无锡市辅仁高级中学2023-2024学年度第二学期3月教学质量检测 高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝，则角C为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则a：b：c＝（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2
3．已知△ABC中，D为BC边上一点，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，不共线，且＝+4，＝﹣+9，＝3﹣，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量＝（a+c，b），＝（b﹣a，c﹣a）．若∥，则角C的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则x＝（ ）
A． B． C． D．
7．已知△ABC是等腰直角三角形，点E，F是斜边AC的三等分点，则tan∠EBF等于（ ）
A． B． C． D．
8.在△ABC中，，O是△ABC的外心，M为BC的中点，，N是直线OM上异于M、O的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设向量满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量夹角为60°
10．已知夹角为的单位向量，且，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
11．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若b＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，，则＝ ．
12．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M,则cos∠EMF= ．
14．如图，已知△ABC的面积为14cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD：DB＝BE：EC＝2：1，AE，CD交于点P，则△APC的面积为 cm2．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知向量，为向量、的夹角。
（1）求的值；
（2）若，求实数的值。
16．(15分）△ABC为直角三角形，斜边BC上一点D，满足．
（1）若∠BAD＝30°，求∠C；
（2）若，AD＝2，求BC．
17．（15分）已知向量，设．
（1）α＝，求当||取最小值时实数t的值；
（2）若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
18．（17分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求xy的取值范围．
19．（17分）如图，已知ABCD为平行四边形．
（1）若，，，求及的值；
（2）记平行四边形ABCD的面积为S，设＝（x1，y1），＝（x2，y2），求证：S＝|x1y2﹣x2y1|．无锡市辅仁高级中学2023-2024学年度第二学期3月教学质量检测 高一数学
【参考答案】
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝，则角C为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】由已知中△ABC中，a＝3，b＝4，c＝，代入余弦定理可求出角C的余弦值，进面得到角C
【解答】解：在△ABC中，
∵a＝3，b＝4，c＝，∴cosC＝＝＝
∵C为三角形内角∴C＝60°
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则a：b：c＝（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2
【分析】直接利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由于A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝π，
故，，．
故＝；
所以．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和定理和正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3．已知△ABC中，D为BC边上一点，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用向量的线性运算即可求得．
【解答】解：因为，
所以．
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
4．已知向量，不共线，且＝+4，＝﹣+9，＝3﹣，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【分析】要证明三点共线，借助向量共线证明即可，由共线向量定理和向量的加减运算可得向量与共线，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得：＝＝＝2，
由共线向量定理可得向量与共线，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．
故选：A．
【点评】本题考查利用向量的共线来证明三点共线的，属基础题．
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量＝（a+c，b），＝（b﹣a，c﹣a）．若∥，则角C的大小为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由向量平行的坐标表示可得b2+a2﹣c2＝ab，再由余弦定理计算即可．
【解答】解：因为＝（a+c，b），＝（b﹣a，c﹣a），且∥，
所以（a+c）（c﹣a）﹣b（b﹣a）＝0，
整理得：b2+a2﹣c2＝ab，
由余弦定理得：＝，
因为C∈（0，π），所以．
故选：B．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示和余弦定理，属于基础题．
6．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则x＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可．
【解答】解：由题可知＝，
∵点F在BE上，
∴＝+（1﹣λ），
∴＝（）+（），
∴＝，λ＝，
∴x＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．
7．已知△ABC是等腰直角三角形，点E，F是斜边AC的三等分点，则tan∠EBF等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意，设AC＝6，点E，F是斜边AC的三等分点，可得EF＝2．过B点作AC的垂下交于D，利用三角函数的定义可得tan∠DBF的值，利用二倍角可得答案．
【解答】解：由题意，设AC＝6，点E，F是斜边AC的三等分点，可得EF＝2．过B点作AC的垂下交于D，∠DBF＝∠DBE．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝．DC＝3
由勾股定理，可得：DB＝3．
那么：tan∠DBF＝．
∴tan∠EBF＝tan2∠DBF＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义的运用和等腰直角三角形的性质．属于基础题．
8.在△ABC中，，O是△ABC的外心，M为BC的中点，，N是直线OM上异于M、O的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【分析】利用三角形外心的定义和平面向量加减运算、数量积运算法则解决问题
【解答】解：因为O是△ABC的外心，所以O是△ABC三边垂直平分线的交点，
所以,在上的投影向量为
选B
【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式和三角形的外心，属于中档题．
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设向量满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量夹角为60°
【分析】根据已知条件，将两边同时平方，推得 ＝0，即可依次求解．
【解答】解：，则，，故，
所以，故A正确，D错误，
∵＝0，∴＝，故B错误，C正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
10．已知夹角为的单位向量，且，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
【分析】根据向量模的运算法则和夹角公式求解
【解答】
，
A正确；
，B正确；
与的夹角为，错误
因为，在方向上的投影向量为正确
【点评】本题考察向量模的运算法则和夹角公式，投影问题，属于中档题。
11．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若b＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为
【分析】根据即可得出，从而求出，然后即可得出；可得出bsinA＜a＜b，从而得出△ABC有两解，判断出B正确；根据△ABC为锐角即可得出，然后根据正弦定理可得出b＝4sinB，从而可求出b的范围，从而可判断C的正误；根据条件得出，进而可得出，由余弦定理可得出，然后可得出，从而可得出，从而可求出AD的最大值．
【解答】解：A．因为，所以，，又A∈（0，π），所以，A错；
B．若b＝3，且，则bsinA＜a＜b，三角形有两解，B正确；
C．若△ABC为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；
D．若D为BC边上的中点，则，，
又，，
∴，，当且仅当b＝c时等号成立，
所以，所以，当且仅当b＝c时等号成立，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式a2+b2≥2ab的应用，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，，则＝ ．
【分析】根据题意可得出：，，然后即可求出的值，而根据进行数量积的运算即可求出答案．
【解答】解：根据题意：，，
∴，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
12．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M,则cos∠EMF= ．
【分析】如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，∠EMF就是的夹角，利用向量的夹角公式求解；
【解答】解：如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．
则D（0，6），E（3，0），A（0，0），F（6，2），∴．
由于∠EMF就是的夹角．
∴．
∴∠EMF的余弦值为．
14．如图，已知△ABC的面积为14cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD：DB＝BE：EC＝2：1，AE，CD交于点P，则△APC的面积为 cm2．
【分析】以＝，＝，建立一组基底，再利用点A，P，E与点D，P，C分别共线的性质表示出，，建立二元一次方程，再采用间接法，根据S△APC＝S△ABC﹣S△ABP﹣S△CBP，能求出结果．
【解答】解：设＝，＝，以为一组基底，则＝，＝，
∵点A，P，E与点D，P，C分别共线，
∴存在实数λ，μ，使，＝＝，
∵＝＝（），
∴，解得，
∴＝14×＝8（cm2），
（cm2），
∴S△APC＝14﹣8﹣2＝4（cm2）．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形面积的求法，考查向量运算法则、相似三角形性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知向量，为向量、的夹角。
（1）求的值；
（2）若，求实数的值。
【分析】（1）由,用向量坐标公式可得；
（2）把两边同时平方，再解方程．
【解答】解：（1）
（2）因为，两边平方可得
由（1）得
所以，或
【点评】本题主要考查平面向量数量积公式，模的公式和坐标运算，属于简单题．
16．(15分）△ABC为直角三角形，斜边BC上一点D，满足．
（1）若∠BAD＝30°，求∠C；
（2）若，AD＝2，求BC．
【分析】（1）由已知利用正弦定理可得，可得∠ADB＝∠C+∠DAC＝120°，可求∠DAC＝60°，即可解得∠C的值；
（2）设BD＝CD＝a，可得AB＝a，，BC＝3a，可求cosC＝，由已知利用余弦定理可求a，即可求解BC的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为直角三角形，，∠BAD＝30°，
∴由正弦定理：，即＝，
∴，可得∠ADB＝∠C+∠DAC＝120°，
∵∠BAD＝30°，∠C为直角，可得∠DAC＝60°，
∴∠C＝60°．
（2）设BD＝CD＝a，
∴AB＝a，，BC＝3a，
∴cosC＝＝，
∵AD＝2，
∴由余弦定理得：cosC＝＝＝，得，
∴．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
17．（15分）已知向量，设．
（1）α＝，求当||取最小值时实数t的值；
（2）若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；
（2）根据题意，假设存在实数t符合题意，求出和﹣的模以及 （﹣）的值，由向量数量积的计算公式可得cos＝＝＝，解可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，α＝，则＝（，），
则＝+t＝（1+，+t）＝（1+）（1，），
则||＝|1+|＝2|1+|，当t＝﹣2时，||取得最小值0；
（2）根据题意，假设存在实数t，使得向量与向量的夹角为，
若，则 ＝0，则有 （﹣）＝（+t）（﹣）＝2﹣t2＝4﹣t，
||2＝（+t）2＝2+t22+2t ＝4+t2，则||＝，
（﹣）2＝2+2+2 ＝5，则|﹣|＝，
又由向量与向量的夹角为，则有cos＝＝＝，
解可得：t＝﹣6或t＝，
故存在t＝﹣6或符合题意．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的判断，属于基础题．
18．（17分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求xy的取值范围．
【分析】（1）利用平面向量的加法法则，结合且，化简得出用和表示的式子；
（2）根据向量共线的条件列式，化简整理得出，从而算出的值；
（3）由题意，设，推导出，然后利用平面向量基本定理算出x＝y﹣1，，从而将xy表示为关于y的二次函数，利用二次函数的单调性算出xy的取值范围．
【解答】解：（1）由平面向量的加法法则，可得①，，②
因为M为线段BC中点，所以，
①②相加，结合，化简得，即．
（2）由AM与BD交于点N，可知存在实数t，使，
根据B、N、D三点共线，得，解得，即，所以．
（3）由题意，设，
代入并整理，可得．
又，根据平面向量基本定理，得，所以x＝y﹣1，可得．
因为，所以，
可得xy＝y（1﹣y）＝y2﹣y，相应二次函数的图象是开口向上的抛物线，关于直线x＝对称，
因此函数F（y）＝y2﹣y在区间单调为增函数，当y＝1时，（xy）min＝0，当y＝时，，
综上所述，xy的取值范围为．
【点评】本题主要考查向量的线性运算法则、二次函数的性质、平面向量基本定理及其应用，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19．（17分）如图，已知ABCD为平行四边形．
（1）若，，，求及的值；
（2）记平行四边形ABCD的面积为S，设＝（x1，y1），＝（x2，y2），求证：S＝|x1y2﹣x2y1|．
【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求得cosA，再由平面向量数量积运算可求得，由和模的计算公式即可求的值；
（2）由平行四边形的面积公式将其面积用的模和夹角表示出来，化简即可．
【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理有：＝＝，
∴＝＝，
＝＝＝＝；
证明：（2）∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴S＝＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝|x1y2﹣x2y1|，
原命题得证．
【点评】本题考查平面向量的数量积和夹角，平面向量的坐标运算，余弦定理，平行四边形的面积等，属于中档题．
