7．2 排列
课程标准 学习目标
（1）能通过实例，用自己的语言解释排列的定义；能用定义判断是不是排列问题，发展数学抽象素养． （2）能从排列的定义出发推导排列数公式，并能用排列数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用排列的概念和公式解决简单的实际问题． （1）理解并掌握排列的概念. （2）能应用排列知识解决简单的实际问题． （3）能用排列数公式进行化简与证明．
知识点01 排列的概念
1、排列的定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点诠释：
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
【即学即练1】（2024·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
【答案】B
【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，
因而不是排列问题，不合题意；
选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，
是排列问题，适合题意；
选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点
即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意；
选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，
这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.
故选：B．
知识点02 排列数
1、排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示．
知识点诠释：
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
2、排列数公式
，其中，且．
知识点诠释：
公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．
【即学即练2】（2024·福建·高二校联考期末）可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
故选：B.
知识点03 阶乘表示式
1、阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!．
规定：．
2、排列数公式的阶乘式：
所以．
【即学即练3】（2024·高二课时练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】原不等式可化为，其中，，
整理得，即，所以或．
因为，，所以，，所以原不等式的解集为．
故答案为：.
知识点04 排列的常见类型与处理方法
1、相邻元素捆绑法
2、相离问题插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
【即学即练4】（2024·全国·高二随堂练习）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种．
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】A
【解析】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种.
故选：A.
题型一：排列的概念
【典例1-1】（2024·高二课时练习）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；
∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；
若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题；
在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题．
故选：B．
【典例1-2】（2024·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
【变式1-1】（2024·高二课时练习）已知下列问题:
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母;
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中是排列问题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；
②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；
③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；
④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题.
故选：B.
【变式1-2】（多选题）（2024·江西新余·高二校考阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【答案】ACD
【解析】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确；
对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误；
对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确；
对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确.
故选：ACD.
【变式1-3】（2024·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话．
【解析】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
【方法技巧与总结】
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
题型二：画树形图写排列
【典例2-1】（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列．
【解析】先画出下面的树形图：
于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．
【典例2-2】（2024·江苏·高二专题练习）写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
【解析】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数.
（2）画出树状图，如图：
由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，
3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数.
【变式2-1】（2024·高二课时练习）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
（2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列．
【解析】（1）由题意作“树形图”，如下．
故组成的所有两位数为，共有12个．
（2）由题意作“树形图”，如下．
故所有的排列为：，.
【变式2-2】（2024·全国·高二课堂例题）求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列.
【解析】所求排列数为.
所有的排列可用图所示.
由图可知，所有排列为，，，，，.
【变式2-3】（2024·高二课时练习）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
【解析】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．
由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
【方法技巧与总结】
树形图的画法
（1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．
（2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．
（3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止．
题型三：简单的排列问题
【典例3-1】（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
【解析】任意取出两个元素的所有排列为：
.
【典例3-2】（2024·高二课时练习）将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．
【解析】由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，可分为三类：
当排在第一时：BADC，BCDA，BDAC；
当排在第一时：CADB，CDAB，CDBA，
当排在第一时：DABC，DCAB，DCBA，
所以不同的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA．
【变式3-1】（2024·高二课时练习）（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数；
（2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数.
【解析】（1）所有的三位数为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数.
故排列数是.
（2）所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，
2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，
4312，4321，共24个四位数.
故排列数是.
【变式3-2】（2024·高二课时练习）从、、、这个数字中选出个不同的数字组成个三位数，试写出所有满足条件的三位数．
【解析】所有满足条件的三位数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个.
【变式3-3】（2024·高二课时练习）请列出下列排列：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；
(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．
【解析】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种：
.
（2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种：
.
【变式3-4】（2024·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．
【解析】根据题意，所有的信号为：
红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．
【变式3-5】（2024·全国·高二专题练习）解不等式：；
【解析】因为，，，
所以不等式可化为，
解得，又，，
所以不等式的解集为．
【方法技巧与总结】
对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．
题型四：排列数公式的应用
【典例4-1】（2024·高二课时练习） ．
【答案】40
【解析】由题意得，，，
故，
故答案为：40
【典例4-2】（2024·甘肃兰州·统考一模），则等于 ．
【答案】10
【解析】因为，解得或，
且，所以.
故答案为：10.
【变式4-1】（2024·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，且，
解得或（舍去）.
故答案为：
【变式4-2】（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知，则 ．
【答案】3
【解析】因为，
所以，且，，，
所以，
解得或（舍去），
所以.
故答案为：3.
【变式4-3】（2024·高二课时练习）（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么 ；
（3）已知，那么 ．
【答案】
【解析】（1）由，
则，
即，解得.
（2）由，
则，解得.
（3）由，
则且，
解得或（舍）.
故答案为： ； ；
【变式4-4】（2024·高二课前预习），则 .
【答案】
【解析】根据排列数的计算公式，可得，即，
解得或（舍去）.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
排列数公式的选择
（1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．
（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
题型五：阶乘的概念及性质
【典例5-1】（2024·江苏·高二专题练习）求不等式的解集．
【解析】由题设，则，
所以，
又且，则且，
所以且，则解集为.
【典例5-2】（2024·江苏·高二专题练习）解不等式：
【解析】由原不等式得且，
所以，即，解得且，
所以.
【变式5-1】（2024·高二课时练习）解关于正整数n的方程：．
【解析】由排列数的定义，有由此解得．
此外，原方程可化为，
再化简，可得，
即，即．舍去非整数的根，
故．
【变式5-2】（2024·江苏·高二专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)若，求x.
【解析】（1）；
（2）；
（3）由题设，则，
所以，则，
又，故.
【变式5-3】（2024·高二课时练习）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【解析】（1）由于，
所以，
整理得，
解得或（舍去）.
（2）由于，
所以，
整理得，
由于，所以，
所以不等式的解集为.
【方法技巧与总结】
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
题型六：与排列数公式有关的证明问题
【典例6-1】（2024·全国·高二课堂例题）求证：．
【解析】．
【典例6-2】（2024·江苏·高二专题练习）求证：
【解析】，
，
，
综上，.
【变式6-1】（2024·高二课时练习）证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．
【解析】（1）证明：由可得，
则.
所以
（2）因为，
所以.
【变式6-2】（2024·高二课时练习）求证：．
【解析】左边，
右边，
所以，即证.
【变式6-3】（2024·高二课时练习）证明，并用它来化简．
【解析】证明，即证.
【变式6-4】（2024·高二课时练习）求证：
(1)；
(2)．
【解析】（1）证明：.
（2）证明：.
【方法技巧与总结】
对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式．
题型七：相邻问题
【典例7-1】（2024·全国·高二假期作业）第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】A
【解析】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有种排法，
相邻元素内部再排共有种排法，
故共有种排法，
故选：A．
【典例7-2】（2024·河南驻马店·高二校联考期末），，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（ ）
A．24 B．120 C．48 D．60
【答案】C
【解析】将，看成一体，，的排列方法有种方法，然后将和当成一个整体与其他三个人一共个元素进行全排列，即不同的排列方式有，根据分步计数原理可知排法种数为，
故选：.
【变式7-1】（2024·全国·高二随堂练习）停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】将个空车位视为一个元素，与辆车共个元素进行全排列，共有种．
故选：D
【变式7-2】（2024·辽宁·高二校联考阶段练习）市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48 B．54 C．72 D．84
【答案】C
【解析】根据题意，现将3个乘客全排列，将有4个空隙，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，放入4个空隙中的两个，共有种.
故选：C.
【变式7-3】（2024·全国·高二专题练习）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【答案】C
【解析】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；
当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，
有种站法，
所以一共有种不同的站法．
故选：C
【方法技巧与总结】
相邻问题捆绑法
题型八：不相邻问题
【典例8-1】（2024·福建漳州·高二统考期末）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插人节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
【答案】B
【解析】这2个新节目插入节目单中且不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法.
故选：B
【典例8-2】（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲 乙 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲 乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
【答案】D
【解析】分两种情况：
当丙不在甲 乙中间时，先加入甲，有种方法，再加入乙，有种方法，最后加入丙，有种方法，此时不同的加入方法共有种；
当丙在甲 乙中间时，共有种方法.
故不同的加入方法共有种.
故选：D
【变式8-1】（2024·全国·高二假期作业）亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种 B．360种 C．480种 D．504种
【答案】C
【解析】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有种.
故选：C
【变式8-2】（2024·全国·高二假期作业）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
【答案】B
【解析】甲和乙相邻，捆绑在一起有种，
再与丙和丁外的1人排列有种，
再排丙和丁有种，
故共有种排法.
故选：B.
【变式8-3】（2024·全国·高二假期作业）寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】种类一：一位男生在最后，此时有种情况，
位女生全排列有种情况，
最后将剩余一位男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
所以共种情况；
种类二：
男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，
所以女生甲有种排法，
其他为女生有种排法，
最后男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况，
共种情况；
综上所述，共种情况，
故选：A.
【变式8-4】（2024·山东德州·高二校考期末）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．14 B．120 C．72 D．24
【答案】D
【解析】根据题意，先排3个空位，形成4个空隙，从4个空隙中选出3个空隙，让3人就坐，
共有种不同的坐法.
故选：D.
【方法技巧与总结】
不相邻问题插空法
题型九：定序问题
【典例9-1】（2024·上海市金山中学高二期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．
【答案】
【解析】演出中的6个节目全排列有,
甲、乙、丙3个节目全排列有,
所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有，
故答案为：.
【典例9-2】（2024·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.
【答案】1200.
【解析】从8所高校中选出5所，除去、还需要选3所，选法是种，当、两高校不相邻时，不同的表演顺序有，当、两高校相邻时，不同的表演顺序有，因此可选择的不同航模表演顺序有种.
故答案为：1200.
【变式9-1】（2024·全国·高二课时练习）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种．
【答案】60480
【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外
的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序
确定，只有一种方法，故共有60480种排法．
解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有
一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法．
解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因
为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法．
故答案为：60480
【变式9-2】（2024·全国·高二课时练习）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答）
【答案】40
【解析】5个元素无约束条件的全排列有种排法，
由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A，
因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法
有（种）.
故答案为：40
【变式9-3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）.
【答案】
【解析】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有种取法，
又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，
由排列中的定序问题，可知不同的取法有种.
故答案为：90.
题型十：间接法
【典例10-1】（2024·河南驻马店·高二统考期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（ ）
A．66 B．64 C．48 D．30
【答案】B
【解析】由题意，五张知识展板并排放在文化橱窗里共有种排法，
小雪站在首位或大雪站在末位有种排法，
小雪站在首位且大雪站在末位有种排法，
则小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有种，
而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间的情况分两类，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪不站末位，有，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪站末位，有，
故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中间的站法共有：种.
故选：B.
【典例10-2】（2024·广东茂名·高二统考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．480种 B．336种 C．144种 D．96种
【答案】B
【解析】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：，
“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：，
所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：.
故选：B
【变式10-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【答案】B
【解析】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种，
所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.
故选：B
【变式10-2】（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
A．198个 B．180个 C．216个 D．234个
【答案】A
【解析】当2在首位时，在任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选两个字母在字母位上全排有；
当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选一个字母放在字母位的最后有；
所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有种，
而任选3个数字在数字位全排，任选2个字母在字母位全排共有种，
所以满足要求的车牌号有种.
故选：A
【方法技巧与总结】
正难则反
一、单选题
1．（2024·河南·高二校联考专题练习）四名护士和一名医生站成一排照相，则医生站在正中间的不同站法有（ ）
A．64种 B．12种 C．120种 D．24种
【答案】D
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①、将四名护士全排列，有种排法；
②、医生站在正中间，有1种情况.
则5人不同的站法有种.
故选：D.
2．（2024·辽宁大连·高二统考期末）用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（ ）个
A．18 B．36 C．72 D．86
【答案】C
【解析】由题意，可先对计数进行全排列，共有种排法；
再对构成的4个空隙中，连续前三个空隙或后相邻的三个空隙，放入偶数，
共有种放法，
根据分步计数原理，可得共有种不同的排法.
故选：C.
3．（2024·北京石景山·高二统考期末）用可以组成无重复数字的两位数的个数为（ ）
A．25 B．20 C．16 D．15
【答案】C
【解析】从中任选两个数字，组成两位数的个数有个，
其中数字0排首位的有4个，
所以满足条件的两位数有个.
故选：C
4．（2024·江西上饶·高二婺源县天佑中学校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）
4
A．70 B．120 C．140 D．144
【答案】B
【解析】比小的有，共个，从中选出个排在的左边和上方，方法数有种，
比大的有，共个，从中选出个排在的右边和下方，方法数有种，
所以不同的填法种数为种.
故选：B
5．（2024·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）4个人排成一排，则甲不站两边的站法有（ ）
A．8 B．10
C．12 D．24
【答案】C
【解析】甲不站两边的有种方法，
故选：C
6．（2024·福建·高二校联考期末）可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
故选：B.
7．（2024·江西·高二校联考期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．108种 B．96种 C．84种 D．72种
【答案】B
【解析】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位，
当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端，
第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端，
第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端，
第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种，
由分步乘法计数原理可得有种；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：B.
8．（2024·河南南阳·高二统考期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ）
A．20种 B．50种 C．60种 D．100种
【答案】C
【解析】因为博物院每周一闭馆，
所以高一年级可以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择2日去参观，共5种选择，
再从剩下的四天里安排高二、高三年级，有种安排方法，
根据分步计数原理，知不同的方案有种，
故选：C.
二、多选题
9．（2024·辽宁大连·高二校联考期末）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有种排列方式．
C．若两个“将”不相邻，则有种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有种排列方式．
【答案】ACD
【解析】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确；
B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，
故共有种情况，B错误；
C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，
再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确；
D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，
再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确.
故选：ACD
10．（2024·河南·高二校联考阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】，故A正确；
由上述可知，因此，故B错误；
，故C正确；
由上述可知，故D错误.
故选:AC.
11．（2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（ ）
A．都在后3天介绍的方法种数为36
B．相隔一天介绍的方法种数为36
C．A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为72
D．A在，之前介绍的方法种数为40
【答案】ABD
【解析】A选项，在后3天中选择2天，有种选择，
再将和剩余的3天进行全排列，有种选择，
故有种方法数，A正确；
B选项，先把进行全排列，再从选择1个放在之间，有种方法，
再将这三个领域捆绑，和剩余的两个领域进行全排列，共有种选择，
综上，共有种方法数，B正确；
C选项，若A在最后一天进行介绍，则将剩余4个领域进行全排列，有种方法，
若A不在最后一天进行介绍，从3天中选择1天安排A，
再从除了最后一天的剩余3天中选择1天安排，有种选择，
最后将剩余的3个领域和3天进行全排列，有种选择，
则此时有种选择，
综上，A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为，C错误；
D选项，进行全排列，共有种方法，
将进行全排列，共有种方法，其中A在，之前的有2种，
故120种排列中，A在，之前的有种，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．（2024·福建宁德·高二统考期末）宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】先将《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》三个节目进行排序，
然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》这三个
节目中形成的四个空位中的两个空位，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
故答案为：.
13．（2024·辽宁·高二期末）一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，不同牌照号码的个数是 ．
【答案】
【解析】由题意，汽车拍照由2个英文字母，其中英文字母不能相同有种不同的排法，
又由4个数字组成可重复有种不同的排法，
根据分步计数原理得，共有种不同的汽车拍照号码.
故答案为：.
14．（2024·江苏南通·高二统考期末）第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有 种.
【答案】
【解析】只考虑代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余人进行排序，
共有种不同的排法，
若记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，则记者有种站法，
然后将代表甲与代表乙捆绑，与剩余人进行排序，此时不同的站法种数为种，
因此，若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【解析】（1）先排甲有种，其余有种，
共有种排法.
（2）先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法.
（3）把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共种.
（4）先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
（5）人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
16．（2024·河北石家庄·高二校考期中）现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法，求：
(1)甲、乙不能相邻；
(2)甲、乙相邻且都不站在两端．
【解析】（1）先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入4个空当中的2个，有种，
由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为种；
（2）将甲、乙两人“ 绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有种；
再将其余3人全排列有种，
故共有种不同排法；
17．（2024·全国·高二课堂例题）证明： ．
【解析】证明 ：
．
为了使上述结论在时也成立，我们规定．
由此可知，排列数公式还可以写成．
18．（2024·江西·高二校联考阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的六位数．
(1)偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
(2)若数字和之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
【解析】（1）若六位数中，偶数不能相邻，则先将三个奇数进行排序，
然后从三个奇数形成的个空位中选出个空位插入三个偶数，
所以，不同的六位数个数为.
（2）在数字和之间恰有一个奇数，有种，
将这个整体与其余三个数字进行排列，满足条件的六位数的个数为.
19．（2024·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【解析】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法，
再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．7．2 排列
课程标准 学习目标
（1）能通过实例，用自己的语言解释排列的定义；能用定义判断是不是排列问题，发展数学抽象素养． （2）能从排列的定义出发推导排列数公式，并能用排列数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用排列的概念和公式解决简单的实际问题． （1）理解并掌握排列的概念. （2）能应用排列知识解决简单的实际问题． （3）能用排列数公式进行化简与证明．
知识点01 排列的概念
1、排列的定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点诠释：
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
【即学即练1】（2024·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
知识点02 排列数
1、排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示．
知识点诠释：
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
2、排列数公式
，其中，且．
知识点诠释：
公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．
【即学即练2】（2024·福建·高二校联考期末）可表示为（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 阶乘表示式
1、阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!．
规定：．
2、排列数公式的阶乘式：
所以．
【即学即练3】（2024·高二课时练习）不等式的解集为 ．
知识点04 排列的常见类型与处理方法
1、相邻元素捆绑法
2、相离问题插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
【即学即练4】（2024·全国·高二随堂练习）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种．
A．144 B．72 C．36 D．24
题型一：排列的概念
【典例1-1】（2024·高二课时练习）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
【典例1-2】（2024·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【变式1-1】（2024·高二课时练习）已知下列问题:
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母;
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中是排列问题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（多选题）（2024·江西新余·高二校考阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【变式1-3】（2024·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话．
【方法技巧与总结】
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
题型二：画树形图写排列
【典例2-1】（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列．
【典例2-2】（2024·江苏·高二专题练习）写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
【变式2-1】（2024·高二课时练习）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
（2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列．
【变式2-2】（2024·全国·高二课堂例题）求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列.
【变式2-3】（2024·高二课时练习）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
【方法技巧与总结】
树形图的画法
（1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．
（2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．
（3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止．
题型三：简单的排列问题
【典例3-1】（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
【典例3-2】（2024·高二课时练习）将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．
【变式3-1】（2024·高二课时练习）（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数；
（2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数.
【变式3-2】（2024·高二课时练习）从、、、这个数字中选出个不同的数字组成个三位数，试写出所有满足条件的三位数．
【变式3-3】（2024·高二课时练习）请列出下列排列：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；
(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．
【变式3-4】（2024·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．
【变式3-5】（2024·全国·高二专题练习）解不等式：；
【方法技巧与总结】
对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．
题型四：排列数公式的应用
【典例4-1】（2024·高二课时练习） ．
【典例4-2】（2024·甘肃兰州·统考一模），则等于 ．
【变式4-1】（2024·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，则 .
【变式4-2】（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知，则 ．
【变式4-3】（2024·高二课时练习）（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么 ；
（3）已知，那么 ．
【变式4-4】（2024·高二课前预习），则 .
【方法技巧与总结】
排列数公式的选择
（1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．
（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
题型五：阶乘的概念及性质
【典例5-1】（2024·江苏·高二专题练习）求不等式的解集．
【典例5-2】（2024·江苏·高二专题练习）解不等式：
【变式5-1】（2024·高二课时练习）解关于正整数n的方程：．
【变式5-2】（2024·江苏·高二专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)若，求x.
【变式5-3】（2024·高二课时练习）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【方法技巧与总结】
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
题型六：与排列数公式有关的证明问题
【典例6-1】（2024·全国·高二课堂例题）求证：．
【典例6-2】（2024·江苏·高二专题练习）求证：
【变式6-1】（2024·高二课时练习）证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．
【变式6-2】（2024·高二课时练习）求证：．
【变式6-3】（2024·高二课时练习）证明，并用它来化简．
【变式6-4】（2024·高二课时练习）求证：
(1)；
(2)．
【方法技巧与总结】
对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式．
题型七：相邻问题
【典例7-1】（2024·全国·高二假期作业）第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【典例7-2】（2024·河南驻马店·高二校联考期末），，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（ ）
A．24 B．120 C．48 D．60
【变式7-1】（2024·全国·高二随堂练习）停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【变式7-2】（2024·辽宁·高二校联考阶段练习）市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48 B．54 C．72 D．84
【变式7-3】（2024·全国·高二专题练习）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【方法技巧与总结】
相邻问题捆绑法
题型八：不相邻问题
【典例8-1】（2024·福建漳州·高二统考期末）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插人节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
【典例8-2】（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲 乙 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲 乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
【变式8-1】（2024·全国·高二假期作业）亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种 B．360种 C．480种 D．504种
【变式8-2】（2024·全国·高二假期作业）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
【变式8-3】（2024·全国·高二假期作业）寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2024·山东德州·高二校考期末）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．14 B．120 C．72 D．24
【方法技巧与总结】
不相邻问题插空法
题型九：定序问题
【典例9-1】（2024·上海市金山中学高二期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．
【典例9-2】（2024·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.
【变式9-1】（2024·全国·高二课时练习）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种．
【变式9-2】（2024·全国·高二课时练习）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答）
【变式9-3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）.
题型十：间接法
【典例10-1】（2024·河南驻马店·高二统考期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（ ）
A．66 B．64 C．48 D．30
【典例10-2】（2024·广东茂名·高二统考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．480种 B．336种 C．144种 D．96种
【变式10-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【变式10-2】（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
A．198个 B．180个 C．216个 D．234个
【方法技巧与总结】
正难则反
一、单选题
1．（2024·河南·高二校联考专题练习）四名护士和一名医生站成一排照相，则医生站在正中间的不同站法有（ ）
A．64种 B．12种 C．120种 D．24种
2．（2024·辽宁大连·高二统考期末）用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（ ）个
A．18 B．36 C．72 D．86
3．（2024·北京石景山·高二统考期末）用可以组成无重复数字的两位数的个数为（ ）
A．25 B．20 C．16 D．15
4．（2024·江西上饶·高二婺源县天佑中学校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）
4
A．70 B．120 C．140 D．144
5．（2024·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）4个人排成一排，则甲不站两边的站法有（ ）
A．8 B．10
C．12 D．24
6．（2024·福建·高二校联考期末）可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·江西·高二校联考期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．108种 B．96种 C．84种 D．72种
8．（2024·河南南阳·高二统考期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ）
A．20种 B．50种 C．60种 D．100种
二、多选题
9．（2024·辽宁大连·高二校联考期末）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有种排列方式．
C．若两个“将”不相邻，则有种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有种排列方式．
10．（2024·河南·高二校联考阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（ ）
A．都在后3天介绍的方法种数为36
B．相隔一天介绍的方法种数为36
C．A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为72
D．A在，之前介绍的方法种数为40
三、填空题
12．（2024·福建宁德·高二统考期末）宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》、《宏珵缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为 （用数字作答）．
13．（2024·辽宁·高二期末）一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，不同牌照号码的个数是 ．
14．（2024·江苏南通·高二统考期末）第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有 种.
四、解答题
15．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
16．（2024·河北石家庄·高二校考期中）现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法，求：
(1)甲、乙不能相邻；
(2)甲、乙相邻且都不站在两端．
17．（2024·全国·高二课堂例题）证明： ．
18．（2024·江西·高二校联考阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的六位数．
(1)偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
(2)若数字和之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
19．（2024·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
