7．4 二项式定理
课程标准 学习目标
（1）能利用多项式运算法则，建立二项式展开式中项的系数与组合数公式之间的联系，发现二项式定理，并能用计数原理进行解释． （2）能通过分析二项展开式的结构特征发现通项公式，并能用于解决相关问题． （3）能通过分析二项展开式的结构特征发现二项式系数的性质，能列出“杨辉三角形”，联系函数知识发现二项式系数的一些规律，并能用二项式系数的性质解决简单问题． （1）理解二项式定理的相关概念. （2）掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. （3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点01 二项式定理
1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
2、二项式的展开式的特点：
（1）项数：共有项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
【即学即练1】写出的展开式．
【解析】在二项式定理中令，可得
．
知识点02 二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
（2）字母的次数和组合数的上标相同；
【即学即练2】（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中的常数项为 .
【答案】40
【解析】依题意，的展开式的通项为，令可得.
故常数项为.
故答案为：40
知识点03 二顶式系数及其性质
1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
（3）各二项式系数之和为，即；
（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．
知识点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
2、展开式中的系数求法的整数且
知识点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
【即学即练3】（2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展开式中，的系数是 .
【答案】9
【解析】在的展开式中，含的项是6个因式中任取5个用，
余下一个因式用常数项相乘积的和，因此展开式中含的项是，
所以的系数是9.
故答案为：9
题型一：二项式定理的正用、逆用
【典例1-1】（2024·高二课时练习）（1）求的展开式；
（2）化简．
【解析】（1）
.
（2）原式
.
【典例1-2】（2024·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）
.
（2）
.
【变式1-1】（2024·高二课时练习）求的展开式．
【解析】根据二项式定理得
【变式1-2】（2024·高二课时练习）求的展开式．
【解析】
.
【方法技巧与总结】
（1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
（2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
题型二：二项式系数与项的系数
【典例2-1】（2024·江苏·高二假期作业）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】91
【解析】由题意得：．令，解得，
则项的系数为.
故答案为：.
【典例2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考期末）展开式中常数项为 .（用数字作答）
【答案】54
【解析】展开式的通项为，
令，得，所以展开始得常数项为.
故答案为：.
【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【解析】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；
情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.
综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
【变式2-2】（2024·江苏镇江·高二统考期末）在展开式中，项的系数为 .
【答案】
【解析】由题意，多项式，
根据组合数的运算，展开式中的系数为，
又由.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
（1）二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念．
（2）第项的亲数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为．
题型三：展开式中的特定项
【典例3-1】（2024·河南驻马店·高二统考期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ．
【答案】
【解析】由，所以二项展开式的通项公式，，，
令，可得展开式的第六项为.
故答案为：.
【典例3-2】（2024·山西朔州·高二校考阶段练习）已知二项式的展开式中，后三项的二项式系数之和为37，展开式中的第四项为 .
【答案】
【解析】二项式的通项公式为，
因为后三项的二项式系数之和为37，
所以有，或舍去，
展开式中的第四项为，
故答案为：
【变式3-1】（2024·北京石景山·高二统考期末）二项式的展开式中存在常数项，则可以为 ．（只需写出一个符合条件的值即可）
【答案】（答案不唯一，为的倍数的正整数均可）
【解析】，，
令，得，因为为整数，为正整数，所以为偶数，为的倍数的正整数.
故答案为：（答案不唯一，为的倍数的正整数均可）.
【变式3-2】（2024·全国·高二开学考试）写出展开式中的一个有理项为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】展开式的通项公式为
（），
所以展开式中的有理项分别为：时，；
时，；时，；
时，.
故答案为：（四个有理项任写其一均可）.
【变式3-3】（2024·高二单元测试）展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则展开式中的第7项为 ．
【答案】/
【解析】第7项：，
倒数第7项：，
由，
得,
故.
故答案为：
【方法技巧与总结】
求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）．
（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
题型四：求两个多项式积的特定项
【典例4-1】（2024·全国·高二校联考开学考试）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．60 C． D．80
【答案】C
【解析】展开式的通项为，
∴原式的展开式中含的项为，
∴的系数为．
故选：C．
【典例4-2】（2024·江苏·高二假期作业）在展开式中的系数为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】显然，
则展开式第项，
当时，，当时，，
所以展开式中含的项为，即展开式中的系数为0.
故选：B
【变式4-1】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的展开式中通项是，，
则，
要求展开式中的系数，只需，
故展开式中的系数是.
故选：A.
【变式4-2】（2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末）已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开式中各项系数之和为，
所以令，可得，解得，
，
的展开式的通项为，
当在项中取时，项中需取，不符合条件；
当在项中取时，项中需取，则，即，此时的系数为；
当在项中取时，项中需取，则，即，此时的系数为，
综上，展开式中的系数为.
故选：B.
【变式4-3】（2024·甘肃白银·高二校考期末）的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B．5 C．15 D．35
【答案】D
【解析】二项式的展开式中的通项，
则含的项的系数为.
故选：D
【变式4-4】（2024·全国·高二假期作业）的展开式中的常数项为（ ）
A．120 B．80 C．60 D．40
【答案】A
【解析】的展开式的通项公式为，
而，
对于，令，易知无整数解，所以其展开式中无常数项；
对于，由，解得，常数项为；
对于，令，解得，常数项为．
故的展开式中的常数项为.
故选：A．
【方法技巧与总结】
求多项式积的特定项的方法：“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况．
题型五：系数的最值问题
【典例5-1】（2024·河北张家口·高二统考期末）在的展开式中，系数最大的项的系数为 （用数字作答）.
【答案】20
【解析】∵的展开式的通项为，
设第项的系数最大，则，
根据公式，解得，又，
∴，
∴展开式中系数最大的项为，
即展开式中系数最大的项的系数为20，
方法二：比较的大小，选择最大值即可；
故答案为：20；
【典例5-2】（2024·湖北十堰·高二统考期末）的展开式中系数最大的项是第 项.
【答案】10
【解析】展开式的通项为，
由
得，因为，所以，
故系数最大的项是第10项.
故答案为：10
【变式5-1】（2024·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）的二项展开式中系数最大的项为 .
【答案】
【解析】由二项式的展开式的通项为，
设系数最大的项为第项，可得，
即，即，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项为.
故答案为：.
【变式5-2】（2024·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46， ；展开式中系数最大的项 ．
【答案】 9
【解析】由题意得：，解得：或，
因为，
所以（舍去），从而，
因为二项式的展开式通项为：，
所以系数为，要求其最大值，
所以只要满足，即，
解得：，
因为，
所以，
所以系数最大项为
故答案为：9；
【变式5-3】（2024·北京·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为 .
【答案】
【解析】二项式的展开式的通项是，则第3项的系数为，
第6项的系数为，则，则；展开式中各项的系数为，
由二项式系数的性质知的值最大，则展开式中各项的系数中最小，则系数最小的项为.
故答案为：.
【变式5-4】（2024·全国·高二专题练习）二项式的展开式中各项系数的和为-1，则该展开式中系数最大的项为
【答案】
【解析】因为展开式中各项系数的和为，
由题得
二项式的展开式的通项为，
当时，系数为负，时，系数分别为：，
所以当时，其展开式中系数最大，且为
故答案为：
【方法技巧与总结】
求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项．
题型六：余数和整除的问题
【典例6-1】（2024·河南郑州·高二校联考期末）除以所得的余数是 .
【答案】22
【解析】法一：由，前9项可以被整除，
而，故余数为.
法二：由，
而，故余数为.
故答案为：
【典例6-2】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】，
要使能被17整除，则能被17整除即可，
则，故可取，
故答案为：
【变式6-1】（2024·广东广州·高二校考期末）设，且，若能被13整除，则 .
【答案】
【解析】依题意，，
显然是13的整数倍，则要使能被整除，
当且仅当能被整除，而，，则，解得，
所以.
故答案为：
【变式6-2】（2024·全国·高二专题练习）若多项式能被整除，则 ．
【答案】2
【解析】，
又因为多项式能被整除，
，，
故答案为：2．
【变式6-3】（2024·辽宁朝阳·高二校联考期末）被除的余数是 .
【答案】
【解析】
.
所以被除的余数是.
故答案为：
【方法技巧与总结】
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
题型七：证明不等式或求近似值
【典例7-1】（2024·高二课时练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
【答案】1.105
【解析】
.
故答案为：1.105
【典例7-2】（2024·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是 ．
【答案】0.96
【解析】因为，
且将精确到0.01，故近似值为0.96
故答案为：0.96
【变式7-1】（2024·江西九江·高二统考期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克 牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数）
【答案】3.07
【解析】.
故答案为：3.07
【变式7-2】（2024·高二课时练习）已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)求和：，；
(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
【解析】（1），
；
（2）归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
，n为正整数．
证明：
＝
.
【变式7-3】（2024·辽宁·高二校联考期末）已知.
(1)当，时，求中含项的系数；
(2)用、表示，写出推理过程．
【解析】（1）当，时，，
的展开式通项为，
此时，函数中含项的系数之和为.
（2）因为，①
则，②
①②得
，
所以，，
而为中含项的系数，
而函数中含项的系数也可视为中含项的系数，
故，
且，
故.
【方法技巧与总结】
的近似计算的处理方法
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式等．
题型八：二项展开式的系数和问题
【典例8-1】（多选题）（2024·辽宁本溪·高二校考期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意，当，，当时，，A正确；
当时，，
所以，，B，C错误；
，
当时，，
所以，D正确.
故选：AD．
【典例8-2】（多选题）（2024·江苏扬州·高二统考期末）的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）
A．第项的二项式系数最大 B．所有奇数项二项式系数的和为
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意，可得，所以，
对于A中，根据二项式定理的性质，可得中间项第项的二项式系数最大，所以A正确；
对于B中，根据二项式系数的性质，可得所有奇数项二项式系数的和为，所以B错误；
对于C中，对于C中，令，可得，
令，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，
可得，
即，
令，可得，所以D错误.
故选：AC.
【变式8-1】（多选题）（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第项 D．
【答案】ABD
【解析】对于A令得 ，故A正确 ；
对于B,令得，
而由A知：，因此，故B正确 ；
对于C，因为的展开式中二项式系数最大为，为第项，故C不正确 ；
对于D,因为的展开式中，，
所以，，，
因此，，所以，故D正确，
故选:ABD
【变式8-2】（多选题）（2024·河北秦皇岛·高二统考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，则，选项A错误；
令，则，则，选项B正确；
令，则，则，
则，，
从而，选项CD正确；
故选：BCD.
【变式8-3】（多选题）（2024·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知，下列命题中，正确的有（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为 D．
【答案】ABC
【解析】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，，故B正确；
对于C，令，则，
两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
所以，故D错误．
故选：ABC．
【变式8-4】（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设.
(1)求的值.
(2)求.
【解析】（1），
令，得，因此
令，得，
.
因此
（2）的展开式中偶数项的系数为负值，
令，得.
故
【方法技巧与总结】
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可．
（2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为．
题型九：二项式系数性质的应用
【典例9-1】（2024·天津西青·高二统考期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ）
①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误；
令，各项系数之和为，②正确；
二项式系数最大项为第四项，③正确；
，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确.
故选：B.
【典例9-2】（2024·福建三明·高二校联考期末）在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（ ）
A．180 B．165 C．120 D．55
【答案】B
【解析】在的展开式中，若二项式系数最大值为,
由于，
.
故选:B.
【变式9-1】（2024·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期末）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的第三项为（ ）
A．180 B．-180
C．180 D．-180
【答案】A
【解析】因的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则，
所以展开式的第三项为.
故选：A
【变式9-2】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选：A.
【变式9-3】（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以，
则展开式的通项为（且），
令，解得，
所以，即展开式中常数项为.
故选：D
【变式9-4】（2024·山东淄博·高二统考期末）已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】C
【解析】二项式展开式的系数即为其二项式系数，
所以第三项的系数为，第四项的系数为，
所以，即，解得，
所以展开式一共有项，其第项的二项式系数最大.
故选：C
【方法技巧与总结】
（1）二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的进行讨论．
①当为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
②当为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
（2）展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数的最大项．
题型十：三项式及多项式展开问题
【典例10-1】（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中的系数为（ ）
A．208 B． C．217 D．
【答案】B
【解析】根据二项式定理可得，
的展开式中，含的项为.
所以，的展开式中的系数为.
故选：B.
【典例10-2】（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．70 D．72
【答案】C
【解析】方法一：展开式中，
第项，
所以常数项为，
方法二：展开式中，
第项，
当时，展开式中常数项为；
当时，展开式中常数项为；
当时，，
所以的展开式中，常数项为70，
故选：C．
【变式10-1】（2024·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．299 B．300
C． D．
【答案】C
【解析】的展开式中，项是从5个多项式中任取1个用，
再余下4个多项式中任取1个用，最后3个多项式都用1相乘的积，
即，所以项的系数为.
故选：C
【变式10-2】（2024·高二课时练习）在的展开式中，的系数是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
【答案】D
【解析】根据题意，的项为，
所以的系数是.
故选：D．
【变式10-3】（2024·高二单元测试）的展开式中的常数项为（ ）
A．588 B．589 C．798 D．799
【答案】B
【解析】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式中各取一个相乘而得，
若得到常数项，则有：①8个1；②2个，1个，5个1；③4个，2个，2个1；
所以展开式中的常数项为.
故选：B.
【方法技巧与总结】
通项法
题型十一：杨辉三角问题
【典例11-1】（2024·山东德州·高二统考期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．当时，中间一项为
C．第6行第5个数是
D．
【答案】C
【解析】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值，
为奇数，故A错误；
对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数，
即，B错误；
对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确；
对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，
故，D错误，
故选：C
【典例11-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（ ）
A．114 B．116 C．124 D．126
【答案】A
【解析】根据题意可知构成的新数列的前15项分别为杨辉三角的第三层到第七层除去1之外的所有数构成的，
除第一行有一个1以外，其余每行都有两个1，
又第行的所有数字之和为，
所以构成的新数列前15项之和为.
故选：A
【变式11-1】（2024·江西·高二校联考期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
,
由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为
,
故选：B．
【变式11-2】（2024·辽宁大连·高二瓦房店市高级中学校考期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
A．21 B．28 C．36 D．56
【答案】B
【解析】根据杨辉三角的规律可知第行的第个数为，
则第8行，第3个数是，
故选：B.
【变式11-3】（2024·江苏·高二假期作业）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（ ）
A．252 B．426 C．462 D．924
【答案】C
【解析】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项，
根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项，
则即第11行的第项，
结合二项展开式的二项式系数的性质，可得.
故选：C.
【方法技巧与总结】
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展开式的通项为，
则的展开式中含项为，
即的系数为.
故选：A.
2．（2024·陕西·校联考一模）的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．25 C．45 D．15
【答案】D
【解析】因为的展开式通项为，
所以的展开式中含的项为．
即展开式中的系数为.
故选：D.
3．（2024·浙江·校联考一模）展开式中含项的系数为（ ）
A．30 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】由题意得，展开式中含的项为，
所以展开式中含项的系数为.
故选：B
4．（2024·河南·高二校联考专题练习）的值为（ ）
A．1016 B．986 C．1326 D．1566
【答案】A
【解析】法一：因为，
所以
；
法二：
，
，
，
，
.
故选：A.
5．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知的展开式中的常数项为0，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】二项式的通项公式为，
当时，解得，当时，解得，
所以展开式中的常数项为：，
解得.
故选：C．
6．（2024·新疆喀什·高二统考期中）已知的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由二项展开式的形式可知，每一项的系数和二项式系数相等，
所以第6项的二项式系数是，所以，得.
故选：B.
7．（2024·全国·高三校联考专题练习）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的展开式通项为，
令，得，的系数为.
故选：D.
8．（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】展开式中的第项为，
所以前三项的系数依次为，
依题意，有，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·福建宁德·高二统考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
【答案】AB
【解析】设.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C错；
对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.
故选：AB.
10．（2024·江西九江·高二统考期末）在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A．不含常数项 B．二项式系数之和为32
C．系数最大项是 D．各项系数之和为
【答案】ABC
【解析】对于A：的展开式的通项为
.
令，得（不符题意），A正确；
对于B：二项式系数之和，B正确；
对于C：系数为正依次是，故系数最大项是，C正确；
对于D：令，得各项系数之和为，D错误.
故选：ABC.
11．（2024·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，
对于选项A：令，可得，故A正确；
对于选项BC：令，可得，
所以，，故B正确，C错误；
对于选项D：令，可得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）设，则 ．
【答案】
【解析】由，
令，得，
令，得，
所以.
故答案为：
13．（2024·江苏常州·高二统考期末）的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．
【答案】
【解析】二项式展开式的通项公式为，
所以各项系数的绝对值之和为.
故答案为：
14．（2024·全国·高三校联考开学考试）的展开式中，项系数为 ．
【答案】
【解析】由，
由展开式通项为，
令，解得，
则项为，则项系数为．
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·广东深圳·高二校考期末）已知，其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
(1)求值及二项式系数最大项；
(2)求的值（用数值作答）.
【解析】（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，
即仅有最大，所以，故.
即，二项式系数最大项为第5项：；
（2）令，得，
令，得.
两式相加可得.
16．（2024·福建漳州·高二统考期末）已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求的值．
【解析】（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴解得．
17．（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有偶数项系数之和；
(4)系数绝对值之和.
【解析】（1）设
二项式系数之和为
（2）设，
则各项系数之和为，
令得
（3）由（2）知令可得:
将两式相减,可得:，
故所有偶数项系数之和为.
（4）方法一:
令则
方法二:即为 展开式中各项系数和，
令得
故系数绝对值之和为.
18．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是．
(1)求实数a的值；
(2)求的值（结果可保留幂的形式）．
【解析】（1）（1）二项式的展开式中含的项为，
∴，
则，
又，解得．
（2）由（1）可得，
令，则①，
令，则②，
∴由① ＋② 可得：；
由① －② 可得：．
∴.
19．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知．
(1)求的最大值；
(2)求被13除的余数．
【解析】（1）因为，
所以，．
所以，，．
令，则，所以的最大值为1792．
（2）因为．
所以被除的余数，即为被除的余数为．7．4 二项式定理
课程标准 学习目标
（1）能利用多项式运算法则，建立二项式展开式中项的系数与组合数公式之间的联系，发现二项式定理，并能用计数原理进行解释． （2）能通过分析二项展开式的结构特征发现通项公式，并能用于解决相关问题． （3）能通过分析二项展开式的结构特征发现二项式系数的性质，能列出“杨辉三角形”，联系函数知识发现二项式系数的一些规律，并能用二项式系数的性质解决简单问题． （1）理解二项式定理的相关概念. （2）掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. （3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点01 二项式定理
1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
2、二项式的展开式的特点：
（1）项数：共有项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
【即学即练1】写出的展开式．
知识点02 二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
（2）字母的次数和组合数的上标相同；
【即学即练2】（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中的常数项为 .
知识点03 二顶式系数及其性质
1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
（3）各二项式系数之和为，即；
（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．
知识点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
2、展开式中的系数求法的整数且
知识点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
【即学即练3】（2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展开式中，的系数是 .
题型一：二项式定理的正用、逆用
【典例1-1】（2024·高二课时练习）（1）求的展开式；
（2）化简．
【典例1-2】（2024·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
【变式1-1】（2024·高二课时练习）求的展开式．
【变式1-2】（2024·高二课时练习）求的展开式．
【方法技巧与总结】
（1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
（2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
题型二：二项式系数与项的系数
【典例2-1】（2024·江苏·高二假期作业）在的展开式中，项的系数为 ．
【典例2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考期末）展开式中常数项为 .（用数字作答）
【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）的展开式中含项的系数为 .
【变式2-2】（2024·江苏镇江·高二统考期末）在展开式中，项的系数为 .
【方法技巧与总结】
（1）二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念．
（2）第项的亲数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为．
题型三：展开式中的特定项
【典例3-1】（2024·河南驻马店·高二统考期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ．
【典例3-2】（2024·山西朔州·高二校考阶段练习）已知二项式的展开式中，后三项的二项式系数之和为37，展开式中的第四项为 .
【变式3-1】（2024·北京石景山·高二统考期末）二项式的展开式中存在常数项，则可以为 ．（只需写出一个符合条件的值即可）
【变式3-2】（2024·全国·高二开学考试）写出展开式中的一个有理项为 .
【变式3-3】（2024·高二单元测试）展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则展开式中的第7项为 ．
【方法技巧与总结】
求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）．
（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
题型四：求两个多项式积的特定项
【典例4-1】（2024·全国·高二校联考开学考试）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．60 C． D．80
【典例4-2】（2024·江苏·高二假期作业）在展开式中的系数为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4-1】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末）已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·甘肃白银·高二校考期末）的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B．5 C．15 D．35
【变式4-4】（2024·全国·高二假期作业）的展开式中的常数项为（ ）
A．120 B．80 C．60 D．40
【方法技巧与总结】
求多项式积的特定项的方法：“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况．
题型五：系数的最值问题
【典例5-1】（2024·河北张家口·高二统考期末）在的展开式中，系数最大的项的系数为 （用数字作答）.
【典例5-2】（2024·湖北十堰·高二统考期末）的展开式中系数最大的项是第 项.
【变式5-1】（2024·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）的二项展开式中系数最大的项为 .
【变式5-2】（2024·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46， ；展开式中系数最大的项 ．
【变式5-3】（2024·北京·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为 .
【变式5-4】（2024·全国·高二专题练习）二项式的展开式中各项系数的和为-1，则该展开式中系数最大的项为
【方法技巧与总结】
求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项．
题型六：余数和整除的问题
【典例6-1】（2024·河南郑州·高二校联考期末）除以所得的余数是 .
【典例6-2】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
【变式6-1】（2024·广东广州·高二校考期末）设，且，若能被13整除，则 .
【变式6-2】（2024·全国·高二专题练习）若多项式能被整除，则 ．
【变式6-3】（2024·辽宁朝阳·高二校联考期末）被除的余数是 .
【方法技巧与总结】
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
题型七：证明不等式或求近似值
【典例7-1】（2024·高二课时练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
【典例7-2】（2024·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是 ．
【变式7-1】（2024·江西九江·高二统考期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克 牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数）
【变式7-2】（2024·高二课时练习）已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)求和：，；
(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
【变式7-3】（2024·辽宁·高二校联考期末）已知.
(1)当，时，求中含项的系数；
(2)用、表示，写出推理过程．
【方法技巧与总结】
的近似计算的处理方法
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式等．
题型八：二项展开式的系数和问题
【典例8-1】（多选题）（2024·辽宁本溪·高二校考期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】（多选题）（2024·江苏扬州·高二统考期末）的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）
A．第项的二项式系数最大 B．所有奇数项二项式系数的和为
C． D．
【变式8-1】（多选题）（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第项 D．
【变式8-2】（多选题）（2024·河北秦皇岛·高二统考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（多选题）（2024·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知，下列命题中，正确的有（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为 D．
【变式8-4】（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设.
(1)求的值.
(2)求.
【方法技巧与总结】
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可．
（2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为．
题型九：二项式系数性质的应用
【典例9-1】（2024·天津西青·高二统考期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ）
①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15
A．4 B．3 C．2 D．1
【典例9-2】（2024·福建三明·高二校联考期末）在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（ ）
A．180 B．165 C．120 D．55
【变式9-1】（2024·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期末）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的第三项为（ ）
A．180 B．-180
C．180 D．-180
【变式9-2】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-4】（2024·山东淄博·高二统考期末）已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【方法技巧与总结】
（1）二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的进行讨论．
①当为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
②当为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
（2）展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数的最大项．
题型十：三项式及多项式展开问题
【典例10-1】（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中的系数为（ ）
A．208 B． C．217 D．
【典例10-2】（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．70 D．72
【变式10-1】（2024·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．299 B．300
C． D．
【变式10-2】（2024·高二课时练习）在的展开式中，的系数是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
【变式10-3】（2024·高二单元测试）的展开式中的常数项为（ ）
A．588 B．589 C．798 D．799
【方法技巧与总结】
通项法
题型十一：杨辉三角问题
【典例11-1】（2024·山东德州·高二统考期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．当时，中间一项为
C．第6行第5个数是
D．
【典例11-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（ ）
A．114 B．116 C．124 D．126
【变式11-1】（2024·江西·高二校联考期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2024·辽宁大连·高二瓦房店市高级中学校考期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
A．21 B．28 C．36 D．56
【变式11-3】（2024·江苏·高二假期作业）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（ ）
A．252 B．426 C．462 D．924
【方法技巧与总结】
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西·校联考一模）的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．25 C．45 D．15
3．（2024·浙江·校联考一模）展开式中含项的系数为（ ）
A．30 B． C．10 D．
4．（2024·河南·高二校联考专题练习）的值为（ ）
A．1016 B．986 C．1326 D．1566
5．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知的展开式中的常数项为0，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．（2024·新疆喀什·高二统考期中）已知的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（2024·全国·高三校联考专题练习）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·福建宁德·高二统考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
10．（2024·江西九江·高二统考期末）在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A．不含常数项 B．二项式系数之和为32
C．系数最大项是 D．各项系数之和为
11．（2024·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）设，则 ．
13．（2024·江苏常州·高二统考期末）的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．
14．（2024·全国·高三校联考开学考试）的展开式中，项系数为 ．
四、解答题
15．（2024·广东深圳·高二校考期末）已知，其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
(1)求值及二项式系数最大项；
(2)求的值（用数值作答）.
16．（2024·福建漳州·高二统考期末）已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求的值．
17．（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有偶数项系数之和；
(4)系数绝对值之和.
18．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是．
(1)求实数a的值；
(2)求的值（结果可保留幂的形式）．
19．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知．
(1)求的最大值；
(2)求被13除的余数．
