3.1 指数幂的拓展 课件（共21张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共21张PPT)
3.1 指数幂的拓展
新授课
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．
2．用有理数指数幂逼近的方法了解无理数指数幂，知道无理数指数幂的概念.
在初中，我们学习了整数指数幂.给定正数a和正整数n,有
n个a
指数幂中的指数一定都是整数吗？
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一.经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式： S=S0·1.057t
其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值.
如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算？这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
知识点1：正分数指数幂
指数是分数
概念生成
给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素)，若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂，记作b=,这就是正分数指数幂.
例如，若b5=2，则b=
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
其中读作“次根号下”，也叫根式运算.
例如：，；
②有时我们可以把正分数指数写成根式，即
例1.把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式.
⑴
⑵
⑶
⑷
解：⑴
⑵
⑶
⑷
例2.把下列式子写成正分数指数幂的形式.
⑴ ⑶
注意：①被开方式中字母取值为正数；
②根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数a>0.虽然，但不能写.
解：⑴ ；
⑵
⑶ .
把下列各式中的正数a写成正分数指数幂的形式.
(1)a8=28; (2)a8=57; (3)a8n=33m(m,n∈N+).
解:(1)a=.
(2)a=.
(3)a=.
练一练
知识点2：负分数指数幂
思考：现在知道 ，那么又该怎么理解？
类似负整数指数幂的定义，可以定义负分数指数幂，给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素），定义
至此，指数幂已经从整数指数幂拓展到有理数指数幂了
概念生成
例3.计算：
⑴ ； ⑵ ； ⑶
解: ⑴设b=，由定义，得b2=43=64，b=8（b>0),所以=8.
⑵ 由负分数指数幂的定义，得
设b=由定义，得b3=27，b=3，所以=
⑶
⑶ 由负分数指数幂的定义，得
设b=
，由定义，得
即b= =64.
练一练
计算：⑴
⑵
解：⑴由负分数指数幂的定义，得
设 ，由定义，得
即
，所以
⑵
⑵设 ，由定义，得
所以
因为无理数=1.414213…,所以
1.4<1.41<1.414<1.4142<1.41421<…<<…<1.41422<1.4143<1.415<1.42<1.5
上述不等式中，
左边的数称为的不足近似值，
右边的数称为的过剩近似值.
下面以为例来认识无理数指数幂:
指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂.
知识点3：无理数指数幂
的不足近似值 的过剩近似值
a a
1.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
1.4142 1.4143
1.41421 1.41422
... ... ... ...
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
25.11886431... 31.62277660...
25.70395782... 26.30267991...
25.34179362... 26.00159563...
25.95374300... 25.95971976...
25.95434062... 25.95493825...
一般地，给定正数a,对于任意的正无理数,可以用类似的方法定义一个实数aɑ.自然地，规定：
例如，
这样，指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数.
概念生成
注意：
①给定一个正数a,对任意实数α,指数幂aα都大于0;
②0的任意正实数指数幂都等于0;
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义.
本节课所学内容：
（1）分数指数幂的概念.
（2）指数幂拓展过程.
实数指数幂
有理数指数幂
无理数指数幂
整数指数幂
分数指数幂
框图结构