2024学年浙江省温州市瑞安塘下片区六校九年级下学期入学检测 数学试卷(含答案)

2023学年第二学期九年级入学检测
数学试卷
亲爱的同学：
欢迎你参加考试！做题时要认真审题，积极思考，细心答题，发挥你的最佳水平．
答卷时，请注意以下几点：
1．全卷满分为120分，考试时间120分钟．
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成，请将答案写在答题卷相应的位置，写在试题卷上无效．
3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带、计算器等．祝你成功！
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．如图，数轴上点表示的数绝对值最小的是（ ）
（第1题）
A． B． C． D．
阅读下列材料，完成第2，3题．
【材料】随着新媒体的发展，更好地推动了全民阅读，一些学者、作家、文化文艺名人等担任“领读人”，通过直播、短视频以及图文等形式，利用新媒体平台助力大众阅读．经典名著依旧是大众推崇的书目，经统计四大名著相关读书视频总播放量已超过3亿，具体数据如图1所示．
图1
2．四大名著中，哪一本名著的相关视频最受欢迎（ ）
A．《红楼梦》 B．《西游记》 C．《三国演义》 D．《水浒传》
3．四大名著相关读书视频总播放量中，《西游记》的播放量为93000000，请将这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
（第5题）
A． B． C． D．
6．如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，若，则的长为（ ）
（第6题）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件．已知甲品牌衬衣的单价为120元，乙品牌衬衣的单价为90元，则买这件衬衣共需付款（ ）
A． B． C． D．
8．一组7个数据分别为，，，，，，．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是（ ）
A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变
C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变
9．已知二次函数，当时，则（ ）
A．若时，函数有最小值 B．若时，函数有最小值
C．若时，函数有最小值 D．若时，函数有最小值
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连结并延长交于点，连结，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（ ）
（第10题）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：______．
12．不等式的解是______．
13．某班45名学生体重达标情况（单位：人）如下表所示，在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是______．
体重 偏瘦 标准 超重 肥胖
人数 3 36 4 2
14．一扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为______．
15．如图，内有一Rt，，，点在圆上，边经过圆心．是平移后的图像，点，的对应点，在上，点的对应点在外，若与相切，连结，则______ ．
（第15题）
16．如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是______．
（第16题）
三、解答题（本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）小胡在解分式方程时，发现了问题，请你帮他将正确的解题步骤写出来．
检验：当时，左边．右边左边．
18．（本题8分）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾．下面是该校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量的频数分布表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量频数表
组别 频数
6
9
某校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量频数直方图
（1）求和的值，并补全频数直方图．
（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元被回收，该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到150元？
19．（本题8分）如图，测得两幢楼之间的距离为，从楼顶观测点的俯视角为，点的俯视角为．求这两幢楼的高度（精确到）
（参考数据：）
（第19题）
20．（本题10分）已知一次函数的图像经过两点．
（第20题）
（1）求该一次函数的解析式．
（2）如图，点是该一次函数的图像上一点，过作轴的垂线分别交经过点的反比函数图像于点和点，以为边的的顶点在轴上，求出点的坐标．
21．（本题10分）如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点．
（第21题）
（1）求证．
（2）连结，若时，求的长．
22．（本题12分）阅读材料，完成任务．
知识条目 定义：如图1，抛物线与抛物线的图像只有一个公共点，即方程联立有两个相同的解，则称这两条抛物线紧密衔接于点．
图形应用 在景观设计中，无论是在传统亦或是现代，东方亦或是西方，弧线在各类设计作品中都大量的存在，并被人们赋予了更多丰富的内涵，具有运动的美感。
知识延伸 任务一：在图1中，分别是这两段抛物线的顶点，请证明，且三点共线．
知识应用 如图3，长方形是一处景观，米，米，分别是边的中点，是上的点，设计了两段抛物线和抛物线紧密衔接于点分别是两条抛物线的顶点，点落在边上．分别是的中点，以为圆心，为半径，和以为圆心，的一半长度为半径设计两个圆形花坛．任务二：如图3，当与相切于点时，请建立合适的直角坐标系，求出这两段抛物线的解析式．任务三：为了设计整体感观更加和谐，使三点共线，求出此时上的点到边最小长度．
23．（本题12分）如图，在Rt中，是斜边上一点，以为圆心，以为半径的圆与边相切于点，交于点，是下半圆弧上的中点，连结交于点．已知．
（第23题）
（1）证明：．
（2）求的半径和的长．
（3）是上一点，连结，若直线与四边形的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的的长．
2023学年第二学期九年级入学检测
数学卷参考评分标准
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C B C D D A D
二、填空题（本题有6题，每小题4分，共24分）
11． 12． 13． 14． 15．16° 16．10
三、解答题（本题有7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（本题6分）解：
经检验：是原方程的增根，舍去
∴原方程无解．
18．（本题8分）(1)由直方图可知b=3，∴a=30 6 9 3=12．
(2)∵该校这周收集的可回收垃圾的质量小于4.5×6+5×12+5.5×9+6×3＝154.5（kg），
∴该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额小于154.5×0.8＝123.6元，
∴该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额不能达到150元．
19．（本题8分）
过点D作DF⊥AB于F点，
在Rt△ABC中，∠ACB=∠CAE=45°，
∴AB=BC×tan∠ACB=25.4×tan45°=25.4(m)．
在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAE=35°，DF=BC=25.4(m)
∴AF=DF×tan∠ADF=25.4×tan35°≈25.4×0.70=17.78(m)．
∴CD=AB AF=25.4 17.78=7.62≈7.6(m)．
20．（本题10分）
解：（1）将A（1，2），B（4， 1）代入得，
，解得，
∴该一次函数的解析式为．
（2）设P（m， m+3），
∵经过A（1，2）的反比例函数解析式为，
经过B（4， 1）的反比例函数解析式为，
∴C（m，），D（m，），
∴CD=．
∵在□ACDE中，AE∥CD，CD⊥x轴，
∴AE⊥x轴，∴AE=CD=2，
∴=2，∴m=3，∴P（3，0）
21．（本题10分）
（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC即AD∥BF，
∴∠DAF=∠F．
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠F，
∴EF=AE．
（2）∵EG⊥AE，∴∠AEG=90°．
∵在矩形ABCD中，∠D=90°，
∴∠AEG=∠D．
∵∠DAF=∠EAF，AG=AG，
∴△AEG≌△ADG，
∴AE=AD=10．
∵在Rt△ABE中，AB=8，
∴BE=．
∵EF=AE=AD=BC，
∴EC+CF=EC+BE，∴CF=BE=6．
22．（本题12分）
任务一：由定义可知有两个相同的解，
即有两个相同的解，
∴，
∴，即．
过M，N分别作x轴的垂线，交x轴于点P，Q，连结OM，ON
∵M，N分别是这两段抛物线的顶点，
∴M(m，)，N(n，)
∴MP=，NQ=，OP=，OQ=n
∴tan∠POM=，tan∠QON=
∴tan∠POM=tan∠QON，∴∠POM=∠QON，
∴M，O，N三点共线．
任务二：以G为原点，直线EF为x轴建立直角坐标系，
∴两段抛物线解析式可设为()与()
连结MN，由任务一可知MN经过G点，且
，
∵⊙O2与BC相切，∴NO2=．
∵GF=4NO2=16，∴F（16，0），N（8， 4）代入得，
，，∴．
∵EG=EF GF=24 16=8，∴GO1=，E（ 8，0），
∴，∴M（ 4，2）
将E（ 8，0），M（ 4，2）代入得，
，，∴．
任务三：
设，
∵A，M，F三点共线，∴△MFO1∽△AFE，
∴，∴，
∴，
∴．
∵，∴解得或（舍去）
∴，∴⊙O2的半径为,
∴⊙O2上的点到BC边最小长度为（m）．
23．（本题12分）
（1）如图，连结OD，OF，
∵⊙O与AC相切于D，
∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠ADG+∠ODG=90°．
∵F是下半圆弧上的中点，
∴∠FOG=90°即∠OGF+∠F=90°．
∵OD=OF，∴∠ODG=∠F，
∴∠ADG=∠OGF．
又∵∠OGF=∠DGA，∴∠ADG=∠DGA，
∴AG=AD．
（2）设⊙O的半径为r，
∵OG=1，∴EG=r 1．
∵AE=2，∴AG=r+1，OA=r+2，
∴AD=AG=r+1．
在Rt△ADO中，有勾股定理可知，
，解得，
∴AD=r+1=4，AO=r+2=5，AB=2r+2=8，
∴cos∠A=，，
∴CD=．
（3）①如图1，当M为BC与⊙O相交的点时，则BM⊥AC，
图1
连结EM，
∵BE是直径，
∴∠BME=90°=∠C，
∴EM∥AC，
∴∠MEB=∠A，
∴sin∠A=，∴．
②如图2，设BC与⊙O的交点为N，当MN为直径时，BM⊥BC，
图2
由①可知,
∵MN=2r=6，则BM=．
③如图3，当BM⊥DF时，记垂足为H，连结BD，BF，
∵F是下半圆弧上的中点，
∴=90°，∴∠BDF=45°，
∴∠DBM=45°，
∴=90°=，
∴，即，
∴BM=DF．
∵易得，∴BD=，
∴DH=BH=．
∵BF=，∴HF=,
∴BM=DF=DH+HF=．
综上所述，直线BM与四边形BCDG的某一边所在的直线垂直时，
BM的长度为，或．