6．3 空间向量的应用
课程标准 学习目标
（1）能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路. （1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得距离，体会用向量方法解决距离问题的优势． （2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用于解决有关夹角问题．体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势． （1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. （2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题． （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题．
知识点01 直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式．
知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2、平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3、平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
【即学即练1】（2024·高二课时练习）若向量都是直线的方向向量，则 .
【答案】/
【解析】根据题意可知，
故存在唯一实数，使，即，
则，解得，
所以.
故答案为：.
知识点02 用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则，
，， ．
显然平面的一个法向量为，
而，
∵，平面，∴MN//平面BCE．
知识点03 用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面；
【解析】证明：在直三棱柱中，，显然射线两两垂直，
以点为原点，射线的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
因为，，D为BC的中点，E为上的点，且，
则，，
于是，即，
而平面，
所以平面.
知识点04 用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有．
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，．
若分别为面的法向量，
则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
【即学即练4】（2024·江苏无锡·高二辅仁高中校考期末）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.
(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.
【解析】（1）
如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则
于是，,设平面的法向量为，
则
故可取.设直线与平面所成角为，
则
即直线与平面所成角的正弦值是.
（2）
如图，设，，则，因，故，解得：，
则,设平面的法向量为，
则故可取.
又,设平面的法向量为，
则故可取.
设平面与平面的夹角为，则，
解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.
知识点05 用向量方法求空间距离
1、求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．
2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解-
即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．
直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量．
3、点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离．
【即学即练5】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）在中，易知且是的中点，
故，且在正方形中，，面面，
面面，面面，故面，
易知面，故，又，，
综上
（2）如图，以为坐标原点，过平行于的直线为轴，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，，
．
设平面的法向量为，
由，得，取，得，．
所以，
又，
所以点到平面的距离
题型一：直线的方向向量
【例1】（2024·陕西西安·高二校考期末）已知，若直线的一个方向向量为，则 .
【答案】
【解析】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,，
则设,2,，即,,,2,,,，
则，解得.
故答案为：．
【变式1-1】（2024·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量： ．（坐标表示）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，
在直线中，，，
∴直线的一个方向向量．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 .
【答案】-1
【解析】由题意设，即，
即，解得.
故答案为：-1
【方法技巧与总结】
理解直线方向向量的概念
（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
（2）直线的方向向量不唯一．
题型二：平面的法向量
【例2】（2024·全国·高二课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．
【解析】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示，
因此是平面的一个法向量；
设是平面的法向量．
由已知得，，
因而
取，得，则是平面的一个法向量．
【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．
【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形 且，
∴两两垂直．
以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，易知向量是平面的一个法向量．
设为平面的法向量，
则即，
取，则，
所以平面的一个法向量为.
【变式2-2】（2024·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．
【解析】不妨设平面的法向量，又，
故可得，即，不妨取，故可得，
故平面的一个法向量为.
又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可.
故答案为：.（结果不唯一）
【变式2-3】（2024·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．
【解析】由题设，，，若是面ABC的一个法向量，
所以，令，则.
【方法技巧与总结】
求平面法向量的步骤
（1）设出平面的法向量为．
（2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，．
（3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组
（4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）．
题型三：直线和直线平行
【例3】（2024·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【解析】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则、、、、、、、，
由题意知、、、，
∴，．
∴，又，不共线，
∴.
【变式3-1】（2024·高二课时练习）如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：.
【解析】连接,如图，
由正方体知四边形是正方形，且M是的中点，
所以，
即是的中点，
又N是AC的中点，
所以.
【变式3-2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
证明：.
【解析】根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以，
可得，即向量与共线，
又不在同一条直线上，
所以.
【方法技巧与总结】
证明两直线平行的方法
方法一：平行直线的传递性．
方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量，，证明，即．
方法三：坐标法，建立空间直角坐标佘，把直线的方向向量用坐标表示，如，
，即证明，即且且．
题型四：直线与平面的平行
【例4】（2024·全国·高二课堂例题）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．
【解析】如图，因为M在BD上，且，
所以,同理．
又，
所以
.
又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．
因为MN不在平面CDE内，所以平面CDE．
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；
【解析】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，
过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
可得，，，，
因为是的中点，则，
则，因为，，
可得，
因为平面BCD的法向量可取为，
则，且平面BCD，
所以PQ平面BCD．
【变式4-2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面；
【解析】因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设为平面的法向量，则
，即，
不妨设，可得 ，
又，
所以，即，
因为平面，
所以平面 ，
【变式4-3】（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【解析】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
若，则，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面
平面的其中一个法向量为，
所以，即，
又因为平面，
所以平面.
【变式4-4】（2024·高二课时练习）如图，已知是正方形所在平面外一点，分别是上一点，且，求证：平面.
【解析】由题意知.
在上取点，使，于是，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
【方法技巧与总结】
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
题型五：平面和平面平行
【例5】（2024·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.
【解析】证明: 如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则有，，， ， ， ，
于是， ，，，
显然有，，所以，，
由，平面，平面，平面，
同理平面， 平面，，
所以平面平面
【变式5-1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．
【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则．
所以，，，，
设是平面EFG的法向量，
则，，即，得，
令，则，，所以，
设是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，则，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
【变式5-2】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.
【解析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，
，，同理，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又平面
平面与平面平行．
【变式5-3】（2024·湖南株洲·高二校考期末）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，，．
由正方体的性质，知平面，
所以为平面的一个法向量．
由于，
则，
所以．
又平面，
所以平面．
（2）证明：因为为平面的一个法向量，
由于，，
则，
即也是平面MNP的一个法向量，
所以平面平面．
【方法技巧与总结】
证明面面平行问题的方法
（1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
题型六：直线和直线垂直
【例6】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．证明：.
【解析】因为平面，平面‖平面,
所以平面，
因为平面，所以,
因为，所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，所以，
故
【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：.
【解析】证明：由题意，该棱台是正四棱台.
连接交于，以所在直线为轴，经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图.
根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上.
由题意得，为上底面正方形对角线长的一半，
显然，故，又，
则，故.
于是，，
则，所以.
【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证：
【解析】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则由题意得，，，，
，
，
∴，即：，
∴．
【变式6-3】（2024·全国·高三专题练习）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
【解析】因为点在下底面的投影为的中点，故平面，
连接，由题意为正三角形，故，
以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
可得，，，
设，
可得，
假设在棱（含端点）上存在一点使，
则，解得，
所以存在，此时.
【方法技巧与总结】
利用向量方法证明线线垂直的方法
（1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
（2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
题型七：直线与平面垂直
【例7】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面；
【解析】由直三棱柱，得平面，又，
可得三棱柱的体积，得．
因为三棱柱为直三棱柱，所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
则．设，则，
故．
因为，所以，
所以，解得，即．
所以，
所以，
.
所以．
又因为平面ACQ，平面ACQ，，
所以平面．
【变式7-1】（2024·浙江·高二路桥中学校考期末）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.
(1)求该正三棱台的表面积；
(2)求证：平面
【解析】（1）将正三棱台补成正三棱锥，如图所示：
因为，且，则、分别为、的中点，
则，，故是边长为的等边三角形，
由此可知，、都是边长为的等边三角形，
易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，
故正三棱台的表面积为.
（2）设点在底面的射影为点，则为正的中心，
取的中点，连接，则，
，则，
因为平面，平面，则，
所以，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、
、，
则，，，
所以，，，所以，，，
因为，、平面，故平面.
【变式7-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．证明：平面；
【解析】证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以，
又因为，，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为正方形，所以，
所以两两垂直，
所以以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为，，
所以，，
因为平面，，
所以平面，
【变式7-3】（2024·广东佛山·高二罗定邦中学校考期末）如图，在长方体中，分别是的中点．求证：
(1)四边形为平行四边形；
(2)平面．
【解析】（1）以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
所以，，
所以，
又四点不共线，所以四边形为平行四边形．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，即，
又因为平面．
所以平面．
【变式7-4】（2024·四川南充·高二南部县第二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由．
【解析】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直，
以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设是平面的一个法向量，
则，令，得，
显然，即，而平面，
所以平面.
（2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，，
，
则，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，
由平面，得，即存在实数，满足：
，即，解得，因此，即Q是的中点，
所以线段上存在点，使平面，.
【方法技巧与总结】
用向量法证明线面垂直的方法
（1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
（2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
题型八：平面与平面垂直
【例8】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE；
【解析】证明：因为底面ABCD是菱形，所以，
因为平面ABCD，平面，
所以，
所以BO，CO，PO互相垂直，
所以以点O为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
由，，可知相关点坐标如下：
，，，，，
因为平面，
所以平面
所以平面PBD的一个法向量为，
因为，所以，
故平面PBD，
因为平面，
所以平面平面ACE.
【变式8-1】（2024·四川成都·高二校考期末）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分）
【解析】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，
以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，则，
故,
设平面的法向量为，则,
令，则，
，
设平面的法向量为，则,
令，则，
则，
故平面平面.
【变式8-2】（2024·全国·高三专题练习）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面；
【解析】证明：设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
所以，所以，
则平面平面．
【变式8-3】（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.
求证：平面平面.
【解析】证明：因为平面，平面，
所以，
因为四边形为矩形，所以，
所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示
则
所以
所以即，
所以即，
又，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面，所以平面平面PAD.
【变式8-4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
求证：平面平面.
【解析】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，因为，所以，
所以，即，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，
所以，
所以平面平面.
【方法技巧与总结】
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
题型九：两条异面直线所成的角
【例9】（2024·广东河源·高二河源市河源中学校考开学考试）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，交于点O，连接，
以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，
，，
，，
设异面直线与所成的角为，
则，，异面直线与所成的角为．
故选：C.
【变式9-1】（2024·江苏·高二校联考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，两两垂直，
以A为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
又因为，，
所以，，，，
因为是棱的中点，所以，
所以，，
可得，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
【变式9-2】（2024·福建厦门·高二校考期末）如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
(1)求证：．
(2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1），分别为中点，，即，
为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）取中点，连接，
，为中点，，即，
，；
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，
设，则，
，
，
整理可得：，解得：，
存在满足题意的点，此时.
【变式9-3】（2024·江西·高二校联考阶段练习）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方体中，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，，
则、、、，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
【方法技巧与总结】
运用向量法常有两种途径
（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量．
（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
题型十：直线与平面所成的角
【例10】（2024·安徽六安·高二校考期末）如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．
(1)证明：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，
则，
则，故，
所以；
（2）设平面的一个法向量为，，
则，则，
令，则，，则，又，
设直线与平面所成角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
【变式10-1】（2024·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，
所以平面PAD，
又E、F分别是PA、PB的中点，
则，
故平面PAD；
（2）取AD的中点O，连接OG，由题意，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面EFG的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
设，
因为，
故，
所以，
因为直线GM与平面EFG所成角为，
故，
化简可得，故方程无解，
所以在线段PD上不存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为．
【变式10-2】（2024·四川凉山·高二校联考期末）将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）连接，如图所示，
∵长方形中，，分别是，的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
又∵长方体中且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，得.
又∵平面，平面，
∴平面
（2）以点为原点，，所在直线为轴，轴，以点为垂足，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，即，
设为直线与平面所成角，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式10-3】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）在正四棱柱中，为的中点，.
(1)点满足，求证：四点共面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）如图：
连接NM，，由，知，且，
所以，且，即四边形为平行四边形，
所以，．
又因为，，所以，，
故N，M，B，四点共面．
（2）如图：
因为正四棱柱，故，，以两两相互垂直，
以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
由，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得．
记直线CD与平面所成角为，
则．
【方法技巧与总结】
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
题型十一：二面角
【例11】（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到位置，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）由已知得，，
又由得，故，
因此，从而.
由，得.
由得.所以,.
又已知，于是，
故.又，且
，平面.
所以平面.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
，.
设
是平面的法向量，
则，即，令,可得.
设是平面的法向量，
则，即，令,可得 ，
设平面与平面的夹角为，
于是，
平面与平面的夹角的余弦值是.
【变式11-1】（2024·安徽黄山·高二屯溪一中校考阶段练习）在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰为的中点，又已知.
(1)证明：平面．
(2)求平面和平面的夹角的余弦值
【解析】（1）证明：由已知得，平面，又平面，
，
，，
，又，平面，平面，
平面；
（2）由及平面，得，
以为原点，、所在直线分别为、轴，过与平面垂直的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
又由已知得，
，得，
，，
设平面的法向量，
则，，令，则，，
又平面，平面，，，
平面的一个法向量可以是，
，
易知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
【变式11-2】（2024·河南郑州·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求二面角的余弦值.
【解析】（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
【变式11-3】（2024·广东汕尾·高二海丰县彭湃中学校考期末）如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
(1)求点到平面的距离；
(2)若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）设点到平面的距离为，
则，
由题可知，
所以，
所以点到平面的距离为.
（2）取的中点，连接，因为，
又平面平面且交线为，平面，，
所以平面，由（1）知.
由题意可得，
所以，所以.
以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
依题意，
所以.
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【变式11-4】（2024·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点在线段上.
(1)当时，求线段的中点到平面的距离；
(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由
【解析】（1）以为原点，，，所在直线分别问轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，，，
因为，所以，
设平面的法向量，则，
取，得是平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
（2）由题意，平面，设平面的法向量，
则，取，得是平面的一个法向量，
设，
则，
设平面的法向量，则，
取，得是平面的一个法向量，
则，
解得，即当点为中点时，平面与平面的夹角为.
【方法技巧与总结】
利用向量法求二面角的步骤
（1）建立空间直角坐标系．
（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．
（3）求两个法向量的夹角．
（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角．
（5）确定二面角的大小．
题型十二：点到平面的距离
【例12】（2024·上海·高二校考期末）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)若，求点D到平面PBC的距离．
【解析】（1）证明：连接BD，如图，
∵底面ABCD为菱形，，则，
∴△BCD为等边三角形，
∵E为BC的中点，∴，
∵，∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，∵平面PAD，
∴ED⊥平面PAD；
（2）以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
∴，
设平面PBC的法向量为，
则，即，令，则，
∴，
又，
∴点D到平面PBC的距离为：.
【变式12-1】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到面的距离．
【解析】（1）∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面.
又平面，所以平面平面.
（2）
以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
∵为的中点，∴，
则，，，，
∵，∴，
又，∴，
又，，平面，
∴平面.
所以为平面的法向量，
则点到面的距离.
【变式12-2】（2024·贵州铜仁·高二校考阶段练习）如图,在直角梯形中，，，且，现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离
【解析】（1）结合题意：连接,在直角梯形中，，
易得,
,,
四边形为正方形，,
由平面与平面互相垂直，
且平面平面,平面
面,面，，
,且面,
面,面,平面平面.
（2）结合上问：由面，且面内，
,
以为原点，分别为建立如图所示的空间直角坐标系.
，
.
设面的法向量为，
由,即，令，则，
点到平面的距离为.
【方法技巧与总结】
求点到平面的距离的主要方法
（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
（2）在三棱锥中用等体积法求解．
（3）向量法：（为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段）
题型十三：点到直线的距离
【例13】（2024·广东广州·高二校考阶段练习）在长方体中，，P为CD中点，则点P到直线的距离为 ．
【答案】/
【解析】如下图，构造空间直角坐标系，则，
所以，
故点P到直线的距离为.
故答案为：
【变式13-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）若空间三点，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】，，则，
则.
故答案为：.
【变式13-2】（2024·广东深圳·高二校联考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 .
【答案】/
【解析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
设交线的方向向量为，
则，即，令，得.
因为，点，
则，，
所以点A到直线的距离为.
【变式13-3】（2024·四川成都·高二树德中学校考期末）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 .
【答案】
【解析】由题设，直线为，经过点，且为一个方向向量，
所以，故到直线的距离为.
故答案为：2
【方法技巧与总结】
用向量法求点到直线距离的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求所求点与直线上某一点所构成的向量；
（3）若已知直线的方向向量，则利用公式求解；若已知直线的法向量，可利用求解．
题型十四：直线（平面）到平面的距离
【例14】（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
【解析】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以直线与所成角的余弦值为.
（2）由（1）知，，，，，
显然，所以，
而平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离为，
所以直线FC到平面的距离是.
【变式14-1】（2024·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求：
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面间的距离.
【解析】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
所以，所以，即，
又平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，又，
所以点到平面的距离.
（2）由（1）知平面，同理，平面，
又，平面，
所以平面平面，
即平面与平面间的距离等于点到平面的距离．
由（1）知，点到平面的距离.
所以平面与平面间的距离为.
【变式14-2】（2024·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点，
分别是的中点，
，平面，平面，
平面，平行且等于，
是平行四边形，，
平面，平面，平面，
，平面平面；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面平面，
（2）法一:平面与平面的距离到平面的距离．
中，，，，
由等体积可得，．
法二:
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为
【方法技巧与总结】
用向量方法研究空间距离问题的一般步骤
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，利用公式求解．
一、单选题
1．（2024·西藏拉萨·高二校联考期末）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为,，
则,所以.
故选：C
2．（2024·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一第一步：找到异面直线所成角因为四边形ABCD是菱形，所以，则或其补角就是异面直线PD与BC所成的角．
第二步：结合已知条件得出相关线段的长度
连接AP，易知，．
第三步：利用余弦定理求解
在中，由余弦定理得，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为，
故选：B．
解法二 设，，，则，，两两垂直，且，，则，，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为，
故选：B．
解法三 易知ED，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点，ED，EB，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，得，，故异面直线PD与BC所成角的余弦值为，
故选：B．
3．（2024·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C．或 D．与的位置关系不能判断
【答案】C
【解析】易知，即的方向向量与平面的法向量垂直，
所以有或.
故选：C
4．（2024·吉林长春·高二长春市第二中学校联考期末）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C．或 D．与的位置关系不能判断
【答案】C
【解析】由题意直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的数量积为，
所以或.
故选：C.
5．（2024·甘肃陇南·高二校考期末）已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则
∴可取.
设直线与平面所成角的，则，
于是直线与平面所成角的余弦值为.
故选：A.
6．（2024·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（ ）
A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面 D．直线AB⊥坐标平面
【答案】C
【解析】由已知得，
坐标平面的一个法向量是，
坐标平面的一个法向量是，
易判断与，不平行，
所以直线AB不垂直坐标平面，也不垂直坐标平面，故BD错.
因为，所以直线不平行坐标平面，
故A错
因为 ，
点A、B均不在坐标平面上，所以直线AB与坐标平面平行，故C对.
故选：C
7．（2024·贵州·高二统考阶段练习）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则由得令，得，
则，
故点到平面的距离为.
故选：C.
8．（2024·云南昆明·高二统考期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点，
则
平面法向量为，
故选：A．
二、多选题
9．（2024·河北石家庄·高二校考期末）下列给出的命题正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
B．两个不重合的平面的法向量分别是，则
C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则
【答案】BCD
【解析】对A，，所以或，A错误；
对B，，所以，B正确；
对C，利用反证法的思想，
假设三个向量共面，则，
所以，
若，则，则共线，
与是空间的一组基底矛盾；
若，则，则共面，
与是空间的一组基底矛盾；
所以假设不成立，即不共面，
所以也是空间的一组基底，C正确；
对D，因为P为平面ABC上的一点，所以四点共面，
则由共面定理以及可得，
，所以，D正确；
故选:BCD.
10．（2024·江苏·高二校联考阶段练习）已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量坐标是
C．是平面ABC的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
【答案】BC
【解析】对于A：，则，A错误；
对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确；
对于C：，，
又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确；
对于D：在上的投影向量的模为，D错误.
故选：BC.
11．（2024·安徽黄山·高二屯溪一中校考阶段练习）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，在直线上，且，的重心为，则（ ）
A．若在平面内，则 B．若，，三点共线，则
C．若平面，则 D．点到直线的距离为
【答案】ACD
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如下图：
因为正方体的棱长为，，分别为，的中点，
在直线上，且，的重心为，
所以，，，，，
，，，．
对于A，因为在平面内，所以，解得，故A正确；
对于B，因为，，
所以要，，三点共线，则，解得，故B错误；
对于C，因为平面，而，平面，
所以且．
因为，，，
所以由得，解得，故C正确；
对于D因为，，
所以点到直线的距离为，故D正确．
故选：ACD
12．（2024·重庆·高二统考期末）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为
B．若平面的方程为，则是平面的法向量
C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线
D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面
【答案】ABD
【解析】对于A：根据题设可知平面的方程为，
即为，故A正确；
对于B：因为平面的方程为，
由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，
所以是平面的法向量，故B正确；
对于C：，
该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误；
对于D：设，其等价于，
该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．（2024·山西吕梁·高二校联考阶段练习）已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点P到平面的距离为 ．
【答案】1
【解析】由题意得，故点P到平面的距离
故答案为：1
14．（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，已知空间中三点分别为，，，则到平面的距离为 .
【答案】/
【解析】，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
取，则，，，
到平面的距离为.
故答案为：.
15．（2024·上海·高二复旦附中校考期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】/
【解析】设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
16．（2024·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）在直三棱柱中，，且，已知为线段的中点，设过点的平面为，则平面截此三棱柱的外接球所得截面的面积为 .
【答案】
【解析】如图，以点B为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则.
连接相交于点.直三棱柱中，，
故此三棱柱的外接球即为以分别为长、宽、高的长方体的外接球，
且点为外接球球心.因为，所以，
所以外接球半径为.
设平面的法向量为，则，
解得，取，则，所以.又 ，
所以点到平面的距离为.
所以平面截此三棱柱的外接球所得的截面圆的半径为，故截面面积为.
故答案为：
四、解答题
17．（2024·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【解析】（1）证明：因为四边形是边长为的正方形，
平面，平面，且．
所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，平面的一个法向量为，
，所以，因为平面，
所以平面；
（2）由（1）可得，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
，，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
，所以，
所以平面平面．
18．（2024·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，线段AC上有两个动点E，F（顺序如图），且.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与所成角的余弦值的取值范围；
【解析】（1）连接，由勾股定理得，
所以，故，，
因为⊥平面，所以，
故，
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为底面是正方形，，，
所以，，，
，
故，
设直线与所成角大小为，
故
，
因为，所以.
19．（2024·广东广州·高二广州市真光中学校考期末）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.
(1)证明：平面.
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为四边形是菱形，所以.
因为，，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为，平面，且，所以平面.
（2）取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，，
所以为等边三角形，故⊥，
又平面，平面，
所以，，故，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
故，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得.
平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为，
则，
整理得，解得或（舍去）.
故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是.
20．（2024·云南临沧·高二校考期末）如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，设为的中点，
因为为正三角形，
所以.
平面平面，平面平面，平面，
底面，而底面，
，又，平面，
平面，而平面，
；
（2）设的中点为，.
由（1）知两两垂直，以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，
，取，
则，.
.
设平面的法向量为，
则，取，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
21．（2024·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：因为，，，
所以，，，，
所以，即，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面⊥平面．
（2）以为原点，，分别为、轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为.
（3）由（2）知，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
设直线与平面所成角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．（2024·四川成都·高二校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，点E是线段PC（不含端点）上的一个动点.
(1)设平面ADE交PB于点F，求证：EF平面PAD；
(2)当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
【解析】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
因为平面ADE，平面平面，所以，
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD；
（2）在AB上取中点O，因为是等腰直角三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，
又底面是边长为2的菱形，且，所以，
故以O为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
则，，，，，
，，，
设，则，
设是平面PAD的一个法向量，
则，即，令可得，
由点E到平面PAD的距离为得，所以，解得，
故点E为CP中点，所以，所以，又，
设是平面ADE的一个法向量，
则，即，令可得，
又，故是平面ABCD的一个法向量，
得，
所以平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.6．3 空间向量的应用
课程标准 学习目标
（1）能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路. （1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得距离，体会用向量方法解决距离问题的优势． （2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用于解决有关夹角问题．体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势． （1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. （2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题． （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题．
知识点01 直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式．
知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2、平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3、平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
【即学即练1】（2024·高二课时练习）若向量都是直线的方向向量，则 .
知识点02 用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面
知识点03 用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面；
知识点04 用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有．
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，．
若分别为面的法向量，
则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
【即学即练4】（2024·江苏无锡·高二辅仁高中校考期末）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.
(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.
知识点05 用向量方法求空间距离
1、求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．
2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解-
即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．
直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量．
3、点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离．
【即学即练5】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
题型一：直线的方向向量
【例1】（2024·陕西西安·高二校考期末）已知，若直线的一个方向向量为，则 .
【变式1-1】（2024·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量： ．（坐标表示）
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 .
【方法技巧与总结】
理解直线方向向量的概念
（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
（2）直线的方向向量不唯一．
题型二：平面的法向量
【例2】（2024·全国·高二课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．
【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．
【变式2-2】（2024·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．
【变式2-3】（2024·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．
【方法技巧与总结】
求平面法向量的步骤
（1）设出平面的法向量为．
（2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，．
（3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组
（4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）．
题型三：直线和直线平行
【例3】（2024·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【变式3-1】（2024·高二课时练习）如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：.
【变式3-2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
证明：.
【方法技巧与总结】
证明两直线平行的方法
方法一：平行直线的传递性．
方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量，，证明，即．
方法三：坐标法，建立空间直角坐标佘，把直线的方向向量用坐标表示，如，
，即证明，即且且．
题型四：直线与平面的平行
【例4】（2024·全国·高二课堂例题）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；
【变式4-2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面；
【变式4-3】（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【变式4-4】（2024·高二课时练习）如图，已知是正方形所在平面外一点，分别是上一点，且，求证：平面.
【方法技巧与总结】
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
题型五：平面和平面平行
【例5】（2024·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.
【变式5-1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．
【变式5-2】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.
【变式5-3】（2024·湖南株洲·高二校考期末）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【方法技巧与总结】
证明面面平行问题的方法
（1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
题型六：直线和直线垂直
【例6】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．证明：.
【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：.
【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证：
【变式6-3】（2024·全国·高三专题练习）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
【方法技巧与总结】
利用向量方法证明线线垂直的方法
（1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
（2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
题型七：直线与平面垂直
【例7】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面；
【变式7-1】（2024·浙江·高二路桥中学校考期末）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.
(1)求该正三棱台的表面积；
(2)求证：平面
【变式7-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．证明：平面；
【变式7-3】（2024·广东佛山·高二罗定邦中学校考期末）如图，在长方体中，分别是的中点．求证：
(1)四边形为平行四边形；
(2)平面．
【变式7-4】（2024·四川南充·高二南部县第二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由．
【方法技巧与总结】
用向量法证明线面垂直的方法
（1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
（2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
题型八：平面与平面垂直
【例8】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE；
【变式8-1】（2024·四川成都·高二校考期末）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分）
【变式8-2】（2024·全国·高三专题练习）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面；
【变式8-3】（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.
求证：平面平面.
【变式8-4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
求证：平面平面.
【方法技巧与总结】
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
题型九：两条异面直线所成的角
【例9】（2024·广东河源·高二河源市河源中学校考开学考试）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·江苏·高二校联考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·福建厦门·高二校考期末）如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
(1)求证：．
(2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式9-3】（2024·江西·高二校联考阶段练习）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
运用向量法常有两种途径
（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量．
（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
题型十：直线与平面所成的角
【例10】（2024·安徽六安·高二校考期末）如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．
(1)证明：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【变式10-1】（2024·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.
【变式10-2】（2024·四川凉山·高二校联考期末）将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式10-3】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）在正四棱柱中，为的中点，.
(1)点满足，求证：四点共面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【方法技巧与总结】
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
题型十一：二面角
【例11】（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到位置，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【变式11-1】（2024·安徽黄山·高二屯溪一中校考阶段练习）在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰为的中点，又已知.
(1)证明：平面．
(2)求平面和平面的夹角的余弦值
【变式11-2】（2024·河南郑州·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求二面角的余弦值.
【变式11-3】（2024·广东汕尾·高二海丰县彭湃中学校考期末）如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
(1)求点到平面的距离；
(2)若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.
【变式11-4】（2024·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点在线段上.
(1)当时，求线段的中点到平面的距离；
(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由
【方法技巧与总结】
利用向量法求二面角的步骤
（1）建立空间直角坐标系．
（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．
（3）求两个法向量的夹角．
（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角．
（5）确定二面角的大小．
题型十二：点到平面的距离
【例12】（2024·上海·高二校考期末）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)若，求点D到平面PBC的距离．
【变式12-1】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到面的距离．
【变式12-2】（2024·贵州铜仁·高二校考阶段练习）如图,在直角梯形中，，，且，现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离
【方法技巧与总结】
求点到平面的距离的主要方法
（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
（2）在三棱锥中用等体积法求解．
（3）向量法：（为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段）
题型十三：点到直线的距离
【例13】（2024·广东广州·高二校考阶段练习）在长方体中，，P为CD中点，则点P到直线的距离为 ．
【变式13-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）若空间三点，则点到直线的距离为 ．
【变式13-2】（2024·广东深圳·高二校联考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 .
【变式13-3】（2024·四川成都·高二树德中学校考期末）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 .
【方法技巧与总结】
用向量法求点到直线距离的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求所求点与直线上某一点所构成的向量；
（3）若已知直线的方向向量，则利用公式求解；若已知直线的法向量，可利用求解．
题型十四：直线（平面）到平面的距离
【例14】（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
【变式14-1】（2024·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求：
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面间的距离.
【变式14-2】（2024·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【方法技巧与总结】
用向量方法研究空间距离问题的一般步骤
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，利用公式求解．
一、单选题
1．（2024·西藏拉萨·高二校联考期末）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C．或 D．与的位置关系不能判断
4．（2024·吉林长春·高二长春市第二中学校联考期末）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C．或 D．与的位置关系不能判断
5．（2024·甘肃陇南·高二校考期末）已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（ ）
A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面 D．直线AB⊥坐标平面
7．（2024·贵州·高二统考阶段练习）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·云南昆明·高二统考期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·河北石家庄·高二校考期末）下列给出的命题正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
B．两个不重合的平面的法向量分别是，则
C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则
10．（2024·江苏·高二校联考阶段练习）已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量坐标是
C．是平面ABC的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
11．（2024·安徽黄山·高二屯溪一中校考阶段练习）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，在直线上，且，的重心为，则（ ）
A．若在平面内，则 B．若，，三点共线，则
C．若平面，则 D．点到直线的距离为
12．（2024·重庆·高二统考期末）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为
B．若平面的方程为，则是平面的法向量
C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线
D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面
三、填空题
13．（2024·山西吕梁·高二校联考阶段练习）已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点P到平面的距离为 ．
14．（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，已知空间中三点分别为，，，则到平面的距离为 .
15．（2024·上海·高二复旦附中校考期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 .
16．（2024·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）在直三棱柱中，，且，已知为线段的中点，设过点的平面为，则平面截此三棱柱的外接球所得截面的面积为 .
四、解答题
17．（2024·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
18．（2024·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，线段AC上有两个动点E，F（顺序如图），且.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与所成角的余弦值的取值范围；
19．（2024·广东广州·高二广州市真光中学校考期末）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.
(1)证明：平面.
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（2024·云南临沧·高二校考期末）如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2024·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2024·四川成都·高二校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，点E是线段PC（不含端点）上的一个动点.
(1)设平面ADE交PB于点F，求证：EF平面PAD；
(2)当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
