第6章 空间向量与立体几何
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：空间向量及其线性运算
经典题型二：空间向量的数量积运算
经典题型三：空间向量基本定理
经典题型四：空间向量运算的坐标表示
经典题型五：用空间向量研究平行、垂直问题
经典题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题
经典题型七：用空间向量研究线面角问题
经典题型八：用空间向量研究二面角问题
经典题型九：用空间向量研究距离问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：空间向量及其线性运算
例1．（2024·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
例2．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，如下图所示，
因为，，
所以，所以．
故选：A.
例3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校联考期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
故，，，.
故选：A
例4．（2024·山东枣庄·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接，
.
故选：A.
例5．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）如图，在平行六面体中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
经典题型二：空间向量的数量积运算
例6．（2024·广东广州·高二统考期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 .
【答案】
【解析】在正四面体中，，
又，，，
所以.
故答案为：
例7．（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是 .
【答案】
【解析】向量在向量上的投影向量坐标为：
.
故答案为：.
例8．（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题设，，
所以
.
故答案为：
例9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，则
【答案】
【解析】因为，所以，，
所以.
故答案为：
例10．（2024·高二课时练习）若是一个单位正交基底，且向量，， ．
【答案】
【解析】由是一个单位正交基底，则，
故答案为：
经典题型三：空间向量基本定理
例11．（2024·山东·高二统考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
【答案】C
【解析】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确；
对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确；
对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设，
则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确；
对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为.
故D不正确.
故选：C
例12．（2024·贵州·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
【答案】B
【解析】对于，当时，，，
所以，则点在棱上，故正确；
对于，当时， ， ，
即，即
所以点在线段上，故错误；
对于，当时，，，
所以，所以，即，
所以点在棱上，故正确；
对于，当时，
所以，，
所以，
即，即，
所以点在线段上，故正确．
故选：．
例13．（2024·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期末）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由平行六面体的特征可得
设，则，
可得，
又
由四点共面可得存在实数，使
所以，
所以，解得.
故选：B.
例14．（2024·山东·高二校联考阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意得
，
而，
，
，
则
.
故选：A.
例15．（2024·广东深圳·高二深圳第三高中校考期末）在平行六面体中，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】在平行六面体中，，
而不共面，且，因此，
所以.
故选：A
经典题型四：空间向量运算的坐标表示
例16．（2024·新疆喀什·高二统考期末）已知空间向量， 且，则 .
【答案】
【解析】由，故，解得.
故答案为：.
例17．（2024·四川达州·高二校考阶段练习），若，则实数值为 .
【答案】2
【解析】，则，
又，则，解得.
故答案为：2
例18．（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
【答案】
【解析】由向量，，可得，
因为，可得，解得，
所以，所以与，
又因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
若向量与共线，则，解得，
所以实数的范围是.
故答案为：.
例19．（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知向量，，且与平行，则 .
【答案】/
【解析】，，
因为与平行，所以当时，，解得；
当时，，.
综上，.
故答案为：
例20．（2024·广东惠州·高二校考阶段练习）已知点.若点在平面内，则x= .
【答案】-2
【解析】，
因为点在平面，所以存在使得，
即，
故，解得.
故答案为：.
例21．（2024·河南郑州·高二郑州市宇华实验学校校考阶段练习）若向量共面，则 ．
【答案】/
【解析】由于共面，
可设，
即，
可得，解得；
故答案为：．
例22．（2024·贵州·高二统考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为 .
【答案】/
【解析】因为，
所以，
所以在方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
例23．（2024·山西太原·高二统考期末）已知，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【解析】，
则为锐角，所以.
故答案为：
例24．（2024·北京通州·高二统考期末）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 .
【答案】 /0.5
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
在的投影向量为.
故答案为：；.
经典题型五：用空间向量研究平行、垂直问题
例25．（多选题）（2024·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【解析】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
当时，则有，因此，即，A正确，C错误；
当时，则有，因此，则，B错误，D正确.
故选：AD
例26．（多选题）（2024·云南曲靖·高二校考期末）设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则，使得 D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，
所以则，使得，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：ACD.
例27．（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期末）如图，在正方体中，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：
【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，
则，，，，，
所以，，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
又，即，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知，
所以，所以.
例28．（2024·广东江门·高二台山市华侨中学校考期末）长方体中，，.点为中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【解析】（1）因为是长方体，
所以平面，而平面，
所以，
又因为，
所以侧面是正方形，因此，
因为平面，
所以平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
则有，
因为，
所以有平面.
例29．（2024·江西·高二校联考阶段练习）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点.
(1)证明：；
(2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度.
【解析】（1）如图，连接，交于点，连接.
底面是正方形，，，，
，，平面.平面.
平面，.
（2）以O为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.
，，，.
设平面的法向量为.则
取，则，，得.
设，，则.
平面，，得.故.
例30．（2024·广东清远·高二校联考期末）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，.
(1)求两点间的距离；
(2)求证：平面；
(3)求证：平面平面.
【解析】（1）由题可知，底面，，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
即两点间的距离为.
（2）由（1）知，，
所以，即，即，
又平面平面，
所以平面.
（3）由（2）知，，，，
所以，，
则，即，
又，且平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
经典题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题
例31．（2024·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点．
(1)求证：；
(2)若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示；
因为，所以，，
，，
所以，所以.
（2）是棱的中点，故，
则，
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为.
例32．（2024·黑龙江佳木斯·高二校考期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.’
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积
(3)求异面直线所成的角的最小值.
【解析】（1）
连接，因为四边形为正方形，所以，
又因为面，面，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，
（2）由（1）得到平面的距离为，
，
三棱锥的体积为12.
（3）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，
，
，，
设异面直线所成的角为，
则
当时，取得最大值，
又，
的最小值为.
例33．（2024·新疆喀什·高二校考期末）已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出图中、、M、N的坐标.
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
【解析】（1）因为正方体的边长为2，且点M、N分别是和的中点，
由题得、、、.
（2）易知，，
所以，，设直线AM与NC所成角为，
则，
所以直线AM与NC所成角的余弦值为.
例34．（2024·广东惠州·高二校考期末）如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E，F分别是SC，SA的中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=4.
(1)求证：EO平面SAD；
(2)求异面直线EO与BF所成角的余弦值.
【解析】（1）因为底面是正方形，所以为中点，又为中点，所以.
又平面，平面，所以：平面.
（2）因为，，且底面为正方形，所以、、两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系.
则，，，
所以：，，
，，，
所以异面直线与所成角的余弦为.
经典题型七：用空间向量研究线面角问题
例35．（2024·广东广州·高二统考期末）如图，在正方体中，E，F，G分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）由题意正方体的三条棱两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
不妨设正方体棱长为2，且E，F，G分别为，，的中点，
则，，
从而，即，
又因为平面，
所以平面.
（2）
不妨设直线与平面所成角为，
由（1）可知平面，故取平面的法向量为，
又因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
从而直线与平面所成角的余弦值为.
例36．（2024·陕西西安·高二高新一中校考阶段练习）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，平面平面ABC，．
(1)过作出三棱柱的一个截面，使AB与截面垂直，并给出证明；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）如图，设AB的中点为O，连接，则截面即为所求．
因为为正三角形，，
所以分别为的中线，
所以，
又，平面，
所以平面．
（2）因为平面平面ABC，平面平面，平面，,
所以平面ABC，
又平面ABC，所以，故两两垂直，
如图，以O为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立坐标系，
则，
设，则，
得，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，即，
所以，
即与平面所成角的正弦值为．
例37．（2024·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为，，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面ABE，
所以平面．
（2）因为平面，平面，
所以，，
又因为，所以两两互相垂直，
以B为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，，可得，
则，，，，，
所以，，
所以直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，
则，
不妨取，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线AE与平面AFC所成角的正弦值为．
例38．（2024·陕西西安·高二校考期末）如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)若平面平面，且，，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接，，
由，分别棱、的中点，则，
平面，平面，则平面，
又，且，
，且，四边形是平行四边形，则，
平面，平面，则平面，
又，可得平面平面，
又平面，平面．
（2）由，知，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
取的中点为，连接，，
由，且，四边形为平行四边形，
，为等边三角形，，
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，，
,,，,,，,1,，,2,，,0,，
,2,，,1,，，
设平面的法向量为,,，则，
令，得,,，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：．
经典题型八：用空间向量研究二面角问题
例39．（2024·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）如图，圆柱底面直径长为4，是圆上一点，且点为圆弧中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若该圆柱的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）
连接，
由为底面直径且为圆弧中点，故有,
又圆柱中底面，平面，
故，又、平面，，
故平面，又平面，
故平面平面；
（2）
取圆弧中点，连接，
有底面，
且、平面，
故、，又，
故、、两两垂直，
由，故，
圆柱体积，
即有，即，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、，
则、，
设平面的法向量为，
则有，取，故，
由底面，平面，
故，又，
且、平面，，
故平面，
即轴平面，
故平面的法向量可取，
则，
故平面与平面夹角的余弦值.
例40．（2024·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）由，，得，得，即，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，故，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）取中点O，连接，则，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
以O为原点，，，方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
如图，
则，，，，
设平面的法向量为，由，，
则，即，取，则，
设平面的法向量为，由，，
则，即，取，则，
故.
故二面角的余弦值为.
例41．（2024·四川成都·高二石室中学校考期末）已知三棱锥中，，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
【解析】（1）取中点，连接，，
在和中，，，，
可得，则，所以，
因为，且，平面，
所以平面，
在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，，
因为平面，且平面，所以，
又，平面，
所以平面，即为点到平面的距离，
在中，，，
由余弦定理可得，则，
在中，，
在中，，
在中，，
则，解得，
则，即，
所以点到平面的距离为.
（2）由（1）知，所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形是正方形，
以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，即，
设平面的法向量为，则，
令，则，，即，
设平面与平面的夹角，则，
可得，
，
所以平面与平面的夹角的正弦值.
例42．（2024·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，.
(1)求点到平面ABCD的距离；
(2)在棱上是否存在点，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题设，知，所以.
又，所以为等边三角形，所以.
在中，，所以.
即，则.
所以，即，
又，且平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
如图1，设为的中点，连接，因为，所以.
又因为平面平面，平面.
所以平面，所以即为点到平面的距离.
在中，，所以.
即点到平面的距离为.
（2）如图2，连接OC，则，且平面ABCD，
所以，所以PO，BD，OC两两互相垂直.
以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
则，
所以.
若上存在点满足题意，不妨设，则，
所以.
设是平面的法向量，
则，解得，
不妨取，则平面的一个法向量为.
同理，设是平面的法向量，
则，解得，不妨取，
则，所以平面的一个法向量为，
所以，
化简整理得，解得或.
即或.
故在的三等分点处存在点，可使得平面与平面夹角的余弦值为.
例43．（2024·广东东莞·高二校考阶段练习）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
(1)证明：平面平面；
(2)若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解析】（1）取的中点，连接，，依题意，，，，
则，即有，显然有，
而平面，平面，于是平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，，，，则平面，
即为直线与平面所成的角，且，
因此当最短时，最大，最大，而，则为的中点，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，；
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
经典题型九：用空间向量研究距离问题
55．（2024·河南·高二校联考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离.
【解析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
设平面的一个法向量为，则
取，则，，得，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
（2）设，，则.
由（1）可知平面的法向量为，
则到平面的距离为，解得或（舍去），
即.
因为，，
所以到直线的距离为.
例44．（2024·陕西宝鸡·高二陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，直四棱柱的高为3，底面是边长为4且的菱形，，，是的中点．
(1)求二面角的大小；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）若为的中点，连接，底面是边长为4且的菱形，
所以且，构建如下图空间直角坐标系，
则，故，
若面的一个法向量为，则，
令，则，又面的一个法向量为，
若锐二面角的大小为，则，
所以.
（2）由（1）知：，则，故，
且面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
例45．（2024·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求：
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面间的距离.
【解析】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
所以，所以，即，
又平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，又，
所以点到平面的距离.
（2）由（1）知平面，同理，平面，
又，平面，
所以平面平面，
即平面与平面间的距离等于点到平面的距离．
由（1）知，点到平面的距离.
所以平面与平面间的距离为.
例46．（2024·辽宁葫芦岛·高二校联考期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点．
(1)求到直线的距离；
(2)求到平面的距离．
【解析】（1）
以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以到直线的距离为
（2）由（1）得，，
设平面的法向量为，则
取，则，，得，
所以到平面的距离为
例47．（2024·天津南开·高二天津市天津中学校考阶段练习）在三棱台中，若平面，分别为中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离；
(4)求点到直线的距离．
【解析】（1）连接，
因为分别为中点，
所以且，
又因且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为轴垂直平面，则可取平面的法向量为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3），则，
则点到平面的距离为；
（4），
则，
故，
所以点到直线的距离为．
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想
例48．（2024·浙江·高二校联考开学考试）已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】假设截面为，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小，
当F在BC上（不含两端点）时，如图所示建立空间直角坐标系，则为异面直线和的公垂线时，EF最小，易知异面直线和的距离即到平面的距离，
，设面的法向量为，
则，则，令，则，即，
所以BC到面的距离为；
当F在上（不含两端点）时，如图所示，
此时为和的公垂线时，最小．同上可得和的公垂线长为；
当F在上（不含两端点）时，如图所示，
此时EF为和的公垂线，最小．同上可得和的公垂线长为；
故，此时，
易得特殊截面，，，
比较所得.
故选：C.
例49．（2024·高二课时练习）已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题意可得是面的法向量，
设与平面所成角为，
如图所示，则或，
易知，
若，则上式化为，
若，则上式化为，即D正确.
故选：D
例50．（2024·浙江·校联考三模）在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面与面重合，
证明：设平面与面所成的二面角为，二面角为，
当时，记平面截正方体所得截面为面，，
则，
令，
因为，所以，
当时，显然平面截正方体所得截面面积最大时，
截面为面，
当时，平面截正方体所得截面为，
所以平面截正方体所得截面面积最大时截面为面，
同理平面过时，截正方体所得截面面积最大时截面为面，
连接，面与面所成锐二面角为，
因为面面，
所以的所成角大小为二面角大小，
因为，所以面与面所成锐二面角大小为.
故选：C．
②转化与化归思想
例51．（2024·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校联考期末）在三棱锥中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得为中点，所以，
又因为，所以，
所以，故A项正确.
故选：A.
例52．（2024·河北保定·高二校联考期末）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A．3 B． C．9 D．6
【答案】A
【解析】由题意得向量在基底下的坐标为：，
则，
所以向量在下的坐标为：，
所以模长为，故A项正确.
故选：A.
例53．（2024·安徽合肥·高二校联考期末）如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为:，
所以：.又因为：，
所以：，
所以：.
故C项正确.
故选：C.
例54．（2024·北京·高二校考期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.若直线与平面所成的角为，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，交于点，取中点，连接，
因为分别为的中点，
所以在中，，
因为底面，所以底面
又底面，底面，
所以，
在菱形中，，
所以两两互相垂直，
所以以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
又底面，直线与平面所成的角为，
所以，所以，
在菱形中，，
所以为等边三角形，
又，且，
所以，
则，
设平面的一个法向量为，
由，
令，
同理设平面的一个法向量为，
由，
令，
设二面角的大小为，由图可知为钝角，
所以，
即二面角的余弦值为：，
故选：B.
③特殊到一般思想
例55．（2024·高二课时练习）若，若不共面，当时，则 .
【答案】3
【解析】因为，
即，
可得，相加得，即.
故答案为：3.
例56．（2024·四川广安·高二四川省岳池县第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，点与的距离是 ．
【答案】
【解析】将点坐标代入空间中两点的距离公式计算求出距离.由空间中两点的距离公式得点和点的距离是
，
故两点间的距离是．
故答案为：．
例57．（2024·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是 .
【答案】
【解析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标.因为点Q在直线OP上运动，
所以，则，则
则，
所以
当时，取最小值，此时
故答案为：
例58．（2024·海南海口·高二海南中学校考期末）若，则直线与平面的位置关系为 ．
【答案】平面或平面
【解析】由及共面向量定理
可知：向量与向量、共面
即直线可能在平面内，也可能和平面平行
故答案为：平面或平面第6章 空间向量与立体几何
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：空间向量及其线性运算
经典题型二：空间向量的数量积运算
经典题型三：空间向量基本定理
经典题型四：空间向量运算的坐标表示
经典题型五：用空间向量研究平行、垂直问题
经典题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题
经典题型七：用空间向量研究线面角问题
经典题型八：用空间向量研究二面角问题
经典题型九：用空间向量研究距离问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：空间向量及其线性运算
例1．（2024·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校联考期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·山东枣庄·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）如图，在平行六面体中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
经典题型二：空间向量的数量积运算
例6．（2024·广东广州·高二统考期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 .
例7．（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是 .
例8．（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ．
例9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，则
例10．（2024·高二课时练习）若是一个单位正交基底，且向量，， ．
经典题型三：空间向量基本定理
例11．（2024·山东·高二统考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
例12．（2024·贵州·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
例13．（2024·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期末）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·山东·高二校联考阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（ ）
A． B． C． D．2
例15．（2024·广东深圳·高二深圳第三高中校考期末）在平行六面体中，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
经典题型四：空间向量运算的坐标表示
例16．（2024·新疆喀什·高二统考期末）已知空间向量， 且，则 .
例17．（2024·四川达州·高二校考阶段练习），若，则实数值为 .
例18．（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
例19．（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知向量，，且与平行，则 .
例20．（2024·广东惠州·高二校考阶段练习）已知点.若点在平面内，则x= .
例21．（2024·河南郑州·高二郑州市宇华实验学校校考阶段练习）若向量共面，则 ．
例22．（2024·贵州·高二统考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为 .
例23．（2024·山西太原·高二统考期末）已知，则向量与的夹角为 ．
例24．（2024·北京通州·高二统考期末）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 .
经典题型五：用空间向量研究平行、垂直问题
例25．（多选题）（2024·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
例26．（多选题）（2024·云南曲靖·高二校考期末）设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则，使得 D．若，则
例27．（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期末）如图，在正方体中，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：
例28．（2024·广东江门·高二台山市华侨中学校考期末）长方体中，，.点为中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
例29．（2024·江西·高二校联考阶段练习）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点.
(1)证明：；
(2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度.
例30．（2024·广东清远·高二校联考期末）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，.
(1)求两点间的距离；
(2)求证：平面；
(3)求证：平面平面.
经典题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题
例31．（2024·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点．
(1)求证：；
(2)若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
例32．（2024·黑龙江佳木斯·高二校考期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.’
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积
(3)求异面直线所成的角的最小值.
例33．（2024·新疆喀什·高二校考期末）已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出图中、、M、N的坐标.
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
例34．（2024·广东惠州·高二校考期末）如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E，F分别是SC，SA的中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=4.
(1)求证：EO平面SAD；
(2)求异面直线EO与BF所成角的余弦值.
经典题型七：用空间向量研究线面角问题
例35．（2024·广东广州·高二统考期末）如图，在正方体中，E，F，G分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
例36．（2024·陕西西安·高二高新一中校考阶段练习）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，平面平面ABC，．
(1)过作出三棱柱的一个截面，使AB与截面垂直，并给出证明；
(2)求与平面所成角的正弦值．
例37．（2024·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
例38．（2024·陕西西安·高二校考期末）如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)若平面平面，且，，求直线与平面所成角的正弦值.
经典题型八：用空间向量研究二面角问题
例39．（2024·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）如图，圆柱底面直径长为4，是圆上一点，且点为圆弧中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若该圆柱的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
例40．（2024·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
例41．（2024·四川成都·高二石室中学校考期末）已知三棱锥中，，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
例42．（2024·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，.
(1)求点到平面ABCD的距离；
(2)在棱上是否存在点，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
例43．（2024·广东东莞·高二校考阶段练习）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
(1)证明：平面平面；
(2)若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
经典题型九：用空间向量研究距离问题
55．（2024·河南·高二校联考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离.
例44．（2024·陕西宝鸡·高二陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，直四棱柱的高为3，底面是边长为4且的菱形，，，是的中点．
(1)求二面角的大小；
(2)求点到平面的距离．
例45．（2024·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求：
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面间的距离.
例46．（2024·辽宁葫芦岛·高二校联考期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点．
(1)求到直线的距离；
(2)求到平面的距离．
例47．（2024·天津南开·高二天津市天津中学校考阶段练习）在三棱台中，若平面，分别为中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离；
(4)求点到直线的距离．
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想
例48．（2024·浙江·高二校联考开学考试）已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
例49．（2024·高二课时练习）已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ）
A． B．
C．或 D．或
例50．（2024·浙江·校联考三模）在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．
②转化与化归思想
例51．（2024·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校联考期末）在三棱锥中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
例52．（2024·河北保定·高二校联考期末）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A．3 B． C．9 D．6
例53．（2024·安徽合肥·高二校联考期末）如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
例54．（2024·北京·高二校考期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.若直线与平面所成的角为，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
③特殊到一般思想
例55．（2024·高二课时练习）若，若不共面，当时，则 .
例56．（2024·四川广安·高二四川省岳池县第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，点与的距离是 ．
例57．（2024·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是 .
例58．（2024·海南海口·高二海南中学校考期末）若，则直线与平面的位置关系为 ．
