5.2.2 用函数模型解决实际问题 课件（共14张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共14张PPT)
5.2.2 用函数模型解决实际问题
新授课
1.了解模型的意义,理解函数模型的作用.
2.根据具体情境,会选择恰当的函数模型解决实际问题.
思考：一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v0，加速度为a，那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？
一次函数模型
二次函数模型
例1.要建造一段5000m的高速公路,工程队需要把600人分成两组,一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务,同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务.据测算,软、硬土地每米公路的工程量分别是50人·天和30人·天.问；如何安排两组的人数,才能使全队筑路工期最短？
解:设在软土地带工作的人数为x人,则在硬土地带工作的人数为(600-x)人.
在硬土地带筑路时间为
其中x∈(0,600),x∈N+.
根据题意,在软土地带筑路时间为
由f (x0)=g (x0),即从而
当f (x)≥g (x),
当g (x)≥f (x).
因为函数f (x)在区间(0,600)上是减函数,函数g (x)在区间(0,600)上是增函数,所以全队的筑路工期为
因为函数t(x)在区向(0,x0]上逆减,在区间[x0,600)上递增,所以x0是函数t(x)的最小值点.但315.8不是整数,于是计算t(315)和t(316),其中较小者即为所求.
经计算,t(315)317.46,t(316)316.90.
于是,当安排316人到软土地带工作,284人到硬土地带工作时,可以使全队筑路工期最短.
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程:
归纳总结
实际问题
实际问题的解
函数模型
函数模型的解
解释说明
抽象概括
推理
演算
解决
问题
例2.某公司每年需要某种计算机元件8000个,每次购买元件需手续费500元,每个元件的库存费是每年2元.若将这些元件一次购进,则可少花手续费,但即便不考虑资金占用,8000个元件的库存费也不少.若多次进货,则可减少库存费,但手续费要增加.现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？
解:将8000个元件所需的总费用记为F元,一年总库存费记为E元,购买元件总手续费记为H元,其他费用记为C元(C为常数),则
F=E+H+C
若每年平均进货n次(n∈N+),则每次的进货量为q=个.假设用完q个元件的时间为=,在[0,]内,t时刻的库存量为V（t）,满足
V(t)=kt+b(0≤t≤),V(0)=q,V()=0.
解得V(t)=-8000t+q(0≤t≤).
=(个).
如图,阴形部分的面积是第一个时间段内需支付
库存费的库存量的总和,相当于在 年内每一时刻
需支付库存费的库存量均为
=
V(t)
t
V(t)
o
在=年内,每个元件的库存费为元,则个元件的库存费为
当且仅当=500n,即n=4时,上面的不等式取等号,此时总费用最少,故
每年进货4次最经济.
由基本不等式,得 F ≥
另外,H=500n元,所以 F=E+H+C=+500n+C(n∈N+）.
一年总库存费为 （元）.
（元）,
本例中的模型叫作存贮模型.
常见函数模型
名称 解析式 条件
一次函数模型 y＝kx＋b k≠0
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c a≠0
反比例函数模型 y＝ k≠0
指数函数模型 y＝bax＋c b≠0,a>0且a≠1
对数函数模型 y＝mlogax＋n m≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型 y＝axn＋b a≠0
练一练
电信局为了配合客户的不同需要,现设计A,B两种优惠方案,这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注:图中MN∥CD).
(1)若通话时间为2小时,则按方案A,B各付话费多少元
(2)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠
60
500
C
D
N
M
98
168
230
O
x
y
方案A
方案B
解:由图可知M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x),fB(x),则
(1)易知,通话2小时的话费分别为116元,168元.
(2)由图可知,当0≤x≤60时,有fA(x)500时,fA(x)>fB(x)
当60当60fA(x);当≤x≤500时,fA(x)>fB(x)
即当通话时间在(,+∞)时,方案B才会比方案A更优惠.
60
500
C
D
N
M
98
168
230
O
x
y
方案A
方案B
根据今天所学,回答下列问题：
(1)建立函数模型解决实际问题的基本过程是怎样的
(2)常见的函数模型有哪些