7．3组合
课程标准 学习目标
（1）能通过实例，用自己的语言解释组合的定义；能用定义判断是不是组合问题，发展数学抽象素养． （2）能从组合的定义出发，利用排列与组合的关系推导组合数公式，并能用组合数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用组合的概念和公式解决简单的实际问题． （1）了解组合及组合数的概念. （2）能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
知识点01 组合
1、定义：
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
知识点诠释：
（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．
【即学即练1】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
【答案】C
【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，
将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，
选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，
与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，
与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，
将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.
故选：C.
知识点02 组合数及其公式
1、组合数的定义：
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
知识点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
2、组合数公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知识点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
【即学即练2】（2024·山东潍坊·高二统考期末）（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】由.
故选：C.
知识点03 组合数的性质
性质1：（，且）
性质2：（，且）
知识点诠释：
规定：．
【即学即练3】（2024·福建宁德·高二统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，解得，
故
.
故选：D.
知识点04 组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
②分堆但不平均，其分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
（5）相同元素分组问题用“隔板法”
【即学即练4】（2024·江西萍乡·高二统考期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答）
【答案】50
【解析】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，
包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，
当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种，
当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种，
根据分类计数原理得到共有（种）.
故答案为：50
题型一：组合概念的理解
【典例1-1】（多选题）（2024·高二单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
【答案】ABC
【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；
B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；
C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；
D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．
故选:ABC．
【典例1-2】（多选题）（2024·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【答案】BCD
【解析】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
则共有种排法，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.
故选：BCD.
【变式1-1】（多选题）（2024·高二课前预习）给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【解析】A选项中集合的元素可以是无序的，即：集合与集合是相同的集合，故A选项为组合问题；
B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，
例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队5队，故B选项为组合问题；
C选项中如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；
如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合；
D选项与C选项类似，故D选项为排列问题.
故选：AB.
【变式1-2】（2024·山西晋中·高二校考期末）下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】D
【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，
故选：D
【方法技巧与总结】
排列、组合辨析切入点
（1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可．
（2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
（3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
题型二：简单的组合问题
【典例2-1】（2024·高二课时练习）甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）.
(1)写出每场比赛的两支球队；
(2)写出冠亚军的所有可能情况.
【解析】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合：
{甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}.
（2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式
（符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）：
（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、
（乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）.
【典例2-2】（2024·高二课时练习）从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
【解析】
先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
【变式2-1】（2024·高二课时练习）写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合．
【解析】可按顺序写出，
所以所有组合为.
【变式2-2】（2024·甘肃天水·高二校考阶段练习）在A、B、C、D四位候选人中，
(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(2)如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．
【解析】（1）选举种数 (种)，所有可能的选举结果：
AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC.
（2）选举种数 (种)，所有可能的选举结果：
ABC、ABD、ACD、BCD.
【方法技巧与总结】
利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．
题型三：组合数公式的应用
【典例3-1】（2024·全国·高二随堂练习）求证：．
【解析】由组合数公式可知，
等式成立.
【典例3-2】（2024·高二课时练习）已知m是自然数，n是正整数，且．求证：
(1)；
(2)．
【解析】（1）根据组合数公式，可以得到．
（2）根据组合数公式，可以得到
．
【变式3-1】（2024·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【解析】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程变形为，即，显然，
因此，
化简整理，得，而，解得，
所以.
【变式3-2】（2024·河南焦作·高二统考期末）已知为正整数，且，则 .
【答案】5
【解析】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得.
故答案为：.
【变式3-3】（2024·江西·高二校联考期末）方程（且）的解为 ．
【答案】2或4
【解析】由题意，可知，则，所以或.
故答案为：2或4.
【变式3-4】（2024·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）计算：
【答案】9
【解析】.
故答案为：9
【方法技巧与总结】
（1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明．
（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且．
题型四：组合数的性质
【典例4-1】（2024·高二课时练习）求满足等式的所有正整数k．
【解析】因为，
所以或，解得或，
所以满足等式的值为.
【典例4-2】（2024·辽宁大连·高二校联考期末）若，则（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．2或4
【答案】A
【解析】由组合数的性质可得，解得，
又，所以或，
解得或（舍去）.
故选：A.
【变式4-1】（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由组合数性质知，，
所以，
所以，得.
故选：A.
【变式4-2】（2024·辽宁·高二校联考期末）（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
【变式4-3】（2024·甘肃白银·高二统考开学考试）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【答案】D
【解析】因为，
所以．
故选：D
【方法技巧与总结】
计算时应注意利用组合数的两个性质：
；②．
题型五：多面手问题
【典例5-1】（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
【典例5-2】（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______
【答案】92
【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、，
①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种；
②若和两人只去一人参加比赛，
(i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；
(ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；
③若和两人均去参加比赛，
(i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种；
(ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，
则选派方法为种；
(iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种，
综上所述，不同的选派方法共有种.
故答案为：92.
【变式5-1】（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．
第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．
所以共有3+18+16=37种选法．
【方法技巧与总结】
有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
题型六：分组、分配问题
【典例6-1】（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知5位教师到4所学校支教，每所学校至少份配1位教师，每位教师只能去一所学校，则分配方案有 种.
【答案】
【解析】由题意可知，5位教师的分组情况为2，1,1,1的分组，再分配到4所学校，
所以分配方案有.
故答案为：240
【典例6-2】（2024·辽宁大连·高二校联考期末）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种．
【答案】84
【解析】去生物且生物只去一人：种，
去生物且生物只去两人：种，
去影视且生物只去一人：种，
去影视且生物只去两人：种，
一共种，
故答案为：84
【变式6-1】（2024·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）10个人分成甲 乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为 .（用数字作答）
【答案】210
【解析】从10个人中选出4人为甲组，则剩下的人即为乙组，共有种分法.
故答案为：210.
【变式6-2】（2024·全国·高二假期作业）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答）
【答案】
【解析】若一个盒子中放个球，另一个盒子中放个球有种放法，
若两个盒子中均放个球，则有种放法，
综上可得一共有种放法.
故答案为：
【变式6-3】（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检 引导运动员入场 赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案 .（用数字作答）
【答案】
【解析】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，
则分组方式为或或；
第一步先分组，分组方式共有种；
第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案；
第三步根据分步乘法原理总计种按排方案.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
“分组”与“分配”问题的解法
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
题型七：与几何有关的组合应用题
【典例7-1】（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
【答案】8
【解析】根据题意，如图：
在A、B、C、D、O中，任取3个点，有种取法，
其中不能构成三角形的有AOC和BOD两种取法，
则以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有个．
故答案为：8．
【典例7-2】（2024·高二课时练习）在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答）
【答案】56
【解析】求不同的取法种数可分为三类：
第一类，从四棱锥的每个侧面上除点P外的5点中任取3点，有4种取法；
第二类，从每个对角面上除点P外的4点中任取3点，有2种取法；
第三类，过点P的侧棱中，每一条上的三点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4种取法，
所以满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.
故答案为：56
【变式7-1】（2024·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期末）以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是 ．
【答案】6
【解析】由题意可得：四棱锥的顶点为三棱柱的顶点，底面为三棱柱的侧面且与该顶点不共面，
所以四棱锥的个数是.
故答案为：6.
【变式7-2】（2024·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考期末）在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 .
【答案】69
【解析】从9个点中任取3个的全部组合数为，
三角形三个边上三点共线的组合数为，
所以能构成三角形的个数为.
故答案为：.
【变式7-3】（2024·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）从四棱锥的5个顶点中任选4个，以这4个点为顶点，可以组成 个四面体．
【答案】4
【解析】从四棱锥的5个顶点中选出的4个不同的点，有＝5种取法，
其中从底面四边形的四个顶点不能组成四面体，
故取出的四点能组成四面体的个数为5－1＝4．
故答案为：4
【变式7-4】（2024·高二课时练习）一空间有10个点，其中5个点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是 ．
【答案】111
【解析】不共线的三点可以确定一个平面，所以10个点最多可以确定个平面，
而那5个共面的点，则可以确定个平面，而没有其他4点共面的，所以减少了个平面，所以一共可以确定的平面数为111.
故答案为：111
【方法技巧与总结】
（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
（2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．
题型八：隔板法
【典例8-1】（2024·北京·高二北京市第十二中学校考期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
【答案】
【解析】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
【典例8-2】（2024·高二单元测试）“隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型，多应用于“实际分配问题”.例如:8个完全相同的球全部放到3个不同的盒子中，每个盒子至少一个，有多少种不同的分配方法.在解决本题时，我们可以将8个球排成一行，8个球出现了7个空档，再用两块隔板把8个球分成3份即可，故有种分配方法.请试写出一道利用“隔板法”解决的题目: （答案不唯一，合理即可）.
【答案】将m个人，分成n组，每组至少1人的分配方法数（答案不唯一）
【解析】将m个人，分成n组，每组至少1人，只需用个隔板插入到m个人所成排的个空中，求分配方法数.
故答案为：将m个人，分成n组，每组至少1人的分配方法数（答案不唯一）
【变式8-1】（2024·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期末）用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位 十位 百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有 个．
【答案】
【解析】设对应个位到百位上的数字，则且，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图，
这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为，第二组数的和作为，第三组数的和作为，
故共种，
故答案为：45．
【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，
只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
【变式8-3】（2024·全国·高二专题练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是 .
【答案】10
【解析】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法.
故答案为：.
【变式8-4】（2024·重庆·高二校联考阶段练习）若方程：，则方程的正整数解的个数为 .
【答案】35
【解析】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，
采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，
故共有种.
故答案为：35.
【变式8-5】（2024·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于的三元一次方程，且，则该方程有 组正整数解.
【答案】
【解析】方程，且的正整数解的组数等价于
将个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数
则所求的正整数解的组数有
故答案为：．
题型九：分堆问题
【典例9-1】（2024·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期末）将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有 种．
【答案】25
【解析】由题知，共有两种分法：这种分法数为种；这种分法数为种，所以，共有25种．
故答案为：
【典例9-2】（2024·全国·高二专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有 种不同的分堆方法.
【答案】15
【解析】6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
故答案为:.
【变式9-1】（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期末）已知有9本不同的书．
(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为；
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为．
【变式9-2】（2024·全国·高二专题练习）已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】（1）6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
【变式9-3】（2024·高二课时练习）有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；
(2)一人分4本，另两人各分1本.
【解析】（1）依题意分书可分为以下三步：
第一步：先从6本里面选一本给甲，有种分法；
第二步：再从剩下的5本里面选两本给乙，有种分法；
第三步：将剩下的三本给丙，有种分法.
由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种.
（2）依题意分书可分为以下两大步：
第一步：先从6本里面选4本，再从3人里面选1人将刚刚选取的4本分给他，由分步乘法计数原理可知有种分法；
第二步：先从剩下的两本中选一本给剩下两人中的其中一人，最终将最后一本给剩下一人,由分步乘法计数原理可知有种分法.
因此由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种.
一、单选题
1．（2024·江苏常州·高二统考期末）（ ）
A．63 B．10 C．21 D．0
【答案】C
【解析】由题意得，故C正确.
故选：C.
2．（2024·江西上饶·高二统考期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生
则不同的分配方法种数为种.
故选：B.
3．（2024·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（ ）
A．18 B．21 C．23 D．72
【答案】A
【解析】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成：
① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法；
② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.
由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为.
故选：A.
4．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（ ）
A．360种 B．120种 C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】由题意安排方法共有．
故选：C．
5．（2024·江西九江·高二统考期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（ ）
A．36 B．24 C．64 D．81
【答案】A
【解析】由题意可知必有2名同学去同一个小区，
故不同的安排方法种数是（种）.
故选：A
6．（2024·江苏南通·高二统考期末）某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为（ ）
A．12 B．30 C．34 D．60
【答案】B
【解析】由题意共分两种情况：①高一年级选1人，高二年级选2人，共有种选法；
②高一年级选2人，高二年级选1人,共有种选法；
由分类计数原理可得共有种选法.
故选：B
7．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图为某地街道路线图，甲从街道的处出发，先到达处与乙会和，再一起去到处，则可以选择的最短路径条数为（ ）
A．20 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【解析】计算最短路径条数需要两步，从到的最短路径条数为，从到的最短路径条数为，
所以可以选择的最短路径条数为.
故选：B
8．（2024·河南·高二校联考期末）将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.
有1人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有种选法，
再选2人去乙班，有种选法，剩下2人去丙班，有种方法，
这是分3步完成的，故有种方案；
有2人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有种选法，
再剩余3人分配到2个班的分法有种方法，
所以这类办法有种.
故不同的分配方案有:.
故选：D
二、多选题
9．（2024·江西·高二江西省安义中学校联考期末）若，则的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【答案】AC
【解析】由组合数性质知，或，所以，或，
都满足且．
故选：AC．
10．（2024·四川·高二校联考阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六 周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ）
A．只有1人未参加服务的选择种数是30种
B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种
C．只有1人未参加服务的选择种数是60种
D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种
【答案】AD
【解析】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法，
再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法，
故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误；
恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六 周天两天，有种选法，
再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法，
故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，
故选：AD
11．（2024·福建漳州·高二统考期末）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
【答案】AB
【解析】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确.
B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法；
按去，展馆参展有种方法；
因此不同的安排方法种数是，正确.
C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误.
D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，
若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，
则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误.
故选：AB
三、填空题
12．（2024·河南·高二校联考专题练习）某道路亮起一排13盏路灯，为节约用电且不影响照明，现需要熄灭其中的3盏.若两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，那么所有不同熄灯方法的种数是 .（用数字作答）.
【答案】84
【解析】两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，相当于在10盏亮光灯的9个空隙中安置熄灭的灯，那么所有不同熄灯方法的种数是.
故答案：84.
13．（2024·北京海淀·高二清华附中校考期末）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有 个．
【答案】72
【解析】根据题意，完成这个事情可分为三步：
第一步骤：选数字，有种；
第二个步骤：将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种，
第三个步骤：安排这三个数字在四个位置上，且相邻数位上的数字不相同，
即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字去插空，则有种排序方法，
根据分步计数原理可得这样的四位数共有：个.
故答案：
14．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 ．
【答案】22
【解析】依据题意，办法有类，若6个数字中有个0，故有种，若6个数字中有个0，故有种，
若6个数字中有个0，故有种，由分类加法计数原理得共有种.
故选：22
四、解答题
15．（2024·河南·高二校联考专题练习）现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
(1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
【解析】（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
16．（2024·北京西城·高二统考期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济 文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？
【解析】（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，
选择方法数为种.
（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种，
故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济 文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种.
17．（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？
(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？
【解析】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案.
（2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板，
则分成7组，故分配方案共有种.
18．（2024·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）（1）求值：．
（2）己知，求x．
【解析】（1）因为，
（2）由，得到或，解得或，
经验证，符合题意，所以或.
19．（2024·上海·高二校考期末）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
【解析】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.
（2）学生乙最终获得分，有两种情况：
①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.
②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.
所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.7．3组合
课程标准 学习目标
（1）能通过实例，用自己的语言解释组合的定义；能用定义判断是不是组合问题，发展数学抽象素养． （2）能从组合的定义出发，利用排列与组合的关系推导组合数公式，并能用组合数公式解决有关计数问题． （3）能综合应用组合的概念和公式解决简单的实际问题． （1）了解组合及组合数的概念. （2）能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
知识点01 组合
1、定义：
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
知识点诠释：
（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．
【即学即练1】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
知识点02 组合数及其公式
1、组合数的定义：
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
知识点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
2、组合数公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知识点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
【即学即练2】（2024·山东潍坊·高二统考期末）（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
知识点03 组合数的性质
性质1：（，且）
性质2：（，且）
知识点诠释：
规定：．
【即学即练3】（2024·福建宁德·高二统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点04 组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
②分堆但不平均，其分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
（5）相同元素分组问题用“隔板法”
【即学即练4】（2024·江西萍乡·高二统考期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答）
题型一：组合概念的理解
【典例1-1】（多选题）（2024·高二单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
【典例1-2】（多选题）（2024·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【变式1-1】（多选题）（2024·高二课前预习）给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
【变式1-2】（2024·山西晋中·高二校考期末）下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【方法技巧与总结】
排列、组合辨析切入点
（1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可．
（2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
（3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
题型二：简单的组合问题
【典例2-1】（2024·高二课时练习）甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）.
(1)写出每场比赛的两支球队；
(2)写出冠亚军的所有可能情况.
【典例2-2】（2024·高二课时练习）从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
【变式2-1】（2024·高二课时练习）写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合．
【变式2-2】（2024·甘肃天水·高二校考阶段练习）在A、B、C、D四位候选人中，
(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(2)如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．
【方法技巧与总结】
利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．
题型三：组合数公式的应用
【典例3-1】（2024·全国·高二随堂练习）求证：．
【典例3-2】（2024·高二课时练习）已知m是自然数，n是正整数，且．求证：
(1)；
(2)．
【变式3-1】（2024·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【变式3-2】（2024·河南焦作·高二统考期末）已知为正整数，且，则 .
【变式3-3】（2024·江西·高二校联考期末）方程（且）的解为 ．
【变式3-4】（2024·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）计算：
【方法技巧与总结】
（1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明．
（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且．
题型四：组合数的性质
【典例4-1】（2024·高二课时练习）求满足等式的所有正整数k．
【典例4-2】（2024·辽宁大连·高二校联考期末）若，则（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．2或4
【变式4-1】（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·辽宁·高二校联考期末）（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
【变式4-3】（2024·甘肃白银·高二统考开学考试）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【方法技巧与总结】
计算时应注意利用组合数的两个性质：
；②．
题型五：多面手问题
【典例5-1】（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【典例5-2】（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______
【变式5-1】（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【方法技巧与总结】
有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
题型六：分组、分配问题
【典例6-1】（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知5位教师到4所学校支教，每所学校至少份配1位教师，每位教师只能去一所学校，则分配方案有 种.
【典例6-2】（2024·辽宁大连·高二校联考期末）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种．
【变式6-1】（2024·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）10个人分成甲 乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为 .（用数字作答）
【变式6-2】（2024·全国·高二假期作业）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答）
【变式6-3】（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检 引导运动员入场 赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案 .（用数字作答）
【方法技巧与总结】
“分组”与“分配”问题的解法
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
题型七：与几何有关的组合应用题
【典例7-1】（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
【典例7-2】（2024·高二课时练习）在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答）
【变式7-1】（2024·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期末）以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是 ．
【变式7-2】（2024·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考期末）在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 .
【变式7-3】（2024·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）从四棱锥的5个顶点中任选4个，以这4个点为顶点，可以组成 个四面体．
【变式7-4】（2024·高二课时练习）一空间有10个点，其中5个点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是 ．
【方法技巧与总结】
（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
（2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．
题型八：隔板法
【典例8-1】（2024·北京·高二北京市第十二中学校考期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
【典例8-2】（2024·高二单元测试）“隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型，多应用于“实际分配问题”.例如:8个完全相同的球全部放到3个不同的盒子中，每个盒子至少一个，有多少种不同的分配方法.在解决本题时，我们可以将8个球排成一行，8个球出现了7个空档，再用两块隔板把8个球分成3份即可，故有种分配方法.请试写出一道利用“隔板法”解决的题目: （答案不唯一，合理即可）.
【变式8-1】（2024·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期末）用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位 十位 百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有 个．
【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）．
【变式8-3】（2024·全国·高二专题练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是 .
【变式8-4】（2024·重庆·高二校联考阶段练习）若方程：，则方程的正整数解的个数为 .
【变式8-5】（2024·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于的三元一次方程，且，则该方程有 组正整数解.
题型九：分堆问题
【典例9-1】（2024·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期末）将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有 种．
【典例9-2】（2024·全国·高二专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有 种不同的分堆方法.
【变式9-1】（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期末）已知有9本不同的书．
(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
【变式9-2】（2024·全国·高二专题练习）已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【变式9-3】（2024·高二课时练习）有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；
(2)一人分4本，另两人各分1本.
一、单选题
1．（2024·江苏常州·高二统考期末）（ ）
A．63 B．10 C．21 D．0
2．（2024·江西上饶·高二统考期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（ ）
A．18 B．21 C．23 D．72
4．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（ ）
A．360种 B．120种 C．60种 D．30种
5．（2024·江西九江·高二统考期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（ ）
A．36 B．24 C．64 D．81
6．（2024·江苏南通·高二统考期末）某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为（ ）
A．12 B．30 C．34 D．60
7．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图为某地街道路线图，甲从街道的处出发，先到达处与乙会和，再一起去到处，则可以选择的最短路径条数为（ ）
A．20 B．18 C．12 D．9
8．（2024·河南·高二校联考期末）将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
二、多选题
9．（2024·江西·高二江西省安义中学校联考期末）若，则的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
10．（2024·四川·高二校联考阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六 周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ）
A．只有1人未参加服务的选择种数是30种
B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种
C．只有1人未参加服务的选择种数是60种
D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种
11．（2024·福建漳州·高二统考期末）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
三、填空题
12．（2024·河南·高二校联考专题练习）某道路亮起一排13盏路灯，为节约用电且不影响照明，现需要熄灭其中的3盏.若两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，那么所有不同熄灯方法的种数是 .（用数字作答）.
13．（2024·北京海淀·高二清华附中校考期末）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有 个．
14．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 ．
四、解答题
15．（2024·河南·高二校联考专题练习）现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
(1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
16．（2024·北京西城·高二统考期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济 文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？
17．（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？
(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？
18．（2024·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）（1）求值：．
（2）己知，求x．
19．（2024·上海·高二校考期末）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
