重庆市巴蜀中学高2026届高一（下）学月考试
数学参考答案
一、单择题：1 4 : B、D、B、A 5 8: B、C、C、D
a2 b2 c2 1
1、解析： cosC ，得C ，故选 B .
2ab 2 3
2
2、解析：由 a b b，得 a b b 10，故选D .
a b 2 2 2 cosB 2 B 3、解析：由 ，得 ，即 ，则 ，
sin A sin B sin 2B sin B 2 4
A 则 ，则 ABC为等腰直角三角形，所以 c b 2，故选 B .
2
2 2
4、解析：由CB CA 2AB CP，得 (CB CA) (CB CA) 2AB CP，
即 (CB CA) AB 2AB CP， (CB CA 2CP) AB 0，即 2PD AB 0，
即 PD AB（其中D为 AB中点），点动P的轨迹一定通过 ABC的外心，故选 A .
5、解析： AB AC cbcos A 3
2 2 2
，所以 c 3，则 a b c 2bc cos A 7，即 a 7
b c a 7 2 21
则 ，故选 B .sin B sinC sin A sin 60 3
6、解析：由“等和线结论”知：1 u 3，选C .
5cosB 8cosC cos A 5cosB 8cosC cos A
7、解析：由 ，得 ，则5sin(A B) 8sin(A C)，8c 5b a 8sinC 5sin B sin A
即5sinC 1 8sin B，即5c 8b； S ABC bc sin A 10 3 ，即bc sin A 20 3；2
又 B C 2A，得 A ；综上 c 8，b 5。则 a2 b2 c2 2bc cos A 49，即 a 7
3 。
2 2 2
由 AB BC CA 0，平方知 c a b 2(AB BC BC CA CA AB) 0
a2 b2 2AB BC BC CA c CA AB 69
2 ，
故选C .
另解： AB BC BC CA CA AB BC (AB CA) AC AB a2 bc cos A 69
8、解析： a 2b和 a 2b相互垂直，则 (a 2b) (a 2b) | a |
2 4 | b |2 0 ， | b | 1，则 | a | 2，
2
又 | a b | | a b |恒成立，则 a b b，即 a b b a b b 0，则 a,b 60 ，
2
| c |2 u 4u 4
2
a 16 8u u
2 2
b (u 2)(4 u)法（一）： a b
9 4 3
4u 2 16u 16 16 8u u 2 u 2 2u 8 4u 2 16u 16 16 8u u 2 u 2 2u 8
9 4 3 9 4 3
第 1 页 共 7 页
{#{QQABRYQAogiAAoBAAQgCAQWgCkMQkBACCIoOQBAAMAAASQFABAA=}#}
13u 2 16u 304 8
2
108 6 39
对称轴u 时： | c | min ，即 | c |
36 13 13 min
13
c u 2 a 4 u b u 2 2a 4 u法（二）： 3b u 2 4 u，因为 1，
3 2 6 6 6 6
所以向量 2a、3b、 c的终点 A1、C、B1共线（起点重合），
则 2a,3b 60 1 3 ， OA1B1的面积 S 4 3 3 3，2 2
| A1B
2
1 | 4 3
2 2 4 3 6 3 6 39 cos60 13，所以 | c |min ，故选D .13 13
二、多选题： 9 : ABC、 10 : AD、 11: ABC、 12 : BCD
9、解析： A选项：向量的点乘不满足结合律，选项 A错误；
B选项：若b 0，则 a∥ c不一定成立，选项 B错误；
C 选项： | a | | b |，但是 a与b不一定是同向或反向，选项C 错误；
D选项： | a b | | a c b c | | a c | | c b |，选项D正确；
故选 ABC .
2 b b
10、解析： A选项： ， sin B 1，且b a 2，则 2 b 2 2，选项 A正确；
sin 45 sin B 2 2
B选项：① sin B b 1 b，则b 2 2 ；② sin B 1 且 b 2，则0 b 2
2 2 2 2
综上0 b 2或b 2 2 ，选项 B错误；
C 2 2选项：① c为最大边：3 2 b2，且3 2 b，此时1 b 5；
b 2 2 2② 为最大边：b 2 3 ，且b 2 3，此时 13 b 5，选项C 错误；
D 2 2 2 2 2 2选项：b 2 3 ，且3 2 b ，所以 5 b 13，选项D正确；
故选 AD .
11、解析： A选项：H 为垂心，为高线的交点，则 AH BC 0，选项 A正确。
1 B选项： AW BC AW AC AW AB |AC |2 1 |AB |2 32 8 24 ，选项 B正确；
2 2
1 1 C 选项： AG BC （AC+AB） (AC AB ) (| AC |2 | AB |2) 16 ，选项C 正确；
3 3
D选项： AI BC AI AC AI AB 2 |AC | 2 |AB | 8 ，选项D错误；
故选 ABC .
第 2 页 共 7 页
{#{QQABRYQAogiAAoBAAQgCAQWgCkMQkBACCIoOQBAAMAAASQFABAA=}#}
12、解析：由3b cosC 3c cosB a2，得到3sin B cosC 3sinC cos B a sin A，得到 a 3，
由 cos2A 3cos(B C) 1 2cos2，得到 A 3cos A 2 0，则 cos A 1 ，得到 A
2 3
因为 ABC为锐角三角形，则0 B 90 ，且0 C 120 B 90 ，得30 B 90
A选项： 2R a 2 3，即 R 3，外接圆周长为 2 R 2 3 ，选项 A错误；
sin A
B选项：周长 a b c 3 2R(sin B sinC) 3 2 3[sin B sin(B 60 )]
3 3 3 2 3 [ sin B cosB] 3 6sin(B 30 ) (3 3 3,9]，选项 B正确；
2 2
C 2选项：面积 S 2R sin A sin B sinC 3 3 sin B sin(B 60 1 3 ) 3 3[ sin 2 B sin B cosB]
2 2
3 3[1 cos 2B 3 sin 2B] 3 3 3 3 sin(2B 30 ) 3 3 9 3 ( , ]，选项C 正确；
4 4 4 2 2 4
D 2 2 2选项：9 a b c 2bc cos A (b c)2 3bc，得3bc (b c)2 9
1 2
内切圆 l 2S bc sin A 3 (b c) 9 3 3 3
2 周长
r S ，则 r (b c 3) (b c)
l 3 b c 6 b c 3 6 6 2
3 2 3(sin B sinC) 3 [sin B sin(B 60 )] 3 3 3 3 sin B sin B
6 2 2 2 2 2
3 sin(B 3 3 3 3= 30 ) ( , ]，选项D正确；
2 2 2
故选 BCD .
1
三、填空题： 13: 2且 、 14 : 27.5、 15: 101、 16 : 3 7
2 9 4
1 1
13、解析： a b 4 2 0，得 2，当 a,b 0 时： 0，得
4 2 2
1
即答案为： 2且
2
14、解析：设OP h，则OA h，OB 3h， AB 55， OAB 60
2 2
OAB cos60 h 55 3h
2 1
2h2 55h 552在 中： ，则 0
2 h 55 2
h 55 55得到 米，即答案为
2 2
15、解析： DEM 相似于 BEA，且DE 1 EB DM 1，得到 DC 1 AB AM 1 ，所以 AB AD
3 3 3 3
O、F 分别为 AC、BC的中点，得到 N 为 ABC的重心，从而 N 为 BD的三等分点，
AN 2 1
2 2
则 AB AD .则 AM AN 1 ( AB AD) (2 AB 1 AD) 2 AB 7 AB 1 AD AD
3 3 3 3 3 9 9 3
2 7 1 101 101
16 6 9
9 9 3 9 ，即答案为 9 。
第 3 页 共 7 页
{#{QQABRYQAogiAAoBAAQgCAQWgCkMQkBACCIoOQBAAMAAASQFABAA=}#}
2 2 2
16、解析：由 2sinAcosB asinA bsinB 1 bsinC 1 a c b 1，得 2acosB a2 b2 bc， a2 b2 bc，
4 4 c 4
注意 c 1 1，得 a2 c2 b2 a2 b2 bc，得b 4c 4，
4
记 BAD ，由 cos 1 3 7 ，知 sin ，
8 8
在 ABE中：16 BE 2 12 AE 2 1 2 1 AE 2，即 4AE AE 60 0 ，
8
1
得 AE 4，所以 S ABC S ABE AB AE sin
3 7 3 7
，即答案为 。
2 4 4
法（二）：设 AD x， BD DC y，在 ABD y2 1 x2 1中： x ①
4
2 2 2 2
ADB ADC x y 1 x y 16 0 2 17，则 ，得 y x2 ②
2xy 2xy 2
联立①②知： x2 1 x 1 17 x2 8x2，即 x 30 0，解得 x 2，后面同上。
4 2
四、解答题：
3 m
17、解析：（1）OA∥OC，则 ，则m 6， AB (3,1)，OC (3,6)
1 2
AB OC 9 6 2 cos AB,OC ，向量 AB与向量OC的夹角为 45 。
| AB | |OC | 10 3 5 2
（2）OB OC，则12 3m 0，得m 4， AB (3,1)，OC (3, 4)
| AB | AB OC OC AB OC OC 5 OC (3 , 4投影向量 )
| AB | |OC | |OC | |OC |2 25 5 5
a sin B bsin(A ) a sin B b(sin A 1 cos A 318、解析：（1）由 ，得 )，
3 2 2
即 sin Asin B sin B(sin A 1 cos A 3 ) 1， sin Asin B 3 cos Asin B，
2 2 2 2
因为 sin B 0，所以 tan A 3，又因为0 A ，所以 A 。
3
1 3 3
（2）面积 S ABC bc sin ，所以bc 6；2 3 2
AD为角平分线，所以 S BAC S BAD S DAC ，
1 1
即 bc sin c 3 sin 1 3bsin ，即bc b c 6
2 3 2 6 2 6
a2 b2 c2 2bc cos 从而 (b c)2 3bc 18，所以 a 3 2 。
3
第 4 页 共 7 页
{#{QQABRYQAogiAAoBAAQgCAQWgCkMQkBACCIoOQBAAMAAASQFABAA=}#}
AG 3 AE uAC
19、解析：（1）设 AG AB uAC 2 1 ，将 AE AB， AD AC 代入，得
3 2 2 AG AB 2uAD
1
3 u 1
因为 E、G、C三点共线，且 B、G、D三点共线，所以 2 ，得 2
2u 1 u
1
4
1 1
即 AG AB AC。
2 4
1 1
（2） AG AB AC， AM mAB、 AN nAC，
2 4
则 AG 1 1 AM 1 1 AN ，因为M、G、N 三点共线，
2 m 4 n
1 1 1 2 1 2 1 1 m 4n 1则 ，即 4，m 2n (m 2n)( ) (2 2) 2
2m 4n m n m n 4 n m 4
2 1 4 m 1
当且仅当 m n ，即 1
n
时取得等号。
m 2n 2
1 1 2 2
此时MN AN AM AC AB， |MN | AC AB AC AB 4 36 15 5
2 4
20、解析：（1） 3a cosB bsin A，则 3 sin AcosB sin B sin A， tan B 3，0 B
B 60 3 S S S (a 2 c 2 b 2 ) 10 3 a2 c2 2则 ；又 1 3 2 ，即 b 404
2
cosB a c
2 b2 40 1
，所以 ac 40 S 1 1 3 ，面积 ABC ac sin B 40 10 32ac 2ac 2 2 2 2
（2） (2R)2 ac 40 49 196 14 14 3 ，则 2R ，则b 2R sin B 7
sin AsinC 30 3 3 3 2
又 49 b2 a2 c2 2ac cosB (a c)2 3ac (a c)2 120，所以 a c 13
周长 a b c 13 7 20。
21、解析：（1） ABC 60 ， ABC ADC ，则 ADC 120
在 ABC 2 2 2中： AC AB BC 2 AB BC cos 42 62 2 4 6 cos60 28，即 AC 2 7
在 ADC 中： DAC 45 ， ADC 120 ， AC 2 7 ， 由正弦定理知：
AC CD 2 7 CD
，即 ，则CD 2 42 千米
sin CAD sin ADC sin120 sin 45 3
第 5 页 共 7 页
{#{QQABRYQAogiAAoBAAQgCAQWgCkMQkBACCIoOQBAAMAAASQFABAA=}#}
（2）设 ABC ， AD a，DC b，则 a b 6，则
2 2 2
在 ABC中： AC 4 6 2 4 6 cos 52 48cos
在 ABC中： AC 2 a2 b2 2 a b cos( ) 36 2ab 2ab cos
则52 48cos 36 2ab (cos 1) ab 8 24cos ,得
cos 1
S 1 1 4 12cos 所以 ABCD S ABC S ADC 4 6 sin ab sin( ) 12sin sin 2 2 cos 1
8 2 sin cos 8 cos
4sin (3 1 3cos 8sin 8 ) 2 2 2
cos 1 1 cos 1 (1 2sin 2 ) sin tan
2 2 2
因为圆心O在 ABC的内部或边界，所以 ABC 90 ，则 tan 1，所以 (S
2 ABCD
)min 8。
22、解析：（1）函数 f (x)的“源向量”为OM (1, 3)，所以 f (x) sin x 3 cos x 2sin(x )，
3
x [0, ] 4 ，则 x ， 则当 x 时， f (x)max 23 3 3 3 2
x 4 则当 时， f (x)min 3，所以函数 f (x)的值域为[ 3,2]3 3
（2）法（一） g(x) 3 sin(x ) 3 cos sin x 3 sin cos x
则 g(x)的源向量为 OM ( 3 cos , 3 sin ) ，圆O内切于正 ABC，
则OA OB OC 0，又因为 |OM | 3，所以 |OA | |OB | |OC | 2 3
2 2 2
MA MB MC (MO OA)2 (MO OB)2 (MO OC)2
2 2 2 2
3MO 2MO (OA OB OC) OA OB OC 9 36 45
法（二）因为 |OM | 3， 则 |OA | |OB | |OC | 2 3，则 AB 6，又M ( 3 cos , 3 sin )
且C(0,2 3)， A( 3, 3)， B(3, 3)，从而，MA ( 3 3 cos , 3 3 sin )，
MB (3 3 cos , 3 3 sin )，MC ( 3 cos ,2 3 3 sin )，
2 2 2
则MA MB MC (3 3 cos )2 ( 3 3 sin )2 (3 3 cos )2
( 3 3 sin )2 ( 3 cos )2 (2 3 3 sin )2 9cos2 9sin 2 36 45
（3）函数 h(x)的“源向量”为OM (0,1)，则 h(x) cos x，则 h(A) cos A 3 ， a 8
5
2 2
| AB 6 3则 AC | AB AC AB AC 2AB AC AB AC b2 c2 bc bc
5 5
第 6 页 共 7 页
{#{QQABRYQAogiAAoBAAQgCAQWgCkMQkBACCIoOQBAAMAAASQFABAA=}#}
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 6 bc 64 b2 c2 6 12则又 ，即 bc 64 bc，
5 5 5
所以 | AB AC | AB AC 64 12 3 3 bc bc 2 16 bc 3 bc，
5 5 5 5
64 b2 c2 6 4因为 bc bc，即bc 80，当且仅当b c时取等号，
5 5
又因为当顶点 A无限接近顶点C，边b无限接近0，即bc无限接近0，
0 bc 80 t 16 3 3综上所述： 2，换元令 bc ，则 bc t 16
5 5
从而 | AB AC | AB AC 2t (t 2 16) t 2 2t 16，其中 4 t 8，
所以 | AB AC | AB AC t 2 2t 16 [ 32,8)，
即 | AB AC | AB AC 的取值范围[ 32,8)。
法（二）： | AB AC | AB AC 2 | AD | 1 [(2AD)2 82 ] | AD |2 2 | AD | 16
4
1 2 2
（D为 BC的中点） | AD | AB AC 2AB AC 1 c2 b2 6 bc，
2 2 5
且64 a2 b2 c2 6 bc，所以 | AD | 1 12 3 a 64 bc 16 bc ，外接圆 2R 10
5 2 5 5 sin A
从而bc (2R)2 sin B sinC 100sin B sin(B A) 100 3 sin B(sin B cosB 4 )
5 5
60sin 2 B 80sin B cosB 40sin 2B 30cos 2B 30 50sin(2B ) 30
其中 tan 3 ，且0 90 ，并且0 B A
4
当 B接近0 时：bc接近0，当 2B 90 时，bc 80，综上所述0 bc 80
从而 | AD | 16 3 bc (4,8]， | AB AC | AB AC | AD |2 2 | AD | 16，
5
即 | AB AC | AB AC 的取值范围[ 32,8)。
另解求 | AD | a的取值范围：外接圆 2R 10
sin A
所以OA 5，DC 4，OD 3，记 AOD
2 2
在 AOD中： | AD | 3 5 2 3 5 cos 34 30cos ，
3
其中 COD ，即 1 cos ，所以 4 | AD | 8
5 。
第 7 页 共 7 页
{#{QQABRYQAogiAAoBAAQgCAQWgCkMQkBACCIoOQBAAMAAASQFABAA=}#}高2026届高一（下)学月考试
数学试卷
注意事项：
1、作答前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置上。
2、作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3、考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。试卷满分150分，考试时长120分钟。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+b2-c2=ab,则C=()
以交
B
C.
2π
D.
5π
4
3
6
2、已知向量a、i满足：a=(1,3),G-1a,则a.b=()
A.1
B.、3
C:W10
D.10
3、在△4BC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A=2B,a=2√2，b=2,则c=()
A√2
B.2
C.2W2
D.2W3
4、在△4BC中，动点P满足CB2-C=2AB.CP,则动点P的轨迹一定通过△4BC的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A=60°，b=2,且AB.AC=3,
则
b+c
=()
sin B+sinC
】5
435
B.
2W21
C
27
D.4②1
2
3
3
3
6、键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用。有机物“萘”可以用左下图所示的
键线式表示，其结构简式可以抽象为右下图所示的图形，·己知ABCHIJ与CDEFGH为全等的正六
边形。若点P为右边正六边形CDEFGH的边界（包括顶点）上的动点，且向量AP=AAC+u万，
则实数入+4的取值范围为(·)
G
A.[0,2
B.【-1,3]
C.[,3
D.【-1,2]
7、在AMBC中，角A、小B、C的对边分别为a、b、c,若5oosB-8cosC_cos4
8c-5b
,又△ABC
a
的面积S=10V5,且B+C=2A,则AB.BC+BC.CA+CA:AB=()
”第1而A而
可
0000000
A.64
B.84
C.-69
D.-89
8、己知向量a、b、c满足：b为单位向量，且a+2b和a-2b相互垂直，又对任意元∈R不等式
1a-1≥1a-b1恒成立，若c="+2a+4“方(u∈R),则1c的最小值为()
2
A.1
6W5
c.53
D.
6V39
13
13
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、关于同一平面内的任意三个向量4、b、c,下列四种说法错误的有()
A.(a-B).c=a.(b.c)
B.若a∥b,且b∥c,则a∥c
C.若|a曰bl,则a=b或a=-b
D.la+bla+cl+|c-bl
10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且己知a=2,则()
A.若A=45°，且△4BC有两解，则b的取值范围是(2,2√2)
B.若A=45°，且△ABC恰有一解，则b的取值范围是(0,2]
C.若c=3,且△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(13,5)
D.若c=3,且△MBC为锐角三角形，则b的取值范围是(W5,√3)
11、在等腰△ABC中，己知AB=4,CA=CB=8,若H、W、G、I分别为△ABC的垂心、外心、
重心和内心，则下列四种说法正确的有()
A.AH.BC=0
”B.Am.BC=24
C.AG.BC=16 D.Ai.BC=12
12、在锐角△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c,且3 b.cosC+3 c.cos B=a2,
cos2A-3cos(B+C)=1,则下列说法正确的是有()
A.△ABC的外接圆的周长为4V5π
B.△4BC的周长的取值范围为(3+3W5,9]
C.AMBC的面积的取值范围为5,9y5]
2,4
D△4C的内切a的半轻的取位意国为2二5，马
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、己知平面向量a=(1,)与b=(4,2)的夹角为锐角，则实数2的取值范围是
竹？而t4而
0000000
