8.1 条件概率
课程标准 学习目标
（1）利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． （2）能利用条件概率和独立性等概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. （1）结合古典概型，了解条件概率的定义. （2）掌握条件概率的计算方法. （3）了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. （4）会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． （5）结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率并了解贝叶斯公式
知识点01 条件概率
1、条件概率的概念
条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
【即学即练1】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据条件概率定义，所以D正确.
故选：D.
知识点02 条件概率的性质
设，则
（1）
（2）如果与是两个互布事件，则；
（3）设和互为对立事件，则．
【即学即练2】（2024·辽宁丹东·一模）已知，，，那么 ．
【答案】/
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
知识点03 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
贝叶斯公式
设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有
在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率．
【即学即练3】（2024·高二·全国·课时练习）设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
【解析】（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则,
，
取到次品的概率为
（2）若取到的是次品，
此次品由甲车间生产的概率为：
此次品由乙车间生产的概率为：
此次品由丙车间生产的概率为：
题型一：条件概率的理解
【典例1-1】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
【答案】C
【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率．
选项A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；
选项B：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；
选项C：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；
选项D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．
故选：C
【典例1-2】（多选题）（2024·高二·全国·课时练习）下面几种概率不是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率
【答案】ACD
【解析】由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A，C，D中的不是条件概率．
故选：ACD．
【变式1-1】（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列哪些是条件概率？
(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率；
(2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；
(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率．
【解析】（1）由于高一的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件求的概率，
所以所求概率是条件概率.
（2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概率，
所以掷出的点数为3的概率不是条件概率.
（3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的条件下求出的概率，
所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率.
【方法技巧与总结】
判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．
题型二：利用定义求条件概率
【典例2-1】（2024·高二·广东肇庆·期中）从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在第1次抽到奇数的条件下，余下个奇数和个偶数，
再次抽取时，抽到奇数的概率为.
故选：C
【典例2-2】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件共有种，
其中事件有种，
事件有共种，
所以.
故选：C.
【变式2-1】（2024·高二·四川绵阳·期末）科技博览会需从5个女生（分别记为，，，，）中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则被选中的概率为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75
【答案】B
【解析】由题意若被选中，则只需从其余四个人中再选一个人即可，所以被选中的概率为.
故选：B.
【变式2-2】（2024·高二·河南·期中）某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D.
【变式2-3】（2024·四川德阳·模拟预测）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组.
所以，，
所以.
故选：D
【变式2-4】（2024·湖南邵阳·一模）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，
，，，
，
，
.
故选：A.
【方法技巧与总结】
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率和．
(2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
题型三：概率的乘法公式
【典例3-1】（2024·高二·湖北宜昌·阶段练习）一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求：
(1)第一、第二次都取得白球的概率；
(2)已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率；
(3)求第二次取得白球的概率．
【解析】（1）记事件为“第一次取到白球”，事件为“第二次取到白球”，事件为“第一次未取到白球”，
则第一、第二次都取得白球为事件.
根据题意可得,
所以,
所以第一、第二次都取得白球的概率为.
（2）根据题意可得，
所以己知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率为.
（3）根据题意可得，
所以第二次取得白球的概率为.
【典例3-2】（2024·高二·江苏·专题练习）10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率．
【解析】（1）记事件A表示甲抽到难签，抽签的试验有10个不同结果，它们等可能，
事件A含有4个不同结果，所以.
（2）记事件B表示乙抽到难签，由于甲先抽、乙后抽，则，由（1）知，，
所以甲、乙都抽到难签的概率.
（3）由（1）知甲没有抽到难签的概率，，
所以甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率.
【变式3-1】（2024·高二·湖南·课时练习）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；
(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率．
【解析】（1）甲抽到难签的概率为；
（2）甲、乙都抽到难签的概率为；
（3）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为；
（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率为．
【方法技巧与总结】
概率的乘法公式
公式反映了知二求一的方程思想．
题型四：条件概率的性质及应用
【典例4-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知，，则 .
【答案】
【解析】因为，则，
所以，.
故答案为：.
【典例4-2】（2024·高二·安徽安庆·期末）已知，且若，，则 ．
【答案】/
【解析】由可得相互独立，
又，，
又因为，所以，
所以
故答案为：．
【变式4-1】（2024·高二·河北张家口·期末）已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， .
【答案】 0.8/ 0.6/
【解析】由题意得，
，
，
，
故答案为：0.8；0.6.
【变式4-2】（2024·高二·江西·期中）已知随机事件，，若，，，则 .
【答案】
【解析】由题意可得，，且，则，
又因为，则，
且，所以.
故答案为:.
【变式4-3】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知，，，则 .
【答案】/
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率．
题型五：全概率公式
【典例5-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
【答案】
【解析】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.
故答案为：.
【典例5-2】（2024·高二·河南驻马店·期末）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
【解析】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得.
【变式5-1】（2024·高二·广东广州·期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
(1)求；
(2)求．
【解析】（1）依题意，.
（2）依题意，，
由（1）知，
由全概率公式得
.
【变式5-2】（2024·高二·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 .
【答案】
【解析】设选择地理的概率为P，由全概率公式，得，
即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为.
故答案为：.
【变式5-3】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为 ．
【答案】0.17/
【解析】记事件表示“任取一件产品为次品”；
事件分别表示零件为甲、乙、丙工厂生产，
则，，，，，，
.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．
题型六：贝叶斯公式
【典例6-1】（2024·高二·全国·随堂练习）某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？
【解析】设“抽查的人患有癌症”为事件，“实验结果为阳性”为事件，则“抽查的人不患癌症”为事件,
已知，，，，
由贝叶斯公式.
所以此人是癌症患者的概率约为.
【典例6-2】（2024·高二·湖南·课时练习）某一地区患有某疾病的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大？（保留小数点后四位）
【解析】设“抽查的人是患者”为事件，“试验反应是阳性”为事件，
则“抽查的人不是患者”为事件，
由题意可知，，
，，
则由贝叶斯公式可得
，
即抽查一个人，试验反应是阳性，此人是患者的概率为.
【变式6-1】（2024·高三·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
【答案】
【解析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，
所以，，
故，
所以.
故答案为：
【变式6-2】（2024·高二·全国·课时练习）某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%，当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%，某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为 （精确到0.1%）.
【答案】86.4%
【解析】用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品，
则由已知得，，，
∴
≈，
故答案为：86.4%
【变式6-3】（2024·高二·福建龙岩·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为 ．
【答案】
【解析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，
根据题意得，，，
则.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【典例7-1】（2024·高二·广东肇庆·期中）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.
【解析】（1）取到的是不合格品的概率为：
.
（2）取到的产品为不合格品，
它是机器甲生产的概率为，
它是机器乙生产的概率为，
它是机器甲生产的概率为，
所以它是机器乙生产的概率最大.
【典例7-2】（2024·高二·福建泉州·期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
【解析】（1）此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感，
所以，
因此
；
（2）.
【变式7-1】（2024·高二·山东潍坊·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
【解析】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则，
由全概率公式得： .
（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球是取自甲箱的概率
该球取自乙箱的概率
因为所以该球取自乙箱的可能性更大.
【变式7-2】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）(1)对于任意两个事件，若，，证明：；
(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，2，…，，则对任意的事件，，有，，2，…，.
（i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？
【解析】(1)因为，，所以
(2) （i）记检查结果呈阳性为事件A，被检查者患有肺癌为事件B，
由题意可得：，，由贝叶斯公式得
，
因此某烟民的检查结果为阳性，他真的患有肺癌的概率是.
（ii）同（i），.
【方法技巧与总结】
是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．
一、单选题
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
【答案】C
【解析】由题意，选到非碳酸饮料的概率为.
故选：C.
2．（2024·高二·全国·开学考试）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，事件包含的样本点数，
事件和包含的样本点数，
所以.
故选：D
3．（2024·高二·山东济宁·阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】甲取得最后的胜利包含两种情况:
一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为；
二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为，
所以甲取得最终胜利的概率为.
故选；D.
4．（2024·福建漳州·模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种），
事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种，
所以.
故选：B.
5．（2024·高二·湖南邵阳·期中）一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于A制造厂，
事件：抽到的配件来自于B制造厂，事件：抽到的配件来自于C制造厂，
则，
,
故
，
则抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为,
故选：A
6．（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
故选：B.
7．（2024·高二·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，
由题意可知，，，
所以，
现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：.
故选：D
8．（2024·高二·湖南长沙·开学考试）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立 ②
③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】显然，，，是两两互斥的事件，且，，
而，①错误；
，，所以，②正确；
，③正确；
，④错误，综上：结论正确的个数为2.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
【答案】ACD
【解析】因为，所以A正确，B错误；
由独立事件定义，若A，B独立，则，所以C正确；
若A，B互斥，则，，，所以D正确．
故选：ACD．
10．（2024·高三·全国·期末）已知随机事件满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件与事件互斥
B．必然事件与事件相互独立
C．
D．若，则
【答案】ABC
【解析】因为不可能事件与事件不会同时发生，所以互斥，故选项A正确；
因为,
所以，所以必然事件与事件相互独立，故选项B正确；
因为，且互斥，所以，故选项C正确；
对于选项D，假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件为出现点数小于等于4，事件为出现点数小于等于2，
则，但故选项 D 错误.
故选:ABC.
11．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）国庆节期间，某商场搞促销活动，商场准备了两个装有卡片的盒子，甲盒子中有4张红色卡片、2张绿色卡片，乙盒子中有5张红色卡片、3张绿色卡片(这14张卡片球除颜色外，大小、形状完全相同). 顾客购物满500元即可参加抽奖，其规则如下：顾客先从甲盒子中随机取出1张卡片放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出1张卡片，记“在甲盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件， “在甲盒子中取出的卡片是绿色卡片”为事件， “从乙盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件M，若事件M 发生，则该顾客中奖，否则不中奖. 则有（ ）
A． 与是互斥事件 B．
C． D．与相互独立
【答案】AC
【解析】从甲箱中摸一张卡片，红色卡片与绿色卡片不可能同时出现，所以与是互斥事件，故A正确；
由题意知，，所以，故B错误；
，所以，故C正确；
因为，故D错误.
故选：AC．
三、填空题
12．（2024·高二·全国·专题练习）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 .
【答案】
【解析】由，有，
又由，有，
可得．
故答案为：
13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产了1000件，乙、丙两厂各生产500件，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ．
【答案】0.025
【解析】甲乙丙三厂生产的产品所占的比例分别为，
所以任取一件，则取到次品的概率为，
故答案为：0.025
14．（2024·山西晋城·一模）某羽毛球超市销售4种品牌（品牌，，，）的羽毛球，该超市品牌，，，的羽毛球的个数的比例为，品牌，，，的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为 （填入，，，中的1个）．
【答案】D
【解析】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌．
若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．
若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．
若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．
故答案为：D
四、解答题
15．（2024·高二·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由．
【解析】掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为．
设为事件“两颗骰子的点数和为7”， 为事件“白色骰子的点数是1”，则表示“白色骰子的点数是1且两颗骰子的点数和为7”，
事件A包含的基本事件有（16）,（25）,（34）,（43）,（52）,（61）共有6个，
事件B包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）共有6个，
事件AB包含的基本事件有（61）共有1个，
则， ，，
故，
即事件A与事件B是独立的．
（2）设为事件“两颗骰子的点数和为7”， C为事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，则AC表示“两颗骰子中至少有一颗的点数是1且两颗骰子的点数和为7”，
事件C包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）,（16）,（15）,（14）,（13）,（12）共有11个，
事件AC包含的基本事件有（16），（61）共有2个，
则， ，，
而，
故事件A与事件C是不是独立的．
16．（2024·高二·全国·课堂例题）一场精彩的足球赛即将举行，5个球迷好不容易才买到一张入场券．大家都想去，只好用抽签的方法来决定，准备5张同样的卡片，其中一张卡片的正面写有“入场券”，其余的什么也不写．将它们背面朝上放在一起洗匀，让5个人依次不放回地抽取．问后抽比先抽的吃亏吗？
【解析】我们用表示“第i个人抽到入场券”（i=1，2，3，4，5），
则表示第i个人未抽到入场券”
由题意可得，，．
也就是说，第1个人抽到入场券的概率是．
若第2个人抽到了入场券，则第1个人肯定没抽到，即，
由乘法公式计算可得．
同理，第3个人要抽到入场券，必须第1个、第2个人都没有抽到，
因此
．
同理可得
，
．
也就是说，每个人抽到入场券的概率都是．
因此，后抽比先抽的不吃亏，抽签不必争先恐后．
17．（2024·高二·云南红河·阶段练习）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：
事件概率
概率值
(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
【解析】（1）根据三个年级的人数比值为，则，
，，
由每个年级的抽取比例可知，，，
由全概率公式，得
，
事件概率
概率值
（2）该学生来自于高一年级的概率.
18．（2024·四川·模拟预测）在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；
(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.
【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：
.
（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为：.
所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6.
（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗为事件，该棵果苗受到这种病虫害为事件，
则.
19．（2024·高二·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率；
(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
【解析】（1）
记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件，
记事件：这个零件是次品，
由题意可得，，，，
由全概率公式可得：
.
（2）由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为
.8.1 条件概率
课程标准 学习目标
（1）利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． （2）能利用条件概率和独立性等概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. （1）结合古典概型，了解条件概率的定义. （2）掌握条件概率的计算方法. （3）了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. （4）会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． （5）结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率并了解贝叶斯公式
知识点01 条件概率
1、条件概率的概念
条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
【即学即练1】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 条件概率的性质
设，则
（1）
（2）如果与是两个互布事件，则；
（3）设和互为对立事件，则．
【即学即练2】（2024·辽宁丹东·一模）已知，，，那么 ．
知识点03 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
贝叶斯公式
设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有
在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率．
【即学即练3】（2024·高二·全国·课时练习）设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
题型一：条件概率的理解
【典例1-1】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
【典例1-2】（多选题）（2024·高二·全国·课时练习）下面几种概率不是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率
【变式1-1】（2024·高二·江苏·专题练习）判断下列哪些是条件概率？
(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率；
(2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；
(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率．
【方法技巧与总结】
判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．
题型二：利用定义求条件概率
【典例2-1】（2024·高二·广东肇庆·期中）从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·高二·四川绵阳·期末）科技博览会需从5个女生（分别记为，，，，）中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则被选中的概率为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75
【变式2-2】（2024·高二·河南·期中）某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·四川德阳·模拟预测）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·湖南邵阳·一模）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率和．
(2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
题型三：概率的乘法公式
【典例3-1】（2024·高二·湖北宜昌·阶段练习）一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求：
(1)第一、第二次都取得白球的概率；
(2)已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率；
(3)求第二次取得白球的概率．
【典例3-2】（2024·高二·江苏·专题练习）10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率．
【变式3-1】（2024·高二·湖南·课时练习）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；
(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率．
【方法技巧与总结】
概率的乘法公式
公式反映了知二求一的方程思想．
题型四：条件概率的性质及应用
【典例4-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知，，则 .
【典例4-2】（2024·高二·安徽安庆·期末）已知，且若，，则 ．
【变式4-1】（2024·高二·河北张家口·期末）已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， .
【变式4-2】（2024·高二·江西·期中）已知随机事件，，若，，，则 .
【变式4-3】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知，，，则 .
【方法技巧与总结】
当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率．
题型五：全概率公式
【典例5-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
【典例5-2】（2024·高二·河南驻马店·期末）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
【变式5-1】（2024·高二·广东广州·期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
(1)求；
(2)求．
【变式5-2】（2024·高二·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 .
【变式5-3】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为 ．
【方法技巧与总结】
全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．
题型六：贝叶斯公式
【典例6-1】（2024·高二·全国·随堂练习）某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？
【典例6-2】（2024·高二·湖南·课时练习）某一地区患有某疾病的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大？（保留小数点后四位）
【变式6-1】（2024·高三·江苏扬州·期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
【变式6-2】（2024·高二·全国·课时练习）某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%，当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%，某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为 （精确到0.1%）.
【变式6-3】（2024·高二·福建龙岩·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为 ．
【方法技巧与总结】
此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【典例7-1】（2024·高二·广东肇庆·期中）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.
【典例7-2】（2024·高二·福建泉州·期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
【变式7-1】（2024·高二·山东潍坊·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
【变式7-2】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）(1)对于任意两个事件，若，，证明：；
(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，2，…，，则对任意的事件，，有，，2，…，.
（i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？
【方法技巧与总结】
是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．
一、单选题
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
2．（2024·高二·全国·开学考试）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·高二·山东济宁·阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建漳州·模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·高二·湖南邵阳·期中）一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·高二·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·高二·湖南长沙·开学考试）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立 ②
③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
10．（2024·高三·全国·期末）已知随机事件满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件与事件互斥
B．必然事件与事件相互独立
C．
D．若，则
11．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）国庆节期间，某商场搞促销活动，商场准备了两个装有卡片的盒子，甲盒子中有4张红色卡片、2张绿色卡片，乙盒子中有5张红色卡片、3张绿色卡片(这14张卡片球除颜色外，大小、形状完全相同). 顾客购物满500元即可参加抽奖，其规则如下：顾客先从甲盒子中随机取出1张卡片放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出1张卡片，记“在甲盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件， “在甲盒子中取出的卡片是绿色卡片”为事件， “从乙盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件M，若事件M 发生，则该顾客中奖，否则不中奖. 则有（ ）
A． 与是互斥事件 B．
C． D．与相互独立
三、填空题
12．（2024·高二·全国·专题练习）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 .
13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产了1000件，乙、丙两厂各生产500件，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ．
14．（2024·山西晋城·一模）某羽毛球超市销售4种品牌（品牌，，，）的羽毛球，该超市品牌，，，的羽毛球的个数的比例为，品牌，，，的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为 （填入，，，中的1个）．
四、解答题
15．（2024·高二·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由．
16．（2024·高二·全国·课堂例题）一场精彩的足球赛即将举行，5个球迷好不容易才买到一张入场券．大家都想去，只好用抽签的方法来决定，准备5张同样的卡片，其中一张卡片的正面写有“入场券”，其余的什么也不写．将它们背面朝上放在一起洗匀，让5个人依次不放回地抽取．问后抽比先抽的吃亏吗？
17．（2024·高二·云南红河·阶段练习）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：
事件概率
概率值
(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
18．（2024·四川·模拟预测）在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；
(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.
19．（2024·高二·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率；
(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
