 [0，1]．
练一练
3. 若函数 y = f (x + 1) 的定义域是 [1，2]，求函数 y = f (x) 的定义域.
解：∵ y = f (x + 1) 的定义域是 [1，2]，即 1 ≤ x ≤ 2，
括号内整体是 x + 1，而 2 ≤ x + 1 ≤ 3；
∴ 函数 y = f (x) 的定义域是 [2，3] ．
注意：本题中函数 y = f (x + 1) 的定义域指的是括号中自变量 x 的取值范围.
练一练
根据今天所学，回答下列问题：
1. 如何判断两个函数是否为同一函数？
2. 怎么求函数的定义域和函数值？