5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件（共15张PPT） 2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共15张PPT)
5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
新授课
根据以前所学知识，判断下列方程是否有实根.
(1)x2-x-6=0;
(2)lg x+x=0.
1.了解函数零点的概念，理解方程的根与函数零点之间的关系.
2.掌握零点存在的判定条件，会用定理判定函数零点的存在性.
1.计算完成下列表格:
x -4 x2 0 x1 4
y=x2-x-6 0 0
14
-6
6
2.画出函数y=x2-x-6的图像:
x1
x2
问题:方程y=x2-x-6的根与对应函数图像与x轴交点有什么关系
知识点1:函数的零点及其与方程根的关系
新知讲解
注意:
1.函数的零点是一个实数,而不是一个点.
例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).
2.不是所有的函数都有零点,如f(x)=1，f(x)=x2+1就没有零点.
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
f (x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系:
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象
与x轴有交点
函数f(x)=x2-x-6的图象如图，f(0)=6<0，f(4)=6>0，f(-4)=14>0.
函数f(x)的图象是连续的曲线,因此点B(0,-6)与点C(4,6)之间的曲线必然穿过x轴.
即： x1∈(0,4)，使得f(x1)=0;同理, x2∈(-4,0)使得f(x2)=0.
x1
x2
知识点2：函数零点存在定理
思考:不解方程,该如何判断函数f(x)=x2-x-6零点是否存在？
x
y
O
a
b
c
有
＜
有
＜
观察函数的图象并填空:
无
1.在闭区间[a,b]上 ____0(“＜”或“＞”).在区间(a,b)上_____
(有/无)零点；
2.在闭区间[b,c]上 ____0(“＜”或“＞”).在区间(b,c)上______
(有/无)零点；
3.在闭区间[d,e]上 ____0(“＜”或”＞”).在区间(d,e)上______
(有/无)零点；
＞
图1
图2
O
y
x
e
d
思考:（1）结合问题1~3，函数有零点需要什么共同条件
O
y
x
n
m
无
4.在闭区间[m,n]上 _____ 0(“＜”或”＞”).在区间(m,n)上____(有/无)零点；
＜
思考：(2)根据问题4，为什么图像在区间(m,n)内没有零点？
图3
总结归纳
零点存在定理:
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,
即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
注意:
(1)利用该定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.
(2)当f(a)·f(b)>0时,方程f(x)=0也可能有解,如图:
所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分不必要条件.
x
y
O
a
b
y=f(x)
例1.方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？
解 :设函数f(x)=3x-x2,在区间[-1,0]上有
f(-1)=3-1-(-1)2=-<0,
f(0)=30-02=1>0.
又因为函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线,由零点存在定理可知方程f(x)=0在区间(-1,0)内有解,即在区间[-1,0]内有解,故方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有解.
例2. 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个不相等的实数根,且ー个根大于5,另一个根小于2.
由零点存在定理可知在区间(1,2)和(5,6)内,这个方程各有一个实数根(如图).
所以方程(x-2)(x-5)=1有两个不相等的实数根,且一个根大于5,另一个根小于2.
解:设函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有f(2)=f(5)=-1<0.
画出函数f(x)=(x-2)(x-5)-1的图象(如图),观察得
f(1)=(-1)×(-4)-1=3>0,
f(6)=4×1-1=3>0.
练一练
方程lg x+x=0在区间[，1]内有没有解？为什么？
解：设函数f(x)=lg x+x,在区间[，1]上有
f ()=lg +=<0,
f (1)=lg 1+1=1>0.
因为函数f(x)=lg x+x的图象是一条连续的曲线,由零点存在定理得方程f(x)=lg x+x=0在区间[1]内有解.
函数的零点与方程的解
函数的零点
函数的零点与方程的解的关系
函数的零点存在定理
框图结构