4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件(共14张PPT) 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共14张PPT)
4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
新授课
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.
给定常数a,b,c,指数函数y=ax(a＞1)、对数函数y=logax(a＞1)、幂函数y=xc(x＞0,c＞0)都是增函数;当x趋于正无穷大时,y的值都是趋近于正无穷大.
知识点：不同函数的增长差异.
x
y
–2
–1
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
x
y
O
x
y
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
思考:这3种增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
(1) 指数函数:
(2) 对数函数:
(3)幂函数:
x 22 24 26 28 210 212 214 216
2 4 8 16 32 64 128 256
2 4 6 8 10 12 14 16
可以看出幂函数 比对数函数y=log2x增长快,而且快很多.
一、以函数 和y=log2x 为例,比较幂函数与对数函数的增长情况.
方法1:数表比较.
方法2:图形比较.
(4,2)
(16,4)
从图像上看
当x∈(16,+∞)时,
当x∈(4,16)时,
当x∈(0,4)时,
实际上,当b>1,c>0时,即使b很接近于1,
c很接近于0,都有y=xc 比y=logbx增长快.
x 20 24 28 210 214 220
y=2x 2 216 2256 21024 216384 21048576
y=x100 1 2400 2800 21000 21400 22000
可以看出,当x的值充分大时,指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快,而且快很多.
二、以函数y=2x和y=x100为例,比较指数函数与幂函数的增长情况.
方法1.数表比较.
方法2.采用取对数转化法比较(注意:这里取对数不改变二者的大小关系,只是放缓了增长速度).
比较xln2与100lnx的大小
实际上,当a>1,c>0时,即使a很接近于1,c很大,当x的值充分大,都有y=ax比y=xc增长快.
y=ax(a>1) y=xc(x>0,c>0) y=logbx(b>1)
增长 特点 随着自变量的增大,函数值增长的速度越来越快,称之为“指数爆炸” 随着自变量的增大,函数值增长的速度越来越快 随着自变量的增大,函数值增长的速度越来越慢,即增长速度平缓
增长速度比较 随着自变量x的增大, y=ax的函数值增长远远大于y=xc的函数值增长, y=xc的函数值增长又远远大于y=logbx的函数值增长.
归纳总结
思考:比较指数函数y=ax(a>1)、一元一次函数y=kx(k>0)、对数函数y=logbx(b>0)增长速度的差异.
以函数y=2x,y=x,y=log2x为例,作出它们的图像:
y=x的增长速度固定
性质函数 y=ax(a>1) y=kx(k>0) y=logbx(a>1)
单调性
图象的变化
增长特点
增长速度
随x的增大逐渐变“陡”
增长速度固定
随x的增大逐渐趋于稳定
指数爆炸
增长速度越来越快
直线上升
增长速度不变
对数增长
增长速度越来越慢
y=ax的函数增长值远远大于y=kx的函数增长值,
y=kx的函数增长值大于y=logax的函数增长值.
增
增
增
指数增长带来的困扰:
兔子繁殖
病毒传播
练一练
1.下列函数中随x的增大而增大且增长速度最快的是( )
A.y=ex B.y=lnx
C.y=x2 D.y=e-x
A
总结:
不同函数
增长差异
指数函数y=ax(a＞1)
幂函数y=xc(x＞0,c＞0)
对数函数y=logbx
一元一次函数y=kx(k>0)
越来越快(指数爆炸)
越来越慢(对数增长)
速度不变(直线上升)
越来越快