2.4.2 简单幂函数的图象和性质 课件(共10张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共10张PPT)
2.4.2 简单幂函数的图象和性质
新授课
1. 了解幂函数的概念和性质；
2. 结合函数图象理解简单幂函数的变化规律.
知识点 1：幂函数的概念及性质
观察：下列函数解析式有什么共同特征？
（1）以 1 元/kg的价格买了某种蔬菜w kg，需要支付 p = w 元，这里 p 是 w 的函数；
（2）正方形的边长为 a，那么正方形的面积 S = a2，这里 S 是 a 的函数；
（3）正方体的棱长为 b，那么正方体的体积 V = b3，这里 V 是 b 的函数；
（4）某正方形场地的面积为 S，那么正方形的边长 c = ，这里 c 是 S 的函数；
（5）某人 t s 内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度 v = km/s，即 v = t -1，这里 v 是 t 的函数.
把上述自变量全部用 x 来表示，函数值用 y 来表示，则它们的函数关系式是：
共同特征：上述函数，都是形如 y = x α 的函数.
y = x
y = x2
y = x3
y = x -1
y =
概念生成
一般地，形如 y = x α ( α 是常数) 的函数，即底数为自变量 x ，指数为常数 α 的函数称为幂函数.
幂函数的特征：
① xα 的底数为自变量 x ；② xα 的系数为 1；③ xα 指数为常数；
注意：只有同时满足上述三个条件的，才是幂函数.
练一练
1. 下列函数中，是幂函数的有___________.
① ；② y = 3x3；③ y = 2x + 1；④ ；⑤ y = x3；⑥ .
① ⑤ ⑥
思考：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究这五个函数？
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；
再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
y = x
y = x2
y = x3
y = x -1
y =
问题 1：试在同一坐标系中画出这五个函数的图象，并观察图象，完成下列填空.
y = x
y = x2
y = x3
y = x -1
y =
y = x y = x2 y = x3 y = x –1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
思考：根据上述五个简单幂函数的性质，你能总结幂函数的一般性质吗？
R
R
R
R
[0，+∞)
R
[0，+∞)
[0，+∞)
{ x | x ≠ 0 }
{ y | y ≠ 0 }
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
增函数
(– ∞，0] 递减
[0，+∞) 递增
增函数
增函数
(– ∞，0) 递减
(0，+∞) 递增
( 1，1 )
归纳总结
（1）所有的幂函数在 (0，+ ∞) 都有定义，并且图象都过点 (1，1)；
（2）α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [0，+ ∞) 上是增函数；
（当 α > 1 时，幂函数的图象下凸；当 0 < α < 1 时，幂函数的图象上凸）
α < 0 时，幂函数的图象不过原点，在区间 (0，+ ∞) 上是减函数；
（3）图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限.
幂函数的一般性质
2. 利用幂函数的性质，比较 (– 1.2)3 与 (– 1.1)3 的大小.
方法小结：
（1）α 相同时，先判断函数的单调性；
（2）然后根据自变量的大小，直接比较函数值的大小.
练一练
解：由 y = x3 的定义域为 R，且在 R 上单调递增，
因为 –1.2 < – 1.1，所以 (– 1.2)3 < (– 1.1)3 .
根据今天所学，回答下列问题：
1. 回顾幂函数的概念，说说什么是幂函数；
2. 结合图象说说幂函数有哪些基本性质.