6．2 空间向量的坐标表示
课程标准 学习目标
（1）能利用单位正交基的概念，从向量的角度理解平面直角坐标系，会利用空间向量基本定理和空间单位正交基底建立空间直角坐标系． （2）能借助空间直角坐标系和空间向量基本定理建立空间中点、向量与三维有序实数组之间的一一对应关系，能建立空间向量坐标与点的坐标的联系，并能用坐标表示空间中的点和向量． （3）能用坐标表示空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）和数量积运算；会用向量的坐标运算表示两个向量的平行、垂直的位置关系，会表示空间向量的模长公式、两个向量的夹角公式，推导空间两点间的距离公式． （4）能利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直的位置关系问题，以及简单的距离、夹角相关的度量问题；体会空间向量坐标运算在解决立体几何问题中的作用，建立几何问题代数化的基本思想． （1）理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． （2）借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示． （3）会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算． （4）会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题．
知识点01 空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式．
【即学即练1】（2024·安徽六安·高二六安一中校考）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
又因为，
所以，
所以.
故选：A.
知识点02 空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【即学即练2】（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ．
【答案】
【解析】因为向量在基底下的坐标是，
所以，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：
知识点03 空间直角坐标系
1、空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面．
2、右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3、空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【即学即练3】（2024·海南儋州·高二校考）向量，则的坐标是 .
【答案】
【解析】向量，则.
故答案为：
知识点04 空间直角坐标系中点的坐标
1、空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为．
2、空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴（x轴）的对称点是；
点关于纵轴（y轴）的对称点是；
点关于竖轴（z轴）的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是．
【即学即练4】（2024·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.
【解析】根据题意可得，
又E，F分别为棱，的中点，可得，
利用向量坐标运算法则可得，即；
，即；
，即；
所以可得，，.
知识点05 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
②，
或．
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出．
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为．
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①；
②；
③；
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和．
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
（1）．
（2）．
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②．
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）．
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直．
【即学即练5】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知点，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为 ．
【答案】
【解析】设，
则，
由题意得，则，解得，
所以
故答案为：
题型一：空间向量基本定理及其推论
例1．（2024·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知：，则与共面，
同理，，
即、均与共面，
所以A、B、D三项均不能和构成空间的另一个基底，故A、B、D错误；
设，显然无法成立，即与不共面，故C正确.
故选：C
例2．（2024·江西·高二校联考阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基；
因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基；
因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基；
因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基.
故选：A.
例3．（2024·广东东莞·高二校考）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【解析】由于，，所以不共线，
由于不能构成空间的一个基底，
所以存在使得，即
，
所以，解得.
故选：B
变式1．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考）平行六面体中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由平行六面体可得，
又，
所以，
则.
故选：B.
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
题型二：用基底表示向量
例4．（2024·青海西宁·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在平行六面体中，，
所以
故选：D.
例5．（2024·山东·高二校联考）已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量做基底，则向量可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
．
故选：D.
例6．（2024·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考）在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
．
故选：D
变式2．（2024·重庆大渡口·高二校考）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，又点为的中点，所以，
所以
.
故选：A
变式3．（2024·北京朝阳·高二校考）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
则有：
故选：C.
【方法技巧与总结】
用基底表示向量时
（1）若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律．
（2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
题型三：空间向量基本定理的应用
例7．（2024·浙江·高三专题练习）如图，在平行六面体中，设，，，E，F分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
【解析】（1）在平行六面体中，
，
由E，F分别是的中点，得.
（2），
而，且不共面，
所以.
例8．（2024·海南海口·高二海师附中校考阶段练习）如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
【解析】（1）证明：
，
∴，，，四点共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
例9．（2024·福建厦门·高二厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，且，，．
(1)求证：A，B，C，D四点共面；
(2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由．
【解析】（1）；
；
；
设，即
故，解得，故，
故A，B，C，D四点共面.
（2）假设，则，
故，解得，，
故不能作为基底.
变式4．（2024·安徽·高二淮南第三中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
【解析】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
变式5．（2024·湖北·高二荆州中学校考阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)若，求的斜坐标；
(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
【解析】（1），
的斜坐标为．
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
由，知，
由，知：
，
，解得，
则．
【方法技巧与总结】
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算．
题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示
例10．（2024·高二课时练习）已知在直三棱柱中，，，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，
可得，
，
．
例11．（2024·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标．
【解析】由已知可得点， ，， .
因为H是的中点，所以H点坐标为.
故，.
例12．（2024·山东聊城·高二校考阶段练习）已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ．
【答案】
【解析】设，则，，
∴由得：，
∴，解得：，
∴点坐标为：.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
（1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
（2）对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．
题型五：空间向量的坐标表示及运算
例13．（2024·河南·高二校联考阶段练习）若空间向量，，共面，则实数 .
【答案】1
【解析】由题可知，故，
所以，解得.
故答案为：
例14．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第二十四中学校考）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ．
【答案】
【解析】设D的坐标为，
平行四边形ABCD的顶点，
故，即，
则，即D的坐标为，
故答案为：
例15．（2024·安徽宿州·高二校联考）已知，且共面，则 ．
【答案】/0.8
【解析】由题意知，共面，
则存在实数使得，
即，
所以，解得.
故答案为：.
变式6．（2024·辽宁·高二丹东市第二中学校联考阶段练习）已知，若，则的坐标是 .
【答案】
【解析】因为，设
则，
所以，
则，
即.
故答案为：
【方法技巧与总结】
（1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标．
（2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则．
题型六：空间向量平行的坐标表示及应用
例16．（2024·湖南衡阳·高二校考）已知向量，，且与平行，则 .
【答案】/
【解析】，，
因为与平行，所以当时，，解得；
当时，，.
综上，.
故答案为：
例17．（2024·辽宁沈阳·高二辽宁实验中学校考阶段练习）已知向量，，若，则m，n满足的关系式为 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】，，，
则存在实数，使，
即，可得m，n满足的关系式为或等
故答案为：（答案不唯一）.
例18．（2024·贵州黔东南·高二校考）若三点共线，则 ．
【答案】
【解析】，且三点共线，
存在实数，使得．
即，
解得
故答案为：.
变式7．（2024·浙江绍兴·高二校考）已知，是实数，若，，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，，且，
所以，即，所以，解得，
所以.
故答案为：
变式8．（2024·山东潍坊·高二统考）已知向量，，若，则 ．
【答案】3
【解析】由题意知向量，，，
故存在实数，使得，
即，解得，
故，
故答案为：3
【方法技巧与总结】
判断空间向量平行的步骤
（1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行．
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标．
（3）对于，，根据或（都不为0）判断两向量是否平行．
题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
例19．（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
【答案】
【解析】由向量，，可得，
因为，可得，解得，
所以，所以与，
又因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
若向量与共线，则，解得，
所以实数的范围是.
故答案为：.
例20．（2024·北京通州·高二统考）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 .
【答案】 /0.5
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
在的投影向量为.
故答案为：；.
例21．（2024·陕西西安·高二校考阶段练习）已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得且不共线，
所以，解得：且．
故实数t的取值范围为．
故答案为：.
变式9．（2024·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知向量，,则向量在向量方向上投影向量的坐标为 ．
【答案】
【解析】向量在向量方向上投影向量为，
故答案为：
变式10．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知空间向量.
(1)求；
(2)判断与以及与的位置关系.
【解析】（1）由题知，，
所以.
（2）因为，
所以，
所以；
因为，
所以，所以.
变式11．（2024·新疆和田·高二校考）已知，，求
(1)；
(2)
【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，，
所以，所以.
变式12．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）已知空间中三点，，.
(1)求；
(2)求中边上中线的长度.
【解析】（1）由题，，，
.
（2）设边的中点为，则点的坐标为，又，
，
.
所以边的中线长为.
变式13．（2024·广东东莞·高二校考）已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)与夹角的余弦值.
【解析】（1），则，解得，
，
又，则，，
；
（2）由（1），，
设与夹角为，则．
变式14．（2024·天津武清·高二统考）已知点，，O为坐标原点，向量
(1)求向量的单位向量
(2)求
(3)求
【解析】（1）由已知得：，则，
因此；
（2）因为，
所以，
则.
（3）因为，所以，
则
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标．
题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
例22．（2024·江西·高二统考阶段练习）已知，，若点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点共线，所以与共线，
所以，解得，，
故，，
.
故选：C.
例23．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设空间向量则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由可得，
故.
故选：D.
例24．（2024·贵州·高二校联考）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，，
则，，
，
即，
所以以、为邻边的平行四边形的面积为．
故选：D.
变式15．（2024·河南·高二校联考）已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以，，
则，，，所以，
又因为，所以，
则以，为邻边的平行四边形的面积.
故选：D
变式16．（2024·陕西咸阳·高二统考）若，，则（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】，
所以
故选：D
变式17．（2024·湖北武汉·高二华中师大一附中校考）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】三棱锥中，过作平面，由，知，
以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，
由平面，得，则，
令，则，设，
于是，
当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.
故选：B
变式18．（2024·江西·高二校联考）已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（ ）
A． B．8 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由题意得，所以，所以.
故选：C.
【方法技巧与总结】
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
例25．（2024·安徽宿州·高二校联考）已知空间向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且，求的最大值．
【解析】（1）由题意，，所以不妨设，
又，
从而，
解得，所以.
（2）由题意，所以，即，
又因为，
所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当，
解得，
所以当且仅当时，的最大值为.
例26．（2024·上海·高二校考）已知空间三点、、，设.
(1)若，求点坐标；
(2)若向量与互相垂直，求实数的值；
(3)若向量与平行，求实数的值.
【解析】（1）设，则，，
由，得，
解得，即.
（2）由，，
则，，
因为向量与互相垂直，
所以，即，
解得或.
（3）由（2）知，，，
所以，，
因为向量与平行，设，
则，解得.
例27．（2024·陕西榆林·高二校联考阶段练习）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
【解析】（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则．
设，，,
∵，∴，
解得，，，故点的坐标为．
（2）由（1）知，，
∵，∴．
变式19．（2024·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点．证明：
(1)；
(2)不与平行；
(3)．
【解析】（1）证明：设正方体的棱长为，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，则，
又因为不在直线上，所以，.
（2）证明：，，显然、不共线，
所以，不与平行.
（3）证明：，，
则，所以，.
【方法技巧与总结】
（1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解．
（2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
一、单选题
1．（2024·四川成都·高二校考）已知，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，解得.
故选：C.
2．（2024·江西·高二井冈山中学校联考阶段练习）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】C
【解析】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，
设，
则，解得．
故选：C.
3．（2024·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线，
于是，解得，此时，而，即与不共线，
所以x的取值范围是.
故选：C
4．（2024·福建厦门·高二厦门外国语学校校考阶段练习）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为向量在基底下的坐标为，
可得，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：B.
5．（2024·贵州·高二校联考阶段练习）定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解:以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，轴，如图所示:
， ， ，
， ，
设，，
所以
∵是异面直线与的公垂线段，
∴，解得，
∴，．
故选:C．
6．（2024·安徽·高二池州市第一中学校联考）已知向量，，则以下说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为向量，，
所以，故，所以选项A正确；
，，
所以，故选项B正确；
，所以，，
所以，故选项C错误；
，所以，，
又，故，所以选项D正确.
故选：C
7．（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段的中点，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为E，F分别为线段的中点，
所以，，.
因为，，，
所以，
，
所以，.
故选：B.
8．（2024·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得是空间的一个单位正交基底，
所以=，，
设与的夹角为，，
所以，故D项错误.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·全国·高二专题练习）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．不存在实数，使得 D．若，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，假设，则，
所以，该方程组无解，故C正确；
对于D，因为，所以，解得，
所以，，所以，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·重庆·高二重庆市万州第二高级中学校联考阶段练习）已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．不存在实数，使得 D．若，则
【答案】AC
【解析】对于A 中,由可得解得,故A 选项正确；
对于B 中,由,可得，解得,故B 选项错误;
对于C中，若存在实数λ，使得则显然λ无解，即不存在实数λ，使得故C 选项正确；
对于D中，则，解得，故D错误.
故选：AC
11．（2024·浙江·高二路桥中学校考）已知三棱锥，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则在上的投影向量为
B．若是三棱锥的底面的重心，则
C．若，则四点共面
D．设，则构成空间的一个基底
【答案】AB
【解析】对于A，易知在上的投影向量为,所以可知A正确；
对于B，取的中点为，连接，如下图所示：
由是三棱锥的底面的重心可得，
易知
所以，即可知B正确；
对于C，若，显然，
则四点不共面，所以C错误；
对于D，由可知，共面，
所以不能构成空间的一个基底，即D错误.
故选：AB
12．（2024·山东·高二校联考）空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为
D．可以作为空间的一组基底
【答案】ABD
【解析】因为，
所以，所以，选项A正确；
又因为，所以，
所以，所以是直角三角形，选项B正确；
因为，所以与平行的单位向量的坐标为：，选项C错误；
假设，，共面，则存在唯一的有序数对使，
即，
所以，此方程组无解，故，，不共面，
故可作为空间一组基底，选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2024·浙江宁波·高二余姚中学校考）点，，，若在线段上，且满足，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设的坐标为，则，
,，
因为在线段上，且满足，
所以,即，
解得：，所以点的坐标为．
故答案为：.
14．（2024·陕西西安·高二长安一中校考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
15．（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若一组基底为，，，则 .
【答案】
【解析】由已知可得，为与的中点，
所以，.
所以，
.
故答案为：.
16．（2024·河南·高二校联考）已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
设，，则，则，
所以，，
显然与不可能同向，
因为是锐角，所以，
则，解得或，
又，所以，又，
所以，即线段长度的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．（2024·新疆·高二校考阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
【解析】（1）由，可得，.
，故
（2），，可得，，故
18．（2024·山东德州·高二统考）如图，在平行六面体中，，，，，且点为与的交点，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)将用基向量，，来进行表示．设，求，，的值．
【解析】（1）由已知，
，
又，
所以，
，
，
则，
所以；
（2）由点为与的交点，得，
又点在线段上，且，则，
所以，
所以，.
19．（2024·四川成都·高二川大附中校考阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点．
(1)求的长；
(2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值．
【解析】（1），
因为，
所以，
则
，
所以的长为；
（2），
因为，所以，
即，即，解得.
20．（2024·全国·高三专题练习）如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面.
【解析】证明：由，且，
取的中点，连接，则，且，
所以，
又是以为直角的等腰直角三角形，所以.
过点作，垂足为，则点为的中点，且，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
故以所在的直线分别为轴，轴，过点作垂直于平面的轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
因为为棱的中点，所以，又因为点在棱上，且，
所以，则，，，
令，
则，
则，解得，
故，则共面，且向量有公共点，
所以四点共面.6．2 空间向量的坐标表示
课程标准 学习目标
（1）能利用单位正交基的概念，从向量的角度理解平面直角坐标系，会利用空间向量基本定理和空间单位正交基底建立空间直角坐标系． （2）能借助空间直角坐标系和空间向量基本定理建立空间中点、向量与三维有序实数组之间的一一对应关系，能建立空间向量坐标与点的坐标的联系，并能用坐标表示空间中的点和向量． （3）能用坐标表示空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）和数量积运算；会用向量的坐标运算表示两个向量的平行、垂直的位置关系，会表示空间向量的模长公式、两个向量的夹角公式，推导空间两点间的距离公式． （4）能利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直的位置关系问题，以及简单的距离、夹角相关的度量问题；体会空间向量坐标运算在解决立体几何问题中的作用，建立几何问题代数化的基本思想． （1）理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． （2）借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示． （3）会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算． （4）会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题．
知识点01 空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式．
【即学即练1】（2024·安徽六安·高二六安一中校考）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
知识点02 空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【即学即练2】（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ．
知识点03 空间直角坐标系
1、空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面．
2、右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3、空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【即学即练3】（2024·海南儋州·高二校考）向量，则的坐标是 .
知识点04 空间直角坐标系中点的坐标
1、空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为．
2、空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴（x轴）的对称点是；
点关于纵轴（y轴）的对称点是；
点关于竖轴（z轴）的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是．
【即学即练4】（2024·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.
知识点05 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
②，
或．
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出．
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为．
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①；
②；
③；
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和．
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
（1）．
（2）．
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②．
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）．
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直．
【即学即练5】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知点，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为 ．
题型一：空间向量基本定理及其推论
例1．（2024·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江西·高二校联考阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·广东东莞·高二校考）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
变式1．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考）平行六面体中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
题型二：用基底表示向量
例4．（2024·青海西宁·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2024·山东·高二校联考）已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量做基底，则向量可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2024·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考）在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·重庆大渡口·高二校考）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·北京朝阳·高二校考）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
用基底表示向量时
（1）若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律．
（2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
题型三：空间向量基本定理的应用
例7．（2024·浙江·高三专题练习）如图，在平行六面体中，设，，，E，F分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
例8．（2024·海南海口·高二海师附中校考阶段练习）如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
例9．（2024·福建厦门·高二厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，且，，．
(1)求证：A，B，C，D四点共面；
(2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由．
变式4．（2024·安徽·高二淮南第三中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
变式5．（2024·湖北·高二荆州中学校考阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)若，求的斜坐标；
(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
【方法技巧与总结】
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算．
题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示
例10．（2024·高二课时练习）已知在直三棱柱中，，，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标．
例11．（2024·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标．
例12．（2024·山东聊城·高二校考阶段练习）已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ．
【方法技巧与总结】
（1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
（2）对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．
题型五：空间向量的坐标表示及运算
例13．（2024·河南·高二校联考阶段练习）若空间向量，，共面，则实数 .
例14．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第二十四中学校考）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ．
例15．（2024·安徽宿州·高二校联考）已知，且共面，则 ．
变式6．（2024·辽宁·高二丹东市第二中学校联考阶段练习）已知，若，则的坐标是 .
【方法技巧与总结】
（1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标．
（2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则．
题型六：空间向量平行的坐标表示及应用
例16．（2024·湖南衡阳·高二校考）已知向量，，且与平行，则 .
例17．（2024·辽宁沈阳·高二辽宁实验中学校考阶段练习）已知向量，，若，则m，n满足的关系式为 ．
例18．（2024·贵州黔东南·高二校考）若三点共线，则 ．
变式7．（2024·浙江绍兴·高二校考）已知，是实数，若，，且，则 ．
变式8．（2024·山东潍坊·高二统考）已知向量，，若，则 ．
【方法技巧与总结】
判断空间向量平行的步骤
（1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行．
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标．
（3）对于，，根据或（都不为0）判断两向量是否平行．
题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
例19．（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
例20．（2024·北京通州·高二统考）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 .
例21．（2024·陕西西安·高二校考阶段练习）已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .
变式9．（2024·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知向量，,则向量在向量方向上投影向量的坐标为 ．
变式10．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知空间向量.
(1)求；
(2)判断与以及与的位置关系.
变式11．（2024·新疆和田·高二校考）已知，，求
(1)；
(2)
变式12．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）已知空间中三点，，.
(1)求；
(2)求中边上中线的长度.
变式13．（2024·广东东莞·高二校考）已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)与夹角的余弦值.
变式14．（2024·天津武清·高二统考）已知点，，O为坐标原点，向量
(1)求向量的单位向量
(2)求
(3)求
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标．
题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
例22．（2024·江西·高二统考阶段练习）已知，，若点共线，则（ ）
A． B． C． D．
例23．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设空间向量则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
例24．（2024·贵州·高二校联考）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2024·河南·高二校联考）已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
变式16．（2024·陕西咸阳·高二统考）若，，则（ ）
A．10 B．3 C． D．
变式17．（2024·湖北武汉·高二华中师大一附中校考）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式18．（2024·江西·高二校联考）已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（ ）
A． B．8 C．3 D．2
【方法技巧与总结】
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
例25．（2024·安徽宿州·高二校联考）已知空间向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且，求的最大值．
例26．（2024·上海·高二校考）已知空间三点、、，设.
(1)若，求点坐标；
(2)若向量与互相垂直，求实数的值；
(3)若向量与平行，求实数的值.
例27．（2024·陕西榆林·高二校联考阶段练习）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
变式19．（2024·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点．证明：
(1)；
(2)不与平行；
(3)．
【方法技巧与总结】
（1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解．
（2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
一、单选题
1．（2024·四川成都·高二校考）已知，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024·江西·高二井冈山中学校联考阶段练习）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
3．（2024·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建厦门·高二厦门外国语学校校考阶段练习）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·贵州·高二校联考阶段练习）定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽·高二池州市第一中学校联考）已知向量，，则以下说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段的中点，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·高二专题练习）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．不存在实数，使得 D．若，则
10．（2024·重庆·高二重庆市万州第二高级中学校联考阶段练习）已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．不存在实数，使得 D．若，则
11．（2024·浙江·高二路桥中学校考）已知三棱锥，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则在上的投影向量为
B．若是三棱锥的底面的重心，则
C．若，则四点共面
D．设，则构成空间的一个基底
12．（2024·山东·高二校联考）空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为
D．可以作为空间的一组基底
三、填空题
13．（2024·浙江宁波·高二余姚中学校考）点，，，若在线段上，且满足，则点的坐标为 ．
14．（2024·陕西西安·高二长安一中校考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
15．（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若一组基底为，，，则 .
16．（2024·河南·高二校联考）已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为 .
四、解答题
17．（2024·新疆·高二校考阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
18．（2024·山东德州·高二统考）如图，在平行六面体中，，，，，且点为与的交点，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)将用基向量，，来进行表示．设，求，，的值．
19．（2024·四川成都·高二川大附中校考阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点．
(1)求的长；
(2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值．
20．（2024·全国·高三专题练习）如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面.
