2.4.1 函数的奇偶性 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共13张PPT)
2.4.1 函数的奇偶性
新授课
1. 通过画函数图象的过程，了解函数奇偶性的概念，掌握利用图象研究函数奇偶性的方法；
2. 会利用定义证明简单函数的奇偶性.
知识点 1：函数的奇偶性概念
回顾：如图是 2021 年东京奥运会和残奥会的会徽，请同学们试着分析它们的对称性（不考虑下方字母及图案）.
既不中心对称
也不轴对称
轴对称
问题 1：画出函数 f (x) = x3 的图象，并观察它的对称性.
解：先列表，然后描点、连线，得到函数 f (x) = x3 的图象如图：
x ··· – 2 – 1 0 1 2 ···
f (x) = x3 ··· – 8 – 1 0 1 8 ···
f (x) = x3
O
1
8
-8
1
2
-1
x
y
-2
-1
思考：观察图表，说说当点的横坐标互为相反数时，点的纵坐标满足什么关系？你能利用解析式证明这种关系吗？
由图象可知：函数 f (x) = x3 的图象关于原点对称.
因为对任意 x ，都有 (– x)3 = – x3，即 f (– x) = – f (x)，
所以函数 f (x) = x3 的图象关于原点对称.
由上表可知：当函数 f (x) = x3 的点的横坐标互为相反数时，点的纵坐标也互为相反数.
f (x) = x3
O
1
8
-8
1
2
-1
x
y
-2
-1
思考：函数 y = x，y = x2 是否也满足上述关系呢？
x ··· – 2 – 1 0 1 2 ···
f (x) = x3 ··· – 8 – 1 0 1 8 ···
概念生成
一般地，设函数 f (x) 的定义域为A，如果对任意的 x∈A，都有– x∈A，且 f (– x) = – f (x)，那么就称函数 f (x)为奇函数；
奇函数的图象关于原点对称，反之亦然.
同样，设函数 f (x) 的定义域为A，如果对任意的 x∈A，都有– x∈A，且 f (– x) = f (x)，那么就称函数 f (x)为偶函数；
奇函数的图象关于 y 轴对称，反之亦然.
当函数 f (x) 是奇函数或偶函数时，称 f (x) 具有奇偶性；奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称.
归纳总结
奇偶性 图象对称性 定义域 A 函数值 f (x)
奇函数 关于原点对称 关于原点对称，即 x∈A，– x∈A f (– x) = – f (x)
偶函数 关于 y 轴对称 f (– x) = f (x)
奇函数和偶函数的特点
1. 已知 f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，试将下图补充完整.
方法小结：若已知函数的奇偶性，可直接利用对称性画出另一半函数图象.
练一练
知识点 2：判断函数的奇偶性
解：（1）函数 f (x) = x4 的定义域为R，
因为 x∈R，都有 – x∈R，且 f (–x) = (–x)4 = x4 = f (x)，
所以，函数 f (x) = x4 为偶函数；
（2）函数 f (x) = x5 的定义域为R，
因为 x∈R，都有– x∈R，且 f (–x) = (–x)5 = – x5 = – f (x)，
所以，函数 f (x) = x5为奇函数.
例 1：判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x) = x4； （2）f (x) = x5； （3）f (x) = ； （4）f (x) = .
判断函数的奇偶性：（3）f (x) = ； （4）f (x) = .
（3）函数 的定义域为{x| x ≠ 0}，
因为 x∈{x| x ≠ 0}，都有 – x∈{x| x ≠ 0}，且
所以，函数 为奇函数.
（4）函数 的定义域为{x| x ≠ 0}，
因为 x∈{x| x ≠ 0}，都有 – x∈{x| x ≠ 0}，且
所以，函数 为偶函数.
根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
1. 先看定义域，看是否关于原点对称；
2. 再判断 f (– x) = – f (x) 或 f (– x) = f (x) 是否恒成立；
3. 根据定义下直接判断函数的奇偶性.
归纳总结
练一练
1. 判断函数 的奇偶性.
函数的定义域为(– ∞，–1)∪(–1，0)∪(0，+∞)，定义域不关于原点对称，
解：因为 ，所以 x2(x + 1) ≠ 0，即 x ≠ 0 或 x ≠ – 1，
所以，函数 为非奇非偶函数.
注意：若函数的定义域不关于原点对称，则函数不存在奇偶性.
根据今天所学，回答下列问题：
1. 分别简述奇函数、偶函数、奇偶性的概念？
2. 奇（偶）函数的图象、定义域及函数值分别有什么特点？
3. 说说用定义判断函数的奇偶性的基本步骤.