5.2.1 实际问题的函数刻画 课件（共18张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共18张PPT)
5.2.1 实际问题的函数刻画
新授课
1.会分析实际问题中相关因素之间的关系,能用函数刻画实际问题.
在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容.
该怎样用函数刻画实际问题呢
例1.某公司投入了15万元,用于研发设计一种新型的几何模板.经测算,每件产品的直接成本是130元,市场的合适售价是190元.显然,这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品,另一方面又要争取获得好的收益.当这种新型几何模板畅销时,怎样计算总收益呢？(销售、仓储及维护等环节成本忽略不计)
根据题目回答下列问题:
问题1:题中涉及了那些量 这些量中哪些是常量,那些是变量
问题1:题中涉及了那些量 这些量中哪些是常量,那些是变量
这个问题涉及的几个因素有：
生产总成本、产量、销售总收入、销售量、 总收益.
单件产品的直接成本、研发费用、 销售单价.
当产品畅销时,销售量等于产量,产量是变量,可以设为x件.
（常量）
（变量）
问题2:这些量之间有什么样的关系
①生产总成本(记作C元)与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系；
②销售总收入(记作R元)与销售量及销售单价有关系;
③总收益(记作L元)与生产总成本及销售总收入有关系.
问题3:你能写出上述各因素之间满足的关系式吗
①生产总成本C与产量x的关系为C=150000+130x;
②销售总收入R与产量x的关系为R=190x;
③总收益L与产量x的关系为L=R-C=60x-150000(x≥0).
L关于x的函数图象如图.
-150000
2500
O
L/元
x/件
从图中清晰可见:产量2500件是关键点.
若x>2500,则可盈利.
若x=2500,则总收益为0;
若x<2500,则要亏损；
总收益分析:
例2.网购女鞋时,常常会看到一张女鞋尺码对照表(如表),第一行是脚长(新鞋码,单位：mm),第二行是我们习惯称呼的“鞋号(旧鞋码,单位：号)”.
脚长/mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260
鞋号/号 34 35 36 37 38 39 40 41 42
(1)求鞋号关于脚长的函数模型.
可以看出,这些点在一条直线上将这条直线表示为y=kx+b.
利用表中的任意两组数,得k=0.2,b=-10.因此,y=0.2x-10.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
O
y/号
x/mm
42
41
40
39
38
37
36
35
34
220
230
225
235
240
245
255
250
260
解:(1)设脚长(新鞋码)、鞋号(旧鞋码)分别为x,y,将每一对数x,y对应的数对(x,y)
用平面直角坐标系的点来表示(如图).
(2)如果看到一款“30号”的女童鞋,知道对应的脚长是多少吗？
(3)一名脚长为262mm的女篮球运动员,又该穿多大号的鞋呢？
(2)当y=30时,x=200,即能穿30号鞋的女意的脚长不超过200mm.
(3)当x=262时,y=42.4,即脚长为262mm的女篮球运动员应穿43号的鞋.
鞋号关于脚长的函数模型:y=0.2x-10.
归纳总结
实际问题的函数刻画方法:
(1)合理选取变量，建立函数关系, 将实际问题转化为函数模型问题.
(2)将实际问题向数学问题转化时, 可借助于图形的直观性,研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.
例3.现有一把椅子,四条腿一样长且四脚连线成正方形,需放在起伏不平但
光滑的地面上,问能否将这把椅子四脚同时落地放稳？
解：如图,记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形ABCD,对角线的交点为O;以点O为旋转中心,初始位置的AC转过θ角时,记A,C两点与地面距离之和为f(θ),B,D两点与地面距离之和为g(θ).
因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触,所以总有f(θ) g(θ)=0.记F(θ)=f(θ)-g(θ),显然函数F(θ)的图象是不间断的曲线.
θ
O
D
A
C
B
对于初始位置,不妨设f (0°)=0,g(0°)≥0,
那么F(0°)=-g(0°)≤0.椅子旋转90°,点D转到点A,g(90°)=f (0°)=0,f (90°)=g(0°)≥0,那么F(90°)=f(90°)≥0.
于是,根据函数零点存在定理,可知在区间[0°,90°]上存在α,使得F(α)=0,即f(α)=g(α)=0,
所以这把椅子四脚能够同时落地放稳.
θ
O
D
A
C
B
例4.加油站的汽油都存储在地下油槽中,由于比较容易测量槽中油料的高度,因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量,现有一圆柱体油槽,横卧地下,其母线呈水平状态,纵截面是圆(如图),截面圆半径是120cm,圆柱的长是400cm.从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表(如表),它给出了弓形面积占单位圆面积的比值C(k).其中
O
A
r
h
B
θ
k 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
C(k) 0 0.019 0.052 0.094 0.142 0.196 0.252 0.312 0.374 0.436 0.5
为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量,请编制一份油料的液面高度h(单位：cm)与油料量V(单位：L)的对照表,该表的油料液面高度取值从0开始,最大为120cm,间隔12cm.(π取3.14,油料量精确到1L)
解:如图,油槽截面的油料液面线为AB,记油料液面高度h时的油料的面积为S(h).依题意知
O
A
r
h
B
θ
这里r=120cm,于是可得到油料的液面高度h与油料量V的对照表(如表)
h/cm 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
k 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
S/cm2 0 859.104 2351.232 4250.304 6420.672 8862.336 11394.432 14107.392 16910.784 19714.176 22608
V/L 0 344 940 1700 2568 3545 4558 5643 6764 7886 9043
实际问题中的函数刻画
用函数刻画变化,把实际问题转化为函数问题
通过对函数性质的分析,揭示变化的规律
在实际情境中发现变化现象