4.3.3 对数函数 y=logax 的图像和性质 课件（共21张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共21张PPT)
4.3.3 对数函数 y=logax 的
图象和性质
新授课
1.掌握对数函数的图像和性质.
2.能应用对数函数的图像和性质解决问题.
问题1:研究指数函数时,我们是分哪几种情况进行研究的？
问题2:对于指数函数，我们研究了其哪些性质？
x ... 0.5 1 2 4 6 8 ...
y=log2x ... -1 0 1 2 2.58 3 ...
y=log3x ... -0.63 0 0.63 1.26 1.63 1.89 ...
y=log5x ... -0.43 0 0.43 0.86 1.11 1.29 ...
根据表中数据(精确到0.01的近似值),画出函数y=log2x,y=log3x和y=log5x的图象.
x
y
O
知识点：函数y=logax的图像和性质
1.根据图像,类比指数函数性质的研究,总结对数函数y=logax当底数a>1时
有哪些性质？
图像特征 性质
函数图像都在y轴_____ 定义域:_______ 值域:____
过点_____ 当x=1时,y=___.
当x>1时，图象位于x轴___方； 当01时, _____;
当0图像是_____的 在定义域(0,+∞)上
是____函数
x
y
O
右边
(1,0)
0
y>0
y<0
上
下
上升
增
(0,+∞)
R
思考:我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 和 ,它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
由换底公式，可得 因为点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称.
所以函数y=log2x图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点P1(x,-y)都在 的
图象上,反之亦然.
由此可知: 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画另一个函数的图象.
x
y
O
根据函数y=log2x,y=log3x和y=log5x,可以画出函数
的图象,如下图所示:
x
y
O
x
y
O
图像特征 性质
函数图像都在y轴_____ 定义域:_______ 值域:____
过点_____ 当x=1时,y=___.
当x>1时，图象位于x轴___方； 当01时, _____;
当0图像是_____的 在定义域(0,+∞)上
是____函数
2.根据图像，类比a>1的情形，总结对数函数y=logax当底数0右边
(1,0)
0
y>0
y<0
上
下
下降
减
(0,+∞)
R
a>1 0图像
性质
⑸在定义域 (0,+∞)上是增函数;
当时,
当 0时,.
⑸在定义域 (0,+∞)上是减函数;
当时,；
当0时,
⑴定义域: (0,+∞)
⑵值域:R
⑶过定点(1,0),即x=1时,y=0
⑷当x>1时,y>0;当0⑷当x>1时,y<0;当00
o
y
x
(1,0)
o
(1,0)
y
x
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像和性质
思考：对数函数y=logax的底数a对图像有什么影响？
x
y
O
在第一象限，对数函数的底数自左至右依次增大
当底数a>1时，对数函数是(0,+∞)
上的增函数，当x>1时，底数a的值
越小，其函数值增长得越快;
当底数0上的减函数，当0值越大，其函数值减小得越快.
x
y
O
例1.设a>0,且a≠1,求下列函数的定义域:
(1)y=logax2; (2)y=loga(4-x).
解: (1)为使函数有意义,只需x2>0,即x≠0,所以函数y=logax2的定义域为{x|x≠0};
(2)为使函数有意义,只需4-x>0,即x<4,所以函数y=loga(4-x)的定义域为{x|x<4}.
练一练
1.求下列函数的定义域:
(1)y=log3(6-x); (2)y=log2(x2-1)
解: (1)为使函数有意义,只需6-x>0,即x<6,
所以函数y=log3(6-x)的定义域为{x|x<6};
(2)为使函数有意义,只需x2-1>0,即x<-1或x>1,
所以函数y=log2(x2-1)的定义域为{x|x<-1或x>1};
例2.比较下列各题中两个数的大小：
(1)log25.3,log24.7; (2)log0.27, log0.29;
(3)log3π, logπ3; (4)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1).
解:(1)因为2>1,所以函数y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数.
由5.3>4.7,得 log25.3>log24.7.
(2)因为0<0.2<1,所以函数y=log0.2x,在定义域(0,+∞)上是减函数.
由7<9,得 log0.27>log0.29.
(4)当a>1时,函数y=logax在定义域(0,+∞)上是增函数,
此时由3.1<5.2,得 loga3.1当0此时由3.1<5.2,得 loga3.1>loga5.2.
(3)因为3>1,所以函数y=log3x在定义域(0,+∞)上是增函数.
由π>3,得 log3π>log33=1.
同理可得 1=logππ>logπ3.
因此 log3π>logπ3.
(3)log3π, logπ3; (4)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1).
练一练
1.比较下列各题中两个值的大小：
(1)
(2)
(3)
解: (1)因为底数2>1,对数函数y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数.
由3.4<8.5,所以 log23.4(2)因为0<0.3<1,对数函数y=log0.3x在定义域(0,+∞)上是减函数.
由1.8<2.7,所以 log0.31.8>log0.32.7;
(3)当a>1时,y=logax单调递增,5.1<5.9,则loga5.1当0loga5.9 .
例3. 人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中,常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律:
C(t)=C0e-rt,
其中t表示衰减的时间,C0表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量.
为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5730年.人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比.
1950年,在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭,当时测定,其14C的衰减速度为4.09个/(g min),而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g min).请估算出汉谟拉比王朝所在年代.
解: 因为14C的半衰期大约是5730年,所以由衰减规律,得
因此14C的衰减规律服从指数型函数
解得
衰减服从指数规律:C(t)=C0e-rt,
4C的半衰期大约是5730年.
设发现汉漠拉比王朝字样的木炭时(1950年),该木炭已衰减了t0年.因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比,所以
解得
两边取以2为底的对数,得
于是
所以该木炭已衰减了约4055年,即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年.
根据今天所学,回答下列问题：
（1）对数函数图像和性质有哪些
（2）底数a对函数y=logax的图像有什么影响？