2024 年河南省五市高三第一次联考
（数学）参考答案
一、选择:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C B D A B A
二、选择:
题号 9 10 11 12
答案 ABD BCD AB BD
三、填空:
1 60 1012 2 3913. 14. 15. 16.
13
四、解答题:
17.(Ⅰ)由条件b2 a2 ac，根据正弦定理可得
sin2 B sin2 A sin AsinC ...........................................1 分
即 cos 2A cos 2B 2sin AsinC .......................................2 分
所以 2sin(A B)sin(A B) 2sin AsinC ..............................3 分
也即 sin(B A) sin A ...............................................4 分
从而证得 B 2A ...................................................5 分
(Ⅱ)若 ABC为锐角三角形，根据(Ⅰ) B 2A
B 2A
2
2A
2
则
C A B 3A
2 2
得 A ......................................................6 分
6 4
sin(C A) sin B sin( A B A) sin B sin 4A sin 2A
式子
sin A sin A sin A
数学参考答案 第 1 页 共 7 页
{#{QQABZYQAggiAAoBAAAgCAQnwCEIQkAACACoOgBAEMAAACRNABAA=}#}
sin(3A A) sin(3A A)
2cos3A .....................................................................8 分
sin A
由 3A 3 cos3A ( 2 ,0)
2 4 2
sin(C A) sin B
因此 2cos3A ( 2,0)即为所求.........................................10 分
sin A
18. a(Ⅰ)根据条件则 f ' (x) 2x(x 0) ...............................1分
x
当 a 0时， f ' (x) 0在定义域 (0, )内恒成立，
因此 f (x)在 (0, )递减；...............................2 分
当 a 2a 0时，由 f ' (x) 0，解得0 x ；
2
f ' (x) 0 2a ，解得 x .................................3 分
2
因此：
当 a 0时， f (x)的单调减区间为 (0, )，无增区间；
a 0 2a 2a 时，f (x)的单调减区间为 ( , )，增区间为 (0, )；..........4 分
2 2
2a
注：区间端点 x 处可以是闭的
2
(Ⅱ)若 f (x)有两个零点，有(Ⅰ)可知 a 0
f (x) 2a且 f ( )
2
则必有 f ( 2a ) a ln 2a ( 2a ) 2 a 0 .............................6 分
2 2 2
即 ln a 1 0
2
a 2解得 ........................................................8 分
e
又因 f (1) 1 2 0, f (4a) a ln 4a 16a
2 a a(ln 4a 16a 1) .......................9 分
e e
g(t) ln t 4t 8 1 1 4t即 1(t 4a ) g '(t) 4
e t t
数学参考答案 第 2 页 共 7 页
{#{QQABZYQAggiAAoBAAAgCAQnwCEIQkAACACoOgBAEMAAACRNABAA=}#}
可得 g(t) g(1) ln 1 1 1 0，
4 4
也即得 g(t) 0在 t (8 , )恒成立....................................................................10 分
e
1 2a 2a
从而可得 f (x)在 ( , ), ( , 4a)区间上各有一个零点...............11 分
e 2 2
综上所述，若 f (x) 2有两个零点实数 a的范围为 ( , ) ..................12 分
e
19.(Ⅰ)记等差数列 an 的公差为 d，则由条件
a3 a4 a11 a1 2d a1 3d a1 10d
3(a1 5d ) 3a6 84
得 a6 28.........................................................2 分
从而 d a7 a6
33 28 5 .................................................3 分
an a6 (n 6)d
5n 2 即为所求...................,..........................4分
(Ⅱ)对任意 n N k 2k k 2k ，由5 an 5 ，即5 5n 2 5 ..................5 分
2 2
整理得5k 1 n 52k 1 .........................................6 分
5 5
故5k 1 1 n 52k 1，...............................................8 分
从而得bk 5
2k 1 5k 1 ...............................................9 分
则 bk 的前 k项和为
5(25k 1) 1 (5kT 1)k ..........................................10 分25 1 5 1
1
(52k 1 6 5k 1)(k N ) .......................................12 分24
20.(Ⅰ) 取 BC中点为 E ,由条件则OE为梯形 ABCD的中位线，
数学参考答案 第 3 页 共 7 页
{#{QQABZYQAggiAAoBAAAgCAQnwCEIQkAACACoOgBAEMAAACRNABAA=}#}
则OE BC .............................................................................................................1 分
又 PB PC ,则 PE BC
且 PE OE E ,根据线面垂直的判定定理可得 BC 面POE .............2 分
得 BC PO .......................................................3 分
又由 PA PD ,则 PO AD , AD,BC为梯形的两腰，则 AD与 BC相交
即可得 PO 面 ABCD，.............................................5 分
又OC 面 ABCD ,进而得CO PO ...................................6 分
1
(Ⅱ)取CD的中点为Q ,由 AB CD 1, CDA 60 ,
2
则 AQ CD , AD CD 2QD 2 ,
因此 ACD为等边三角形,CO AD
由(Ⅰ)知 PO 面 ABCD，OP OA OC ..............................7 分
如图，分别以OC,OA,OP分别为 x, y, z轴正方向，
建立空间直角坐标系
由CD DA PA PD 2 , CDA 60 ,则
OP OC 3 ,
A(0,1,0),B( 3 , 3 ,0),C( 3,0,0),P(0,0, 3),D(0, 1,0)
2 2
1 2 3
又由DM 2MP M (0, , )
3 3
PC ( 3,0, 3),BC ( 3 3得 , ,0)
2 2
AC ( 3, 1,0), AM (0, 4 , 2 3) .....................................................................8分
3 3
设平面 PCB的一个法向量为 n1 (a,b,c)
3a 3c 0 n PC 0
由 1
3 3
n1 BC 0 a a 0 2 2
取 a 3，得b 1,c 3，得 n1 ( 3,1, 3) .......................................................9 分
同理可得平面 ACM 的一个法向量为 n2 (1, 3,2) ............................................10分
数学参考答案 第 4 页 共 7 页
{#{QQABZYQAggiAAoBAAAgCAQnwCEIQkAACACoOgBAEMAAACRNABAA=}#}
记平面 PCM 与平面 ACM 所成的角的大小为 ，
则 cos | n1 n 2 | 3 1 1 3 2 3 .......................................................11 分
| n1 | | n2 | 7 8
42
........................................................................................................12 分
7
21.(Ⅰ)由条件，每次抢题+答题，甲得 1分的概率为
P 1 3 1 1 11甲 ..............................................1 分2 5 2 2 20
11 9
每次抢答题乙得 1分的概率为 P乙 1 P甲 1 ...................2 分20 20
若第二题答完比赛结束，则前两次答题甲得 2分或者乙得 2分，因此第二题发完
P 11 9 101比赛结束事件发生的概率 （ ）2 （ ）2 .................................................4 分
20 20 200
( Ⅱ )根据题意，竞赛结束时抢答题目的总数 X 的所有可能取值为
2,4,6,8， ，2n， (n N ) ...........................................5 分
记 pn P(X 2n)
X 2 p P(X 2) 101由(Ⅰ)知，当 时， 1 ，200
99
且 pn 1 pn (n N ) .............................................7 分200
则 X 的分布列可表示为：
X 2 4 6 … … 2n … …
P p1 p2 p3 … … pn … …
...............................................8 分
∴EX 2p1 4p2 6p3 8p4 2n p n
101 4 99 p 6 99 1 p2 8
99 p3
99
2n p
100 200 200 200 200 n 1
101 99
(4p1 6p2 8p3 2n pn 1 (2n 2) pn )100 200
101 99
[(2 p 4 p 6 p 2n p ) 2( p p p p )]
100 200 1 2 3 n 1 2 3 n
101 99
(EX 2) ...........................................11 分
100 200
400
解得 EX ....................................................12分
101
数学参考答案 第 5 页 共 7 页
{#{QQABZYQAggiAAoBAAAgCAQnwCEIQkAACACoOgBAEMAAACRNABAA=}#}
22.(Ⅰ)根据条件则 2a 6,a 3 ,
当点D位于短轴顶点时， DF1F2面积的最大，且 (S DF F )max bc 2 2 ，1 2
也即 a2 b2 c2 9,bc 2 2 ........................................2 分
解得b 2 2,c 1或b 1,c 2 2
1
又 e ，因此 a 3,b 1,c 2 2 ，...................................3 分
3
x2E : y 2 1 .....................................................4 分
9
3 1
(Ⅱ)存在定点Q( , )使得 |QH | 85 为定值.....................5 分
2 3 6
由题意过点 P的直线 l1与椭圆 E交于 A点，与直线 x 8交于M 点, l2与椭圆
E交于 B点，与直线 x 8交于N 点,设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ),M (8, t1),N (8, t2 ) .
根据条件则 t1 t2 11，
y1 t1
x1 3 11 y y
且 1 2
t t
1 2 1 ①..........................6 分
y2 t2 x1 3 x2 3 11 11
x2 3 11
由条件则直线 AB的斜率不为0，因此设直线 AB的方程为
lAB : x my n
y1 y2 y1 (x2 3) y2 (x1 3) y1 (my2 n 3) y2 (my由①则 1 n 3)
x1 3 x2 3 (x1 3)(x2 3) (my1 n 3)(my2 n 3)
2my1y2 (n 3)(y 1 y2)2 1 ②m y1y2 m(n 3)(y1 y2 ) (n 3)
2
.....................................................7 分
x2
y2 1
联立 9 ，整理得 (m2 9)y2 2mny n2 9 0 ，该方程有两个不同的实
x my n
数根 y1, y2，则 4m
2n2 4(n2 9)(m2 9) 0 ，由韦达定理可得
数学参考答案 第 6 页 共 7 页
{#{QQABZYQAggiAAoBAAAgCAQnwCEIQkAACACoOgBAEMAAACRNABAA=}#}
y y 2mn n
2 9
1 2 2 , y1y2 2 ........................................8 分m 9 m 9
代入②中
18m 6mn
整理得 2 1，又 n 3，9(n 3)
3
化简得m (n 3) ...............................................9 分
2
l 3 3 3因此 AB : x my n (n 3)y n n(1 y) y2 2 2
即直线 AB 2过定点 ( 3, ) ...........................................10 分
3
记直线 AB过定点为 R( 3, 2)
3
过原点O作直线 AB的垂线，垂直为H，则点H在以OR为直径的圆上，则OR的
1 85
中点到 H 的距离等于 |OR | 为定值，因此存在定点即为 OR 的中点
2 6
Q( 3 1 1 85 , )使得 |QH | |OR| 为定值...............................12 分
2 3 2 6
数学参考答案 第 7 页 共 7 页
{#{QQABZYQAggiAAoBAAAgCAQnwCEIQkAACACoOgBAEMAAACRNABAA=}#}★2024年3月21日下午
1ì.09
2024年河南省五市高三第一次联考
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120
分钟，考试结束后，将答题卡交回，
注意事项：
1答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码
区域内、
2,选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0,5毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效！%顺公，代」五登回，四容左衣妇咨雏人两国
4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄玻不准使用涂改液、刮纸刀，女一式
→的容圆拉人西S,第I卷选择题共60分)浏一让情人，心
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有，项是符合题
目要求的.
1.集合A=(红|y=x2),B-{y|y=x},则A∩B束9臀二策水（】)
A.0
B.{0}《X)道C[0,平。月答餘，乘D.R筑诚农〔1)
2.以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角a,其终边落在直线y=x上，则有
A.sina=-
②
2
Bcaa-竖
C.sina+cosa=±√2
D.tana=士l
3.平面向量a,6满足|a|=2,!方|=3，|a十古|=4，则6在a方向上的投影向量为
,匠钟其1迟抢含流通3小
B.
n厉5
12
C.8
4.已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一
个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为圆瓣已眼代，直心
,日大显垂
.0
B头A除直》0C召科坐经【皮晓坐D3点两，k日
4
5
:大51圆束(【)
5.已知函数fz)的导函数为f(z,且fG)==f31t+z-4红，则f)的
极值点为
由联四黄，斗
A或号
1
C.-
2
n
6,某款卷简卫生纸绕在圆柱形空心纸简上，纸简直径为20mm,卫生纸厚度约为0.1mm,若
未使用时直径为80mm,则这个卷筒卫生纸总长度大约为（参考数据π≈3.14）
A.47m
B.51m
C.94m
D.102m
高三数学)第1页（共4页）
7已知P为棱长为6的正四面体ABCD各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记
P到面ABC.面ACD,面BCD,面ABD的距离分别为九，Ahh若九，十h。=1,则2办
⑧的最小值为
A.2
B号
C.9+42
2
D.12+4√2
8.抛物线C:y2=2px(力一0)在其上一点处的切线方程为y一x一1=0，点A,B为C上
两动点，且|AB|=6,则AB的中点M到y轴距离的取值范围为
A.[2,+o∞)
hr+o)
C.[3,+∞)
D.+o)
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准
分某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：y一x十
t(,t∈R),其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学
科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80
分则以下说法正确的是
A若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分
B.若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数
C.该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同
D.该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分
10.函数f(x)=2sin(az十p)(w>0,1g|<空)的部分图像如图所示，则
Am-2,9=君
B不等式fx)>1的解集为(r+音kx+登，（∈2Z)
2
C径为f(x)的-个零点
D.若A,B,C为△AC内角，且fA)=f(B),则A=B或C=百
11.对于数列{am}(am∈N+),定义bk为a1,a2,…,a中最大值(k=1,2,…,n)(n∈N+),
把数列{6}称为数列{a。}的“M值数列”.如数列2,2,3,7,6的“M值数列”为2,2,3,7，
7,则
A,若数列{a.}是递诚数列，则{b}为常数列
B,若数列{am}是递增数列，则有an=bn
C.满足{6.}为2,3,3,5,5的所有数列{a.}的个数为8
D,若a,=（-2)-(n∈N+),记S。为{}的前n项和，则So=号(2w一1）
31
高三数学第2页（共4页）
