第二十八章 锐角三角函数 达标检测卷 （含解析）人教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数 达标检测卷 （含解析）人教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 420.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-21 21:38:45 | ||
图片预览
文档简介
第二十八章 锐角三角函数 达标检测卷 人教版九年级数学学下册
一、选择题
1．如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（
A． B． C． D．
2． 如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是( )
A． B． C． D．
3．锐角满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
5． 在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7． 在△ABC中，tan A=，cos B=，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8． 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC边上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长是（ ）
A． B．2 C．3 D．
9．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11． 已知为锐角，且，则 °．
12． 在△ABC中，若|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，则∠C= .
13． 如图所示，已知△ABC的外接圆☉O的半径为3，AC=4，则sin B= .
14． 如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是 ．
15． 如图所示，测量船以20 n mile/h的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD= n mile(计算结果不取近似值).
三、解答题
16．
（1）计算：2sin30°+cos30°·tan60°．
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值．
17．已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A是锐角，且tanA＝.
（1）求sinA；
（2）若BC＝，求AB的长．
18． 如图所示，AB是☉O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F.
（1）求证：PA是☉O的切线；
（2）若tan∠DAE=，求EF的长.
19．如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为求旗杆的高．精确到米
参考数据：，，
20．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂与桌面平行时，＝ °
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少 （参考数据：）
21．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
【解析】【解答】解： ，且，
，
故答案为：B.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的关系的增减性，即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴tanA= = ，
设BC=5x，AC=12x，
∴AB= =13x，
∴sinA= = = ．
故答案为：D．
【分析】根据解直角三角形同角的三角函数关系得出结果；在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，设BC=5x，AC=12x，根据勾股定理AB=13x，所以sinA= = =.
5．【答案】B
6．【答案】B
【解析】【解答】解：，，，，
A、 ， 正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
B、，错误，符合题意；
C、 ，正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
D、 ，正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角三角函数值可判定A、B、D，根据互余两角三角函数的关系判定C，解答即可。
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B
【解析】【解答】解：设AB=3m，则BC=3m，
sin∠AOB＝，
OB=7m，
故答案为：B.
【分析】设AB=3m，则BC=3m，根据sin∠AOB＝，可得OB=7m，再根据，从而求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D.
观察易发现，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，D点在格点上，
∴CD=，BD==.
∴tan∠ABC===.
故答案为：C.
【分析】连接AC，观察发现AC=BC得△ACB是等腰三角形，作垂线CD，可知D为AB中点，也为格点. 从而可利用勾股定理求出CD和BD的长，进而可求得答案. 注意网格中线段长要构造直角三角形并利用勾股定理来求.
11．【答案】60
12．【答案】105°
13．【答案】
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，作直线BG，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴BC=CD=3，∠BCD=90°，
由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，
∴∠BCD-∠ECF=∠FCG-∠ECF，
即∠DCF=∠BCG，
∴△BCG≌△DCF（SAS），
∴∠CBG=∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在直线BG上运动，且，
根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，
设EG=m(m＞0)，则BG=3m，
在Rt△BEG中，∵BE2=BG2+EG2，
∴4=m2+9m2，
解得，
∴EG的最小值为.
故答案为：.
【分析】作直线BG，由正方形的性质得BC=CD=3，∠BCD=90°，由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，由同角的余角相等得∠DCF=∠BCG，从而由SAS判断出△BCG≌△DCF，由全等三角形的性质得∠CBG=∠CDF，由于∠CDF是定值，故点G在直线BG上运动，且，根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，设EG=m(m＞0)，则BG=3m，在Rt△BEG中，利用勾股定理建立方程，求解得出m的值，即可得出答案.
15．【答案】(5-5)
16．【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：∵
∴
原式=
∴
∴
【解析】【分析】（1）将特殊角的三角函数代入原式，然后根据二次根式的计算法则计算即可；
（2）根据题意得到将其代入原式即可求出b的值，进而即可求出a的值.
17．【答案】（1）解：过点C作CM⊥AB，如图，
在中，
设
∴
∴
（2）解：由（1）知：
∴
∵
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）过点C作CM⊥AB，根据题意得到，设利用勾股定理求出AC的长度，进而即可求解；
（2）由（1）知：进而求出MB的长度，根据勾股定理列方程 解方程即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵=，∴∠AED=∠ABD.
∵∠PAD=∠AED，∴∠PAD=∠ABD.
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，
即∠PAB=90°.
∴PA是☉O的切线.
（2）解：如图所示，连接OE，EB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE.
∴BE=DE=.
∴OE⊥BD.
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠DAE=∠AEO.
∴AD∥OE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADF=∠BEF=90°.
∵=，∴∠DAE=∠DBE.
∴tan∠EBF=tan∠DAE=.
∴=.
∴EF=EB=1.
19．【答案】解：过点作交于，
则米，
在中，有米，
米
故BC米，
答：旗杆的高度约为米．
【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，DE=12，tan47°≈1.07，则可求出CE=12.8，再根据BE=1.5，BC=CE+BE即可求解。
20．【答案】（1）58
（2）解：过作与交于，过作与交于
∴四边形为矩形
∴90°，
∵148°
∴58°
在中90°
∵∴
∴
（3）解：过作，，
∴
在中＝90°
∴60°
∵58°∴32°
∴60°－32°＝28°
【解析】【解答】过点B作直线MN∥l，如图，
CD//l，
MN//l，
MN//CD，
故答案为：
【分析】（1）过点B作直线MN//l，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）过作与交于，过作与交于，可得四边形ABEF为矩形，根据已知条件可求得∠1=58°，利用 ，求得CF的值，再根据线段的和差关系即可求得CE的值；
（3）过作， ，由 可求得 ，再求出∠DCN的余弦，进一步得 60°，进一步求得∠DCB的值.
21．【答案】（1）解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意得：四边形ABDF是矩形，
∴米，米，
在中，，
（米），
（米），
楼CD的高为110米；
（2）解：无人机能安全返航，
理由：如图：
在中，，米，
（米），
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航，
无人机返航需要的时间（秒），
秒秒，
无人机能安全返航．
【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABDF是矩形，由矩形的性质得AB=DF=10米，AF=BD=米，在Rt△AFC中，由∠CAF得正切函数可求出CF的长，进而根据CD=DF+CF可算出CD的长；
（2）无人机能安全返航，在Rt△AFC中，由含30°角直角三角形的性质可得AC=2CF=200米，然后根据平行线的性质角的和差可算出∠EAC=30°，由平角的定义算出∠AEC=75°，由三角形的内角和定理算出∠ACE=75°，则∠AEC=∠ACE，由等角对等边得AE=AC=200米，再根据路程除以速度等于时间算出无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航需要的时间，将所算的时间与60秒比大小即可得出答案.
1 / 1
一、选择题
1．如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（
A． B． C． D．
2． 如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是( )
A． B． C． D．
3．锐角满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
5． 在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7． 在△ABC中，tan A=，cos B=，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8． 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC边上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长是（ ）
A． B．2 C．3 D．
9．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11． 已知为锐角，且，则 °．
12． 在△ABC中，若|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，则∠C= .
13． 如图所示，已知△ABC的外接圆☉O的半径为3，AC=4，则sin B= .
14． 如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是 ．
15． 如图所示，测量船以20 n mile/h的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD= n mile(计算结果不取近似值).
三、解答题
16．
（1）计算：2sin30°+cos30°·tan60°．
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值．
17．已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A是锐角，且tanA＝.
（1）求sinA；
（2）若BC＝，求AB的长．
18． 如图所示，AB是☉O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F.
（1）求证：PA是☉O的切线；
（2）若tan∠DAE=，求EF的长.
19．如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为求旗杆的高．精确到米
参考数据：，，
20．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂与桌面平行时，＝ °
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少 （参考数据：）
21．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
【解析】【解答】解： ，且，
，
故答案为：B.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的关系的增减性，即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴tanA= = ，
设BC=5x，AC=12x，
∴AB= =13x，
∴sinA= = = ．
故答案为：D．
【分析】根据解直角三角形同角的三角函数关系得出结果；在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，设BC=5x，AC=12x，根据勾股定理AB=13x，所以sinA= = =.
5．【答案】B
6．【答案】B
【解析】【解答】解：，，，，
A、 ， 正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
B、，错误，符合题意；
C、 ，正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
D、 ，正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角三角函数值可判定A、B、D，根据互余两角三角函数的关系判定C，解答即可。
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B
【解析】【解答】解：设AB=3m，则BC=3m，
sin∠AOB＝，
OB=7m，
故答案为：B.
【分析】设AB=3m，则BC=3m，根据sin∠AOB＝，可得OB=7m，再根据，从而求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D.
观察易发现，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，D点在格点上，
∴CD=，BD==.
∴tan∠ABC===.
故答案为：C.
【分析】连接AC，观察发现AC=BC得△ACB是等腰三角形，作垂线CD，可知D为AB中点，也为格点. 从而可利用勾股定理求出CD和BD的长，进而可求得答案. 注意网格中线段长要构造直角三角形并利用勾股定理来求.
11．【答案】60
12．【答案】105°
13．【答案】
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，作直线BG，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴BC=CD=3，∠BCD=90°，
由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，
∴∠BCD-∠ECF=∠FCG-∠ECF，
即∠DCF=∠BCG，
∴△BCG≌△DCF（SAS），
∴∠CBG=∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在直线BG上运动，且，
根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，
设EG=m(m＞0)，则BG=3m，
在Rt△BEG中，∵BE2=BG2+EG2，
∴4=m2+9m2，
解得，
∴EG的最小值为.
故答案为：.
【分析】作直线BG，由正方形的性质得BC=CD=3，∠BCD=90°，由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，由同角的余角相等得∠DCF=∠BCG，从而由SAS判断出△BCG≌△DCF，由全等三角形的性质得∠CBG=∠CDF，由于∠CDF是定值，故点G在直线BG上运动，且，根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，设EG=m(m＞0)，则BG=3m，在Rt△BEG中，利用勾股定理建立方程，求解得出m的值，即可得出答案.
15．【答案】(5-5)
16．【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：∵
∴
原式=
∴
∴
【解析】【分析】（1）将特殊角的三角函数代入原式，然后根据二次根式的计算法则计算即可；
（2）根据题意得到将其代入原式即可求出b的值，进而即可求出a的值.
17．【答案】（1）解：过点C作CM⊥AB，如图，
在中，
设
∴
∴
（2）解：由（1）知：
∴
∵
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）过点C作CM⊥AB，根据题意得到，设利用勾股定理求出AC的长度，进而即可求解；
（2）由（1）知：进而求出MB的长度，根据勾股定理列方程 解方程即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵=，∴∠AED=∠ABD.
∵∠PAD=∠AED，∴∠PAD=∠ABD.
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，
即∠PAB=90°.
∴PA是☉O的切线.
（2）解：如图所示，连接OE，EB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE.
∴BE=DE=.
∴OE⊥BD.
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠DAE=∠AEO.
∴AD∥OE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADF=∠BEF=90°.
∵=，∴∠DAE=∠DBE.
∴tan∠EBF=tan∠DAE=.
∴=.
∴EF=EB=1.
19．【答案】解：过点作交于，
则米，
在中，有米，
米
故BC米，
答：旗杆的高度约为米．
【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，DE=12，tan47°≈1.07，则可求出CE=12.8，再根据BE=1.5，BC=CE+BE即可求解。
20．【答案】（1）58
（2）解：过作与交于，过作与交于
∴四边形为矩形
∴90°，
∵148°
∴58°
在中90°
∵∴
∴
（3）解：过作，，
∴
在中＝90°
∴60°
∵58°∴32°
∴60°－32°＝28°
【解析】【解答】过点B作直线MN∥l，如图，
CD//l，
MN//l，
MN//CD，
故答案为：
【分析】（1）过点B作直线MN//l，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）过作与交于，过作与交于，可得四边形ABEF为矩形，根据已知条件可求得∠1=58°，利用 ，求得CF的值，再根据线段的和差关系即可求得CE的值；
（3）过作， ，由 可求得 ，再求出∠DCN的余弦，进一步得 60°，进一步求得∠DCB的值.
21．【答案】（1）解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意得：四边形ABDF是矩形，
∴米，米，
在中，，
（米），
（米），
楼CD的高为110米；
（2）解：无人机能安全返航，
理由：如图：
在中，，米，
（米），
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航，
无人机返航需要的时间（秒），
秒秒，
无人机能安全返航．
【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABDF是矩形，由矩形的性质得AB=DF=10米，AF=BD=米，在Rt△AFC中，由∠CAF得正切函数可求出CF的长，进而根据CD=DF+CF可算出CD的长；
（2）无人机能安全返航，在Rt△AFC中，由含30°角直角三角形的性质可得AC=2CF=200米，然后根据平行线的性质角的和差可算出∠EAC=30°，由平角的定义算出∠AEC=75°，由三角形的内角和定理算出∠ACE=75°，则∠AEC=∠ACE，由等角对等边得AE=AC=200米，再根据路程除以速度等于时间算出无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航需要的时间，将所算的时间与60秒比大小即可得出答案.
1 / 1