5.1.2 利用二分法求方程的近似解 课件（共14张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共14张PPT)
5.1.2 利用二分法求方程的近似解
新授课
1.了解求方程近似解的方法,会用二分法求方程的近似解.
情境：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10km大约有200多根电线杆.
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
思考:根据零点存在定理,函数lnx+2x-6=0在区间(2,3)内存在一个零点，该如何如何求出这个零点的近似解呢？
通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
取区间(2,3)的中点2.5，算得f(2.5)≈－0.084．
因为f(2.5)f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．
因为f(2.5)f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．
再取区间(2.5,3)的中点2.75，算得f(2.75)≈0.512．
通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足条件的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.
2
2.5
2.75
3
设 是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若满足|x0- |<ε,就称x是满足
精确度ε的近似解.
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线f(a) f(b)<0,则方程f(x)=0在区间(a,b)内有解.
x
y
O
a
b
f(x)
思考:在区间(a,b)的基础上,如何确定下一个区间？
例如：若ε=0.5，零点所在区间(2.5,2.75)满足|2.75-2.5|<0.5，即区间内的任意一个数都是满足精确度ε的近似解
取区间(a,b)的中点，若 f () f (b)<0，则区间(,b)内有方程的解.
再取区间(,b)的中点,得到一串区间，其端点的函数值符号相反.随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解.
x
y
O
a
b
f(x)
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a) f(b)<0,则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
概念生成
思考：若函数y=f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法
求解？
二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
1.通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是( )
练一练
C
A
B
C
D
例1.求方程2x3+3x-3=0的一个近似解.(精确度为0.01)
知识点2：二分法求函数零点近似值的步骤
解:经试算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0,
所以方程f(x)=0在区间(0,1)内有解.
取区间(0,1)的中点0.5，f(0.5)=-1.25<0,
所以方程f(x)=0在区间(0.5,1)内有解.
如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间(如表).
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 0 -3 1 2 1
第2次 0.5 -1.25 1 2 0.5
第3次 0.5 -1.25 0.75 0.09375 0.25
第4次 0.625 -0.63671875 0.75 0.09375 0.125
第5次 0.6875 -0.287597656 0.75 0.09375 0.0625
第6次 0.71875 -0.101135254 0.75 0.09375 0.03125
第7次 0.734375 -0.004768372 0.75 0.09375 0.015625
第8次 0.734375 -0.004768372 0.7421875 0.044219017 0.0078125
区间[0.734375,0.7421875]的区间长度为0.0078125,它小于0.01,而方程的解就在这个区间内,因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解,如,0.74就是方程2x3+3x-3=0精确度为0.01的一个近似解.
归纳总结
利用二分法求方程近似解
的过程可以用右图表示:
选定初始区间[a,b]
取区间的中点c
中点函数值为0
得到新区间[a,b]
新区间的长度|a-b|<
结束
选取区间内任意一个数
是
是
否
否
若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，
则令b=c；
若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，
则令a=c；
练一练
已知函数f(x)=x3+x-3在区间[1,2]内有零点,求方程x3+x-3=0在区间[1,2]内的一个近似解.(精确度为0.1)
解:由二分法得到方程x3+x-3的实数解所在区间如下表:
左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第一次 1 -1 2 7 1
第二次 1 -1 1.5 1.875 0.5
第三次 1 -1 1.25 0.203125 0.25
第四次 1.125 -0.451171875 1.25 0.203125 0.125
第五次 1.1875 -0.137939453 1.25 0.203125 0.0625
可以看出区间[1.1875,1.25]的长度小于0.1,所以可取区间内的任意一个数(如1.2)作为方程的一个近似解.
根据今天所学，回答下列问题：
1.二分法求解方程近似解的步骤是什么？
选定初始区间
取区间的中点
中点函数值为0
得到新区间
新区间的长度
结束
选取区间内任意一个数
是
是
否
否
2.本节课内容涉及了哪些思想