7.4 事件的独立性 课件（共28张PPT）2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一

(共28张PPT)
新授课
7.4 事件的独立性
1.通过实例理解两个事件相互独立的含义.
2.通过古典概型理解两个相互独立事件的概率乘法公式.
3.会用相互独立事件的概率公式计算一些事件的概率.
探究1 在试验E5“连续抛掷一枚均匀的骰子2次,观察每次掷出的点数”中,设事件A表示“第一次掷出1点”,事件B表示“第二次掷出1点”.
(1)试写出试验E5的样本空间,并分别计算事件A,B发生的概率;
(2)A的发生与否对B发生的概率是否有影响 为什么
(3)在A发生的条件下,B发生的概率是多少 在A不发生的条件下,B发生的概率又是多少 两者有区别吗
(4)事件AB的含义是什么 试探究P(A),P(B)与P(AB)的关系.
知识点2:随机事件独立性的概念与相互独立事件的概率乘法公式.
(1) Ω5={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),
(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),
(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点.
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}，B={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}.
P(A)= ， P(B)=
(2)一枚均匀骰子分2次抛掷,显然第一次抛掷对第二次抛掷没有影响.
(3)由(1)知A包含样本点共6个,其中包含B发生的样本有1个:(1,1).即A发生的
条件下,B发生的概率为
事件A表示“第一次掷出1点”,事件B表示“第二次掷出1点”
由(1)知,A不发生的样本点共30个,其中包含B发生的样本点5个:(2,1),(3,1),
(4,1),(5,1),(6,1),即A不发生的条件下,B发生的概率也为.
说明无论A是否发生,B发生的概率都相同.
(4)事件AB表示:事件A,B同时发生,即“第一次掷出1点且第二次也掷出1点”.
因此样本空间只有一个样本点(1,1).所以P(AB)= 所以P(AB)=P(A)P(B).
探究2 在试验E13“袋中有白球3个(编号为1,2,3)、黑球2个(编号为a,b),这5个球除颜色外完全相同,从中有放回地摸球,连续摸两次,每次摸1个,观察摸出球的情况”中,设事件A表示“第一次摸出白球”,事件B表示“第二次摸出白球”.
(1)试写出试验E13的样本空间,并分别计算事件A,B发生的概率；
(2)A的发生与否对B发生的概率是否有影响 为什么
(3)在A发生的条件下,B发生的概率是多少 在A不发生的条件下,B发生的概率又是多少 两者有区别吗
(4)事件AB的含义是什么 试探究P(A),P(B)与P(AB)的关系
(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b)},共25个样本点.
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),
(3,b)},共15个,所以P(A)=
B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),
(b,3)}.共15个,所以P(B)=
(2)因为是有放回地摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互不影响,
所以A的发生与否也不影响B发生的概率.
事件A表示“第一次摸出白球”,事件B表示“第二次摸出白球”
(3)由(1)知,A发生包含的样本点共有15个,包含B发生的样本点有9个：(1,1),
(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).因此在A发生的条件下,B发生的概率为
由(1)知A不发生包含的样本点共有1个:(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),
(b,3),(b,a),(b,b),其中B发生包含的样本点有6个:(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),
因此在A不发生的条件下,B发生的概率也为 ,说明无论A是否发生,B发生的概率都相同.
(4)事件AB表示:事件A,B同时发生,即“第一次摸出白球且第二次也摸出白球”.因此样本空间有9个样本点(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),所以P(AB)= 所以P(AB)=P(A)P(B).
将探究1和探究2得到的结果填入下表中:
E5 E13
P(A)
P(B)
事件A的发生与否对事件B发生的概率是否有影响
P(AB)
P(A)P(B)
没有影响
没有影响
问题:上述探究中事件A与B,其中一个事件发生与否是否对另一个事件发生的概率有影响 P(A),P(B)与P(AB)之间有何共同的关系 你能否再举出一些这样的实例 能否将这种关系推广到一般的情形？
概念生成
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即
P(AB)=P(A)P(B).
例1.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”；事件N:“出现的点数为偶数”;
(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”：事件B:“出现3点或6点”.
解:(1)二者不可能同时发生,∴M与N是互斥事件.
(2)样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，A={2,4,6}，B={3,6}，AB={6},
∴P(A)，P(B)，P(AB)×，即P(AB)=P(A)P(B).
故事件A,B相互独立.当“出现6点”时,A,B可以同时发生,因此A,B不是互斥事件.
两个事件是否相互独立的判断:
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;
(2)定义法：如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A,B为相互独立事件.
归纳总结
探究3 在试验E14“袋中有白球3个(编号为1,2,3)、黑球2个（编号为a,b),这5个球除颜色外完全相同,从中不放回地依次摸取2个,每次摸1个,观察摸出球的情况”中,设事件A表示“第一次摸出白球”,事件B表示“第二次摸出白球”.
(1)试写出试验E14的样本空间,并分别求出事件A、事件B发生的概率.
(2)事件A的发生与否对事件B发生的概率是否有影响 为什么
(3)在事件A发生的条件下,事件B发生的概率是多少 在事件A不发生的条件下,事件B发生的概率又是多少 两者有区别吗
(4)上述事件是否还满足P(AB)=P(A)P(B)
(1)Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a)},共20个样本点.
A={(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,a),(3,b)},共12个样本点.
B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}.共12个样本点
(2)因为是不放回地摸球,第二次摸球的结果受第一次摸球的结果影响,所以A的发生与否影响B发生的概率.
事件A表示“第一次摸出白球”,事件B表示“第二次摸出白球”.
(3)由(1)知A发生的样本点共12个,其中包含B发生的样本点6个:(1,2),(1,3),(2,1),
(2,3),(3,1),(3,2).因此在A发生的条件下,B发生的概率为;
A不发生的样本点共有8个:(a,1),(a,2),(a,3),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),其中B发生包含的样本点有6个:(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3).因此在A不发生的条件下,B发生的概率为.
说明A发生与不发生,B发生的概率不相同.
(4)上述事件不满足P(AB)=P(A)P(B).
问题:对比探究2和探究3中的随机事件A与B,它们的关系有何不同？
探究4 (1)在探究1的试验E5“连续抛掷一枚均匀的骰子2次,观察每次出现的点数”中,设事件A表示“第一次掷出1点”,事件B表示“第二次掷出1点”.已知事件A与事件B相互独立,那么事件A与,与B,与是否也相互独立
(2)对于任意两个随机事件A,B,如果事件A与事件B相互独立,那么事件A与,与B,与是否也相互独立 能否结合P(AB)=P(A)P(B)加以说明
P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P().
P(A)+P(AB)=P(A).
P(A)=P(A)P().
如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互独立.
同理可得:P()=P()P(),P()=P()P().
名称 区别 联系
互斥事件
相互独立事件
相互独立事件与互斥事件的区别与联系:
在一次试验中不能同时发生的事件
一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两事件相互独立,
不一定互斥
归纳总结
例2.甲、乙两人独立破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:
(1)两人都译出密码的概率；
(2)两人都译不出密码的概率；
(3)恰有一人译出密码的概率；
(4)至多有一人译出密码的概率；
(5)至少有一人译出密码的概率.
知识点2:相互独立事件概率公式的应用
解:记“甲独立译出密码”为事件A,“乙独立译出密码”为事件B,A与B为相互独立事件,且P(A)=,P(B)=.
即两人都译出密码的概率为.
(1)设事件C表示“两人都译出密码”,则C=AB.因为A与B相互独立,所以
(2)设事件D表示“两人都译不出密码”,则D=.因为A与B相互独立,所以与也相互独立.因此,
即两人都译不出密码的概率为.
(3)设事件E表示“恰有一人译出密码”,事件E看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件,所以E= AUB,且两个事件A与B彼此互斥,因此
即恰有一人译出密码的概率为.
(4)设事件F表示“至多有一人译出密码”
方法1 事件F可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件,所以F=D∪E,且D与E彼此互斥,因此
方法2 事件F的对立事件为“两人都译出密码”,所以=C,因此
即至多有一人译出密码的概率为.
(5)设事件G表示“至少有一人译出密码”.
方法1 事件G可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件,所以G=C∪E,且C与E彼此互斥,因此
即至少有一人译出密码的概率为.
方法2 事件G的对立事件为“两人都译不出密码”,所以=D,因此
即至少有一人译出密码的概率为.
归纳总结
1.复杂事件概率的转化方法和求解步骤:
(1)转化方法:
①将所求事件分解成一些彼此互斥的事件的和;
②将所求事件分解成一些彼此相互独立的事件的积;
③尝试先求对立事件的概率.
(2)求解步骤:
①列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们;
②厘清各事件之间的关系,列出关系式;
③准确运用概率公式进行计算.
事件A,B发生的情形 概率计算公式
A,B同时发生
A,B都不发生
A,B至少有一个不发生
A,B至少有一个发生
A,B恰有一个发生
2.与相互独立事件A,B有关的概率计算公式:
P()=P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(A)(B)
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P()=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)
P(ABAB)=1-P()=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(B A)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
根据今天所学,回答下列问题：
(1)什么是相互独立事件
(2)相互独立事件的概率乘法公式是什么
(3)复杂事件概率的求法和步骤分别有哪些