2.3 函数的单调性和最值 第1课时 课件(共15张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共15张PPT)
2.3 函数的单调性和最值
第 1 课时
新授课
1. 通过具体实例，理解增函数、减函数、最值等概念；
2. 会用符号语言表达函数的单调性；
3. 能借助函数图象直观地判断函数的单调性.
知识点 1：函数的单调性
问题 1：如图是某只股票在一天内的价格变化图，请简述它的变化情况.
y / 价格
x / 时间
9:00
10:00
11:00
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15:00
思考：若上图是一个函数图象，你能用数学语言表达函数在各区间的变化情况吗？
问题 2：如何描述二次函数 f (x) = x2 的单调性.
回顾：在初中阶段，我们利用函数图象探究过函数值 f (x) 随自变量 x 的变化情况，描述这种变化情况的性质就叫做函数的单调性.
① 画出函数图象，由图象可知：
即：函数 f (x) = x2 在 ( – ∞，0 ] 上是单调递减的；
在 [ 0，+ ∞ ) 上是单调递增的.
在区间 ( – ∞，0 ] 上：函数值 f (x) 随 x 的增大而减小；
在区间 [ 0，+ ∞ ) 上：函数值 f (x) 随 x 的增大而增大；
思考：怎样用数学的符号语言表达函数值 f (x) 在区间 ( – ∞，0 ] 上单调递减呢？
设函数 f (x) 的定义域为 D：
概念生成
如果 x1，x2∈D，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2) ，那么就称函数 f (x) 是增函数；特别地，当区间 I D 时，函数 f (x) 在区间 I 上单调递增；
如果 x1，x2∈D，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) > f (x2) ，那么就称函数 f (x) 是减函数；特别地，当区间 I D 时，函数 f (x) 在区间 I 上单调递减；
如果函数 f (x) 在区间 I 上单调递增或单调递减，则称函数 f (x) 在区间 I 上具有单调性；此时，区间 I 为函数 f (x) 的单调区间.
f (x1)
f (x2)
f (x1)
y = f (x2)
问题 3 ：函数 y = f (x) 在定义域的某区间上存在 x1，x2 满足 x1 < x2，且
f (x1) < f (x2)，那么函数 y = f (x) 在该区间上一定是单调递增吗？
y
x
f (x2)
f (x1)
O
x1
x2
如右图所示，某区间上存在 x1，x2 满足 x1 < x2，且 f (x1) < f (x2)，但在该区间上，函数不单调.
注意：函数单调性的概念是： f (x) 在定义域的某区间上任意 x1，x2 ，满足 x1 < x2，且 f (x1) < f (x2)，则函数 y = f (x) 在该区间上一定单调递增.
例 1 ：设 f (x) = ( x < 0 )，画出 f (x + 3) ( x < – 3 ) 的图象，并通过图象直观判断它的单调性.
解：依题意可知 f (x + 3) = ( x < – 3 ) ，其图象可由 f (x) = ( x < 0 ) 的图象向左平移 3 个单位得到；
O
– 4
– 1
– 2
– 3
1
–5
x
– 4
– 1
– 2
– 3
1
y
y =
由 f (x + 3) 的图象可知：
该函数在区间 ( – ∞，– 3 ) 单调递减.
练一练
1. 根据函数图象直观判断 y = | x – 2 | 的单调性.
3
2
1
4
O
1
2
y
x
解：函数 y = | x – 2 | 可以表示为 y = ，
画出该函数图象，由图可知：
该函数在 ( – ∞，2 ] 上是单调递减的；在 [ 2，+ ∞ ) 上是单调递增的.
简单函数的单调性判断步骤：
① 写出函数在各区间的解析式；② 画出函数对应区间的图象；③ 根据图象直观判断函数的单调性；④ 写出函数对应单调区间.
知识点 2：函数的最大值和最小值
观察：下面两个函数图象中，都有一个最高点，那么该如何用数学语言描述这个最高点呢？
O
x0
x
M
y
y
x
O
x0
M
问题：设函数 y = f (x) 图象上最高点的纵坐标为 M，则对函数定义域内任意自变量 x， f (x) 与 M 的大小关系如何？
（1）对任意的 x∈R 都有 f (x) ≤ 0；
（2）存在 0，使得 (0) = 0.
例如：函数 f (x) = – x2 ( x∈R ) 的图象如图：
O
1
y
x
1
-1
-1
一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为 I ：
若存在实数 M 满足： x∈I，有 f (x) ≤ M 且 x0∈I，使得 f (x0) = M；
则称 M 是函数 y = f (x) 的最大值.
概念生成
同理，若存在实数 N 满足： x∈I，有 f (x) ≥ N 且 x0∈I，使得 f (x0) = N ；
则称 N 是函数 y = f (x) 的最小值.
函数的最大值和最小值统称为最值.
例 2 ：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度 (单位：m) 与时间 (单位：s) 之间的关系为 h(t) = – 4.9t2 + 14.7t + 18；那么烟花冲出后什么时候是爆裂的最佳时刻？这时烟花距地面的高度又是多少 ( 精确到1 m )？
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
t
O
h
30
h(t) = – 4.9t2 + 14.7t + 18
解：画出函数 h(t) = – 4.9t2 + 14.7t + 18 的图象；
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度；
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
t
O
h
30
h(t) = – 4.9t2 + 14.7t + 18
所以，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，
这时距地面的高度是 29 m.
由二次函数的解法得，对于函数 h(t) = – 4.9t2 + 14.7t + 18 有：
当 时，函数有最大值
练一练
1. 已知函数 f (x) = x2 – 2x – 3，若 x∈[0，2]，求函数 f (x) 的最值.
解：将函数 f (x) = x2 – 2x – 3 化成顶点式 f (x) = (x – 1)2 – 4；
画出该函数图象，由图可知：f (x)min = f (1) = – 4 ；
∵ f (0) – f (2) = – 3 – (22 – 2×2 – 3) = 0，
∴ f (x) max = f (0) = f (2) = – 3.
-1
-2
-3
-4
1
2
3
x
O
y
方法小结：
（1）函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点；
（2）区间端点处的最值需通过计算判断.
根据今天所学，回答下列问题：
1. 说说增函数、减函数、最值的分别是什么？
2. 什么叫函数的单调性？并说说如何借助图象判断函数的单调性？