2.3 函数的单调性和最值 第2课时 课件(共10张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共10张PPT)
2.3 函数的单调性和最值
第 2 课时
新授课
1. 通过代数运算，能证明简单函数的单调性.
知识点：证明简单函数的单调性
回顾：结合上节课所学，说说什么是函数的单调性？
例 1 ：判断函数 f (x) = – 3x + 2 的单调性，并给出代数证明.
证明：画出函数 f (x) = – 3x + 2 的图象，由图象可以看出，函数在定义域 R 上可能是减函数；
O
2
1
x
2
1
y
y = – 3x + 2
利用函数单调性的定义进行证明：
任取 x1，x2∈R，且 x1 < x2，则 x1 – x2 < 0；
所以 f (x1) – f (x2) = (– 3x1 + 2 ) – (– 3x2 + 2 ) = – 3(x1 – x2) > 0，
即 f (x1) > f (x2) ；
由函数单调性的定义可知：函数 f (x) = – 3x + 2 在定义域 R 上是减函数.
方法总结
作差法证明函数的单调性
上述证明是在定义域内任取 x1 < x2，通过计算 f (x1) 与 f (x2) 的差，得到 f (x1) > f (x2)，从而由函数单调性的定义判断函数 f (x) = – 3x + 2 在定义域 R 上是减函数.
① 定义域内任取 x1 < x2，计算 f (x1) – f (x2) ，根据结果的正负判断单调性；
② 若 f (x1) – f (x2) < 0，即 f (x1) < f (x2) ，则该函数在定义域上是增函数；
③ 若 f (x1) – f (x2) > 0，即 f (x1) > f (x2) ，则该函数在定义域上是减函数.
练一练
1. 用作差法判断函数 f (x) = 2x + 3 的单调性.
解：由解析式可知，函数 f (x) = 2x + 3 的定义域为 R；
再根据函数单调性的定义证明：任取 x1，x2∈R，且 x1 < x2，则 x1 – x2 < 0；
所以 f (x1) – f (x2) = (2x1 + 3 ) – (2x2 + 3 ) = 2(x1 – x2) < 0，即 f (x1) < f (x2) ；
由函数单调性的定义可知：函数 f (x) = 2x + 3 在定义域 R 上是增函数.
注：简单函数的单调性既可根据函数图象直接判断，也可用单调性的定义证明得出.
例 2 ：根据函数单调性的定义证明：函数 在区间 ( 0，1 ] 上单调递减，在区间 [ 1，+ ∞ ) 上单调递增.
证明：任取 x1，x2∈(0，1]，且 x1 < x2，
因为 0 < x1 < x2 ≤ 1，所以 x1 – x2 < 0，0 < x1x2 < 1，则 ，
即： f (x1) – f (x2) > 0，这表明函数 在区间 (0，1] 上是单调递减；
同理可证：函数 在区间 [1，+ ∞) 上是单调递增.
归纳总结
用定义证明函数的单调性的步骤:
① 取数：在区间 D 上任取 x1，x2∈D，且 x1 < x2；
② 作差：f (x1) – f (x2) ；
③ 变形：通常是因式分解和配方；
④ 定号：判断差 f (x1) – f (x2) 的正负；
⑤ 结论：指出函数 f (x) 在给定的区间 D 上的单调性.
练一练
证明：在区间 (0，+∞) 上任取 x1，x2，且 x1 < x2，
2. 已知函数 ，x∈(0，+∞)，用函数单调性的定义证明 f (x) 是增函数.
∵0 < x1 < x2 ，∴ x1 – x2 < 1，x1x2 > 0，∴ f (x1) – f (x2) < 0，即 f (x1) < f (x2)，
∴ 函数 f (x) 在区间 (0，+∞) 是增函数.
3. 下列函数在区间 (0，＋∞) 上不是增函数的是（ ）
A．y = 2x + 1 B．y = x2 + 1
C．y = 3 – x D．y = x2 + 2x + 1
C
练一练
根据今天所学，回答下列问题：
1. 请说说证明函数的单调性的基本步骤是什么？