第7章 计数原理 章末题型归纳总结
目录
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理
经典题型二：相邻问题的排列问题
经典题型三：不相邻的排列问题
经典题型四：分组分配问题
经典题型五：隔板法
经典题型六：几何计数问题
经典题型七：代数中的计数问题
经典题型八：涂色问题
经典题型九：二项展开式问题
经典题型十：系数与系数和问题
经典题型十一：整除与余数、近似计算问题
经典题型十二：杨辉三角问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理
例1．（2024·江西九江·高二九江市同文中学校考期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ）
A．30个 B．42个 C．41个 D．39个
【答案】D
【解析】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，
当不取时，底数有种，真数有种，
其中，
故此时有个，
所以共有个.
故选：D.
例2．（2024·江西·高二江西省安义中学校联考期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．90种 B．30种 C．14种 D．11种
【答案】C
【解析】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．
故选：C．
例3．（2024·河南·高二校联考期末）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种 C．7种 D．9种
【答案】A
【解析】买两本，有种方案；买三本，有1种方案；
因此共有方案(种)．
故选：A.
例4．（2024·山东德州·高二统考期末）已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】依题意，可得点的坐标有：
其中落在第三、第四象限内点有
共6个.
故选：A
例5．（2024·广东深圳·高二校考期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，
故共有种选择方法.
故选：D.
例6．（2024·江西赣州·高二统考期末）阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ）
A．50 B．60 C．125 D．243
【答案】D
【解析】由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，
其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是种.
故选：D.
经典题型二：相邻问题的排列问题
例7．（2024·北京西城·高二期末）2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【答案】B
【解析】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，
先排除去丙的5个元素，共有种排法，
再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，
所以甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有种.
故选：B.
例8．（2024·全国·高二假期作业）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【答案】D
【解析】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有种站排方式；
当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式；
故总共有种站排方式.
故选：D．
例9．（2024·新疆伊犁·高二统考期末）为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一 高二 高三年级分别有1名 2名 3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．144种
【答案】C
【解析】由题意可得，
故选:C
例10．（2024·广东江门·高二校考期末）某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
【答案】D
【解析】一方面：若要求学员A和B相邻，则可以将学员A和B捆绑作为一个“元素”，此时一共有个元素，
但注意到学员A和B可以互换位置，所以学员A和B相邻一共有种排法.
另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为种排法.
结合以上两方面：学员A和B不相邻的不同的排法共有种排法.
故选：D.
例11．（2024·甘肃临夏·高二校考开学考试）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．20种
【答案】A
【解析】依题意，“礼”在第一次，固定，
“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外艺进行排列，
所以“六艺”讲座不同的次序共有种，
故选：A
例12．（2024·贵州毕节·高二校考阶段练习）高二年级组在一次考试后，年级总分排名前6名的同学站成一排照相，若排名为第一名与第二名的同学不站两端，第三名与第四名同学要站在一起，则不同站队方法的种数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】D
【解析】第三名与第四名同学要站在一起，将人捆绑，
相当于个人，中间有个位置，安排第一名与第二名，
所以不同站队方法的种数为.
故选：D
经典题型三：不相邻的排列问题
例13．（2024·湖南永州·高二统考阶段练习）5人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是（ ）
A．48 B．72 C．96 D．144
【答案】B
【解析】先将除甲乙以外的3人全排列，有种排法，
再将甲乙排在3人形成的4个空档中，有种排法，
则不同的排法有6×12＝72种.
故选：B.
例14．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
【答案】A
【解析】若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜，则有种，
再将其与其它4道菜作全排列，共有种，
所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有种；
而六道菜依次上菜的总顺序有种，
所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数种.
故选：A
例15．（2024·高二校考单元测试）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）
A．36种 B．60种 C．72种 D．80种
【答案】C
【解析】根据题意，把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的．
则三个人的坐法（不考虑空座位）共有 种，
再把两组不同的空座位插入到三个人产生的四个空档里，有 种
所以不同坐法有 种，
故选：C．
例16．（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（ ）
A．72 B．144 C．288 D．156
【答案】B
【解析】将2道必须相邻的工序捆绑在一起看作一个元素，
将其与没有特别要求的2道工序排成一排，再把2道不相邻的工序插入，
加工顺序的种数为.
故选：B.
例17．（2024·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁、戊5位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）．
A．3600 B．1440 C．720 D．480
【答案】A
【解析】因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中两个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外一个“冰墩墩”记为元素，
先将甲、乙、丙、丁、戊5位运动员全排列，即，
然后将元素插入这五位运动员所形成的空中，即，
则不同的排法种数为.
故选：A
例18．（2024·河南安阳·高二统考期末）2023年5月份开始，为防范社会风险，更好服务群众，某地公安局推出社区民警“驻村”工作模式，要求民警每周一到周五，把值班地点挪到村子中，该地某派出所计划下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流“驻村”，每名民警安排1天值班，则甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有（ ）
A．58种 B．60种 C．72种 D．78种
【答案】C
【解析】排除甲乙外的3人值班有种方法，在4个空隙中取2个空隙插入甲乙有种方法，
所以甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有种.
故选：C
经典题型四：分组分配问题
例19．（2024·上海·高二上海市川沙中学校考期末）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有 种.（用数字作答）
【答案】96
【解析】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择，
当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择，
故共有种选择.
故答案为：96
例20．（2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 ．
【答案】36
【解析】由题意可知必有一个场馆是两名志愿者，先将四名同学分成三组，即每组各有人，再进行排列，则有种方法.
故答案为：
例21．（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
【答案】92
【解析】①若既会英语，也会日语的2人均没有选中，
此时只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择3人，共种选择；
②若既会英语，也会日语的2人选中1人，有种选择，
此人去进行英语导游，则从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择3人，
有种选择，
此人去进行日语导游，则从只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择2人，
有种选择，
此时共有种选择；
③若既会英语，也会日语的2人均选中，
2人均进行英语导游，则从只会英语的3人选择1人，只会日语的4人选择3人，
有种选择，
2人均进行日语导游，则从只会英语的3人选择3人，只会日语的4人选择1人，
有种选择，
2人有1人进行英语导游，1人进行日语导游，有种选择，
再从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择2人，有种选择，
此时有种选择，
所以若既会英语，也会日语的2人均选中，有种选择，
综上：共有种选择.
故答案为：92
例22．（2024·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有1人参加，则共有 种不同的安排方法.
【答案】
【解析】第一步，将4名同学随机分成三组，每组至少一人的分法为，
第二步，将三组全排列有，所以共有种不同的安排方法.
故答案为：
例23．（2024·高二单元测试）将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为 （用数字作答）
【答案】216
【解析】5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，共有种方案，
甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则剩余3本书分别给3位同学，
有种方案，
综上，不同的分配方案数为种．
故答案为：216
例24．（2024·陕西西安·高二校考阶段练习）若将5名志愿者安排到三个学校进行志愿服务，每人只去一个学校，每个学校至少去一人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】150
【解析】由题意得，三个学校可分得的志愿者人数分别为或，
当三个学校可分得的志愿者人数分别为时，分配方案有种，
当三个学校可分得的志愿者人数分别为时，分配方案有种，
综上，不同的分配方案有种.
故答案为：150
例25．（2024·全国·高二随堂练习）填空：
（1）甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同的选修方案共有 种．
（2）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有 种．
（3）4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案共有 种．
（4）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有 种．
（5）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有 种．
【答案】 ； ； ； ； .
【解析】（1）由题设，不同的选修方案有种；
（2）若2个英文字母相同，则有种；
若2个英文字母不相同，则有种；
所以，共有种.
（3）由题意，教师按人数分组，则种不同的分配方案.
（4）将除甲乙外的三人先排成一排有种，所成排中有4个空，再把甲乙插入其中一个空有种，
所以共有种.
（5）由题意，前3节课任选一节上数学有种，再前5节课余下的4节任选一节上英语有种，最后将其它4科全排有种，
所以，不同的排法有种.
故答案为：；；；；.
经典题型五：隔板法
例26．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有 个（用数字回答）
【答案】120
【解析】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，
若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个，
若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，
综上：共有个“英雄数”．
故答案为：120．
例27．（2024·河北保定·高二校联考期末）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 .
【答案】
【解析】将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：
第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；
第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有种情况，
第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有种情况，
则恰有两个班分到三好学生名额的概率为．
故答案为：．
例28．（2024·江苏·高二专题练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为 ．
【答案】120
【解析】设对应个位到千位上的数字，则，且，
相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.
故答案为：120
例29．（2024·河北·高二校联考阶段练习）关于的方程（其中）的解共有 组.
【答案】
【解析】将10分解成为10个1之和，现在将10个1分为三组，每一组至少一个1，
等价于在10个1之间插入2个隔板，分组方式为，
故答案为：.
例30．（2024·福建三明·高二统考期末）将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有个名额，则不同的分配方案种数为 .
【答案】
【解析】原问题等价于：将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，每个班至少一个名额，
也可等价于：将个完全相同的小球分为组，每组至少一个，
相当于在个小球在中间形成的个空中插入块板，所以，共有种不同的分配方案.
故答案为：.
例31．（2024·北京·高二北京市第十二中学校考期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
【答案】
【解析】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
经典题型六：几何计数问题
例32．（2024·江西·高二统考阶段练习）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．4 B．13 C．15 D．16
【答案】D
【解析】解法一：用间接方法，过这七个点中任意两个点作直线，一共有条，
其中从共线的，，，的四点任选两点，一共有条，
所得直线的条数为；
解法二：用直接方法，①过点，，，的直线只有1条；
②过，，中的任意两点作直线，可作3条；
③从，，，任取一点，从，，中任取1点作直线，可作直线条数为，
综上，所得直线的条数为.
故选：D.
例33．（2024·高二课时练习）有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）
A．70个 B．80个 C．82个 D．84个
【答案】A
【解析】第1类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有种方法；
第2类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有种方法，
故满足条件的三角形共有个．
故选：A.
例34．（2024·河南洛阳·高二统考期末）平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（ ）
A．14 B．48 C．91 D．420
【答案】D
【解析】因为平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，且这两组平行线相交，
因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，
所以构成不同的平行四边形个数为.
故选：D.
例35．（2024·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．以上都不对
【答案】A
【解析】如下图所示，在正三棱柱中，、、、、、、、、为相应棱的中点，
从上述个点中任选个点，共有种选法，
其中所选的个点在同一侧面上，共种情况；
若所选的个点不在同一侧面上，且构成平行四边形，如、、、，共种情况；
若所选的个点构成梯形，如、、、，共种情况.
综上所述，正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有种.
故选：A.
例36．（2024·高二课时练习）空间中有个点，其中有个点在同一个平面内且无三点共线，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
共可构成个四面体；
方法二：从个点中任取个点的情况有种；其中无法构成四面体的情况有种；
共可构成个四面体.
故选：A.
例37．（2024·河南郑州·高二郑州十九中校联考期末）如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（ ）个．
A．75 B．111 C．102 D．120
【答案】C
【解析】由题意，要组成矩形应从竖线中选两条、横线中选两条，可分两种情况：
当矩形的边不在上时，共有个，
当矩形的边在上时，共有个，
所以图中矩形总计有个.
故选：C.
经典题型七：代数中的计数问题
例38．（2024·山东菏泽·高二校考阶段练习）实数2160所有正因数有 个．
【答案】40
【解析】，故2160的正因数可表示为，
其中共5种情况，共4种情况，共2种情况，
由分步乘法计数原理可得，2160所有正因数有个.
故答案为：40
例39．（2024·北京朝阳·高二北京八十中校考期末）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种．
【答案】
【解析】不超过的质数有：、、、、、、，共个，
在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取，
然后在剩余个奇数中任选一个即可，
所以，不同的取法种数为种.
故答案为：.
例40．（2024·山东聊城·高二统考期末）数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 .
【答案】12
【解析】当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600；
当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510；
当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402；
当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312；
当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222；
当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132；
综上，共有12个“吉祥数”.
故答案为：12
例41．（2024·陕西宝鸡·高二宝鸡中学校考期末）从，，，，，六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值.
【答案】
【解析】因为对数的底数不能是，所以底数可以是，，，，中的某一个数，真数可以是，，，，，中的某一个数，因此，从形式上可以组成个对数，
减去底数，真数相同的个数；
为真数的数有个，值均为，应减去个；
此外，；
，，应减去重复的个．
所以，不同的对数值为（个），
故答案为：.
例42．（2024·北京·高考真题）已知n次式项式．如果在一种算法中，计算的值需要次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：．利用该算法，计算的值共需要6次运算．计算的值共需要 次运算．
【答案】
【解析】在利用常规算法计算多项式的值时，算项需要次乘法，则在计算时共需要乘法次，
需要加法：次，则计算的值共需要次运算，
故计算的值共需要65次运算；
在使用秦九韶算法计算多项式的值时，
共需要乘法：次，需要加法：次，则计算的值共需要次运算.故计算的值至多需要20次运算.
故答案为：；
经典题型八：涂色问题
例43．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有
（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】B
【解析】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故选：B．
例44．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【答案】D
【解析】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有种涂法.
故选：D.
例45．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
【答案】C
【解析】将区域标号，如下图所示：
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
例46．（2024·全国·高二假期作业）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ）
A．192 B．420 C．210 D．72
【答案】B
【解析】按照的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：
第一类，A，C同色，由分步计数原理有种不同的染色方法；
第二类，A，C不同色，由分步计数原理有种不同的染色方法；
根据分类加法计数原理，共有种不同的染色方法.
故选：B.
例47．（2024·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．120 B．420 C．300 D．以上都不对
【答案】B
【解析】分4步进行分析：
①对于区域A，有5种颜色可选，
②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;
③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;
④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,
则不同的涂色方案有种;
故选：B
例48．（2024·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（ ）种.
A．40 B．80 C．120 D．160
【答案】C
【解析】根据图示，区域3和6、区域3和5、区域2和5、区域2和4、区域4和6不相邻，可以栽种相同颜色的花.
因为要栽种4种不同颜色的花，所以分为5类：
第一类：区域3和6同色且区域2和4同色：种；
第二类：区域3和6同色且区域2和5同色：种；
第三类：区域3和5同色且区域2和4同色：种；
第四类：区域4和6同色且区域2和5同色：种；
第五类：区域4和6同色且区域3和5同色：种；
所以，共有种.
故选：C
经典题型九：二项展开式问题
例49．（2024·江西·高二校联考期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C． D．
【答案】A
【解析】由题意中含的项为，则的系数为60，
故选：A
例50．（2024·北京海淀·高二清华附中校考期末）的展开式中x项的系数为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【解析】的展开式的通项为：，
令，得，
得的展开式中x项的系数为：.
故选：A
例51．（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的展开式通项为，
令，可得，
因此，展开式中的常数项为.
故选：B.
例52．（2024·陕西汉中·高二统考期末）展开式中的系数为（ ）
A．45 B． C． D．
【答案】C
【解析】对，有，
令，解得，有.
故选：C.
例53．（2024·江苏·高二假期作业）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A． B．1215 C．135 D．
【答案】B
【解析】令，得，（注意所有项的系数之和与所有项的二项式系数之和的区别）
解得（舍去）或，
则的展开式的通项，
令，解得，则展开式中的系数为，
故选：B．
例54．（多选题）（2024·山西晋中·高二校考期末）已知则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为
B．展开式中常数项为第8项
C．展开式中有理项有3项
D．二项式系数最大的项是第7项
【答案】AC
【解析】对于A，展开式中奇数项的二项式系数和为，所以A正确，
对于B，展开式的通项公式为，（）
令，得，所以展开式中没有常数项，所以B错误，
对于C，当时，，满足题意，当时，满足题意，当时，，满足题意，所以有3项为有理项，所以C正确，
对于D，因为展开式共有15项，所以二项式系数最大的项为第8项，所以D错误，
故选：AC
例55．（多选题）（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各项系数和为2
B．不含字母的项的系数和为1
C．不含字母的项的系数和为80
D．不存在这样的项
【答案】BD
【解析】，
的展开式的通项为 ，
的展开式的通项为 ，
对A：在中，令得各项系数和为，故A错误；
对B：在中令得不含字母的项的系数为，
因为，所以在中每项均含有项，
故的展开式中不含字母的项的系数和为1，故B正确；
对C：在中令得不含字母的项的系数为，
在中令得不含字母的项的系数为，
故的展开式中不含字母的项的系数和为，故C错误；
对D：在中要含有的项需令，无解，
在中要含有的项需令，无解，
故的展开式中不存在这样的项，故D正确.
故选：BD
经典题型十：系数与系数和问题
例56．（多选题）（2024·广东广州·高二统考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为
【答案】AD
【解析】令.
对于A选项，，A对；
对于B选项，的展开式通项为，
所以，，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，展开式中所有项的二项式系数的和为，D对.
故选：AD.
例57．（多选题）（2024·河北唐山·高二校联考期末）若，则（ ）
A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为
C．奇数项的系数和为 D．
【答案】ABD
【解析】因为，
令可得，故A正确；
展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确；
令，，
令，则，
两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误；
令，则，
所以，故D正确．
故选：ABD
例58．（多选题）（2024·河北·高二校联考阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式中各项的系数最大的是
C． D．
【答案】AC
【解析】令，得，则A正确．
展开式的通项为，
则，故B错误．
令，得，
令，得，
则，故C正确，D错误．
故选：AC.
例59．（多选题）（2024·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考期末）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第5项的系数最大
B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为
D．所有偶数项的二项式系数和为
【答案】BD
【解析】在二项式展开式中，
第9项系数为，
第5项系数为，
因，所以错误.
令，得所有项系数和为，正确.
因为奇数项的二项式系数和等于偶数项二项式系数和，
为，所以错误，D正确.
故选：BD.
例60．（多选题）（2024·江西·高二校联考期末）若，则下列等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A,令，则，故A正确，
对于B,，因此，故B错误，
对于C,令，则，令，则，两式相加可得，故C正确，
对于D,对两边求导得，令得，故D正确，
故选:ACD
例61．（多选题）（2024·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】令得，故A正确；
令得，
所以，故B错误；
令得，
又，
两式相加得，故C正确；
令，所以，所以，
其展开式的通项为，
令，解得，
所以，故D正确.
故选:ACD.
例62．（多选题）（2024·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知，下列命题中，正确的有（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为 D．
【答案】ABC
【解析】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，，故B正确；
对于C，令，则，
两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
所以，故D错误．
故选：ABC．
经典题型十一：整除与余数、近似计算问题
例63．（2024·江苏常州·高二统考期末）若能被13整除，则m的最小正整数取值为 ．
【答案】12
【解析】
因为能被13整除，
所以是13的倍数时，能被13整除，
所以m的最小正整数取值为12，
故答案为：12
例64．（2024·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末）设，且，若能被15整除，则 .
【答案】14
【解析】由题意，，
∵
，
可知被15除的余数与被15除的余数相等，
又∵，
∴被15除的余数为1，即被15除的余数为1，
∵，
∴若能被 15 整除，则，解得：，
故答案为：14.
例65．（2024·江苏镇江·高二统考期末）今天是第一天星期一，则第天是星期 .
【答案】一
【解析】因为，
所以，除以7的余数为1，
所以，第天是星期一.
故答案为：一.
例66．（2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）若，则除以7的余数是 .
【答案】0
【解析】，
，
故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0，
故答案为：0．
例67．（2024·安徽阜阳·高二安徽省太和第一中学校考期末）若，且，，且，则 ．
【答案】16
【解析】，
又，
因为能被17整除，所以可以被17整除，
即能被17整除，因为，且，，所以．
故答案为：16.
例68．（2024·高二课时练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
【答案】1.105
【解析】
.
故答案为：1.105
例69．（2024·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是 ．
【答案】0.96
【解析】因为，
且将精确到0.01，故近似值为0.96
故答案为：0.96
经典题型十二：杨辉三角问题
例70．（2024·山东·高二校联考阶段练习）展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其性质是以下各行每个数是它正上方和左 右两边三个数的和（不足3个数时，用0补上），则的展开式中，项的系数为 .
【答案】
【解析】根据题意，可得广义杨辉三角如图所示，
可知的展开式中，项的系数为项的系数为30，
所以的展开式中，项的系数为.
故答案为：
例71．（2024·辽宁本溪·高二校考期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
【答案】62
【解析】由题意可知第行第个数为，
根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，
有且．化简得，，
联立解得，．
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
故答案为：62.
例72．（2024·北京东城·高二东直门中学校考期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.
杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为.请写出一条其他的性质，用组合数表示为： .从杨辉三角蕴含的规律可知： .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】杨辉三角有很多有趣的性质，如，
故：.
故答案为：（答案不唯一）；.
例73．（2024·安徽滁州·高二校考期末）如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则 ．
【答案】
【解析】由“杨辉三角”性质，得：
.
故答案为：．
例74．（2024·四川资阳·高二统考期末）杨辉是我国南宋时期数学家，在其所著的《详解九章算法》一书中，辑录了图①所示的三角形数表，这比欧洲早500多年．杨辉三角本身包含很多性质，并有广泛的应用．借助图②所示的杨辉三角，可以得到，从第0行到第行：第1斜列之和；第2斜列之和．类比以上结论，并解决如下问题：图③所示为一个层三角垛，底层是每边堆个圆球的三角形（底层堆积方式如图所示），向上逐层每边少1个，顶层是1个．则小球总数 ．
【答案】或．
【解析】由题可知，在三角垛中，第1层1个球，第2层有1+2个球，第3层有1+2+3，……，
第层有个球，又，
所以三角垛的小球总数为：
.
故答案为：或.
例75．（2024·江苏连云港·高二统考期末）如图，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，记这个数列的前项和为，则的值为 .
【答案】454
【解析】根据组合知识可得
.
故答案为：454
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想
例76．（2024·河南·模拟预测）某惠民医院开展“关爱健康，守护生命，服务老人”的义诊活动，需要临时从某科室中抽调3名医护人员，已知该科室现共有3名医生和4名护士.为了保障医院工作正常运作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有（ ）
A．72种 B．36种 C．30种 D．18种
【答案】C
【解析】要使科室内至少留有1名医生和2名护士，则有以下两类情况：
①抽调的3名医护人员由2名医生1名护士组成，则有种;
②抽调的3名医护人员由1名医生2名护士组成，则有种.
所以不同的抽调方案共有种.
故选：C.
例77．（2024·全国·模拟预测）的展开式中含项的系数为（ ）
A．1984 B．960 C．660 D．704
【答案】D
【解析】的展开式的通项为，所以的展开式中含项的系数为．
故选：D
例78．（2024·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
【答案】B
【解析】解法一：
按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法二：
按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法三 ：
所有的两位数共有90个，
其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；
有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，
则剩余的两位数有个．
在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，
故满足条件的两位数的个数是.
故选：B.
例79．（2024·海南省直辖县级单位·高二校考期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．72种
【答案】C
【解析】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，
则既会跳舞又会唱歌的有人，
只会唱歌的有人，只会跳舞的有人;
若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法，
综上共有种选法.
故选：C.
例80．（2024·北京·统考模拟预测）展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由知展开式中含项情况为：
①，
②，
所以展开式中的系数是：.
故选：A.
②转化与化归思想
例81．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设，则
【答案】
【解析】由题意知的展开式的通项为，，，
所以.
故答案为：.
例82．（2024·江苏宿迁·高二宿迁中学校考期中）化简： ．
【答案】
【解析】
，
故答案为：
例83．（2024·天津河西·高二统考期中）若，则 ．
【答案】2555
【解析】因为，
所以令时，
，
即，
令时，
，
即，
所以
，
故答案为：2555.
例84．（2024·山东泰安·统考模拟预测）若，则 .
【答案】
【解析】已知，对式子两边同时求导，
得，
令，得.
故答案为：240
例85．（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种
【答案】14
【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，
剩下两人去剩下两个舱位，
则有种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，
剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，
则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.
故答案为：14
例86．（2024·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）有6个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，那么钥匙的放法有 种．
【答案】120
【解析】根据题意，假设6个盒子为，，，，，，
要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，即在砸开的匣子中必放有另一个匣子的钥匙，依次类推，打开所有的盒子，
则原问题相当于由，，，，，形成一个环状排列，
反过来，对由于，，，，，排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法，
先让6个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙，这就得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．
所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与，，，，，的环状排列数相等，
由于个元素的环状排列数为种，则钥匙的放法有种．
故答案为：120．
③特殊到一般思想
例87．（2024·天津静海·高三校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】二项式的展开式的通项公式，
令，得,
则常数项为，
故答案为：160.
例88．（2024·高二课时练习）从正方体ABCD A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为 ．
【答案】58
【解析】从8个顶点中任取4个有种方法，从中去掉6个面和6个对角面，
所以有个不同的四面体．
故答案为：58.
例89．（2024·广东深圳·深圳市光明区高级中学校考模拟预测）若二项式的展开式的第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式的常数项是 .（用数字作答）
【答案】/
【解析】展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，即，所以，
因此展开式的通项为，
当，即时，对应项为常数项，
即.
故答案为：.
例90．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为 ．
【答案】
【解析】的展开式中第3项的二项式系数为，15，解得，，
令，得到展开式中所有项系数之和为．
故答案为：
例91．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知多项式，则 ， .
【答案】 1 23
【解析】根据题意，令时，则，
令时，，
由于，为展开式中项的系数，
考虑一次项系数：
所以，
故答案为：1，.
例92．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）在二项式的展开式中，第6项系数最大，则 ，其常数项为 .
【答案】 5； 210.
【解析】本题先利用二项式的展开式的通项公式求出通项并判断项的系数与二项式系数相等，根据展开式的中间项的二项式系数最大，可得；再令通项的的次数为0，求出常数项即可.二项式的通项为：，
故二项式展开式项的系数与二项式系数相等，又因为第6项系数最大，所以，
令，解得：，
所以二项式的展开式中常数项为：，
故答案为：5；210.第7章 计数原理 章末题型归纳总结
目录
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理
经典题型二：相邻问题的排列问题
经典题型三：不相邻的排列问题
经典题型四：分组分配问题
经典题型五：隔板法
经典题型六：几何计数问题
经典题型七：代数中的计数问题
经典题型八：涂色问题
经典题型九：二项展开式问题
经典题型十：系数与系数和问题
经典题型十一：整除与余数、近似计算问题
经典题型十二：杨辉三角问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理
例1．（2024·江西九江·高二九江市同文中学校考期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ）
A．30个 B．42个 C．41个 D．39个
例2．（2024·江西·高二江西省安义中学校联考期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．90种 B．30种 C．14种 D．11种
例3．（2024·河南·高二校联考期末）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种 C．7种 D．9种
例4．（2024·山东德州·高二统考期末）已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例5．（2024·广东深圳·高二校考期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例6．（2024·江西赣州·高二统考期末）阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ）
A．50 B．60 C．125 D．243
经典题型二：相邻问题的排列问题
例7．（2024·北京西城·高二期末）2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
例8．（2024·全国·高二假期作业）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
例9．（2024·新疆伊犁·高二统考期末）为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一 高二 高三年级分别有1名 2名 3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．144种
例10．（2024·广东江门·高二校考期末）某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
例11．（2024·甘肃临夏·高二校考开学考试）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．20种
例12．（2024·贵州毕节·高二校考阶段练习）高二年级组在一次考试后，年级总分排名前6名的同学站成一排照相，若排名为第一名与第二名的同学不站两端，第三名与第四名同学要站在一起，则不同站队方法的种数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
经典题型三：不相邻的排列问题
例13．（2024·湖南永州·高二统考阶段练习）5人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是（ ）
A．48 B．72 C．96 D．144
例14．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
例15．（2024·高二校考单元测试）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）
A．36种 B．60种 C．72种 D．80种
例16．（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（ ）
A．72 B．144 C．288 D．156
例17．（2024·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁、戊5位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）．
A．3600 B．1440 C．720 D．480
例18．（2024·河南安阳·高二统考期末）2023年5月份开始，为防范社会风险，更好服务群众，某地公安局推出社区民警“驻村”工作模式，要求民警每周一到周五，把值班地点挪到村子中，该地某派出所计划下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流“驻村”，每名民警安排1天值班，则甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有（ ）
A．58种 B．60种 C．72种 D．78种
经典题型四：分组分配问题
例19．（2024·上海·高二上海市川沙中学校考期末）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有 种.（用数字作答）
例20．（2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 ．
例21．（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
例22．（2024·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有1人参加，则共有 种不同的安排方法.
例23．（2024·高二单元测试）将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为 （用数字作答）
例24．（2024·陕西西安·高二校考阶段练习）若将5名志愿者安排到三个学校进行志愿服务，每人只去一个学校，每个学校至少去一人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
例25．（2024·全国·高二随堂练习）填空：
（1）甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同的选修方案共有 种．
（2）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有 种．
（3）4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案共有 种．
（4）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有 种．
（5）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有 种．
经典题型五：隔板法
例26．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有 个（用数字回答）
例27．（2024·河北保定·高二校联考期末）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 .
例28．（2024·江苏·高二专题练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为 ．
例29．（2024·河北·高二校联考阶段练习）关于的方程（其中）的解共有 组.
例30．（2024·福建三明·高二统考期末）将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有个名额，则不同的分配方案种数为 .
例31．（2024·北京·高二北京市第十二中学校考期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
经典题型六：几何计数问题
例32．（2024·江西·高二统考阶段练习）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．4 B．13 C．15 D．16
例33．（2024·高二课时练习）有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）
A．70个 B．80个 C．82个 D．84个
例34．（2024·河南洛阳·高二统考期末）平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（ ）
A．14 B．48 C．91 D．420
例35．（2024·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．以上都不对
例36．（2024·高二课时练习）空间中有个点，其中有个点在同一个平面内且无三点共线，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
例37．（2024·河南郑州·高二郑州十九中校联考期末）如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（ ）个．
A．75 B．111 C．102 D．120
经典题型七：代数中的计数问题
例38．（2024·山东菏泽·高二校考阶段练习）实数2160所有正因数有 个．
例39．（2024·北京朝阳·高二北京八十中校考期末）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种．
例40．（2024·山东聊城·高二统考期末）数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 .
例41．（2024·陕西宝鸡·高二宝鸡中学校考期末）从，，，，，六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值.
例42．（2024·北京·高考真题）已知n次式项式．如果在一种算法中，计算的值需要次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：．利用该算法，计算的值共需要6次运算．计算的值共需要 次运算．
经典题型八：涂色问题
例43．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有
（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
例44．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
例45．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
例46．（2024·全国·高二假期作业）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ）
A．192 B．420 C．210 D．72
例47．（2024·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．120 B．420 C．300 D．以上都不对
例48．（2024·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（ ）种.
A．40 B．80 C．120 D．160
经典题型九：二项展开式问题
例49．（2024·江西·高二校联考期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C． D．
例50．（2024·北京海淀·高二清华附中校考期末）的展开式中x项的系数为（ ）
A． B． C．5 D．10
例51．（2024·江苏·高二假期作业）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
例52．（2024·陕西汉中·高二统考期末）展开式中的系数为（ ）
A．45 B． C． D．
例53．（2024·江苏·高二假期作业）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A． B．1215 C．135 D．
例54．（多选题）（2024·山西晋中·高二校考期末）已知则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为
B．展开式中常数项为第8项
C．展开式中有理项有3项
D．二项式系数最大的项是第7项
例55．（多选题）（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各项系数和为2
B．不含字母的项的系数和为1
C．不含字母的项的系数和为80
D．不存在这样的项
经典题型十：系数与系数和问题
例56．（多选题）（2024·广东广州·高二统考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为
例57．（多选题）（2024·河北唐山·高二校联考期末）若，则（ ）
A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为
C．奇数项的系数和为 D．
例58．（多选题）（2024·河北·高二校联考阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式中各项的系数最大的是
C． D．
例59．（多选题）（2024·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考期末）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第5项的系数最大
B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为
D．所有偶数项的二项式系数和为
例60．（多选题）（2024·江西·高二校联考期末）若，则下列等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
例61．（多选题）（2024·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例62．（多选题）（2024·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知，下列命题中，正确的有（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为 D．
经典题型十一：整除与余数、近似计算问题
例63．（2024·江苏常州·高二统考期末）若能被13整除，则m的最小正整数取值为 ．
例64．（2024·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末）设，且，若能被15整除，则 .
例65．（2024·江苏镇江·高二统考期末）今天是第一天星期一，则第天是星期 .
例66．（2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）若，则除以7的余数是 .
例67．（2024·安徽阜阳·高二安徽省太和第一中学校考期末）若，且，，且，则 ．
例68．（2024·高二课时练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
例69．（2024·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是 ．
经典题型十二：杨辉三角问题
例70．（2024·山东·高二校联考阶段练习）展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其性质是以下各行每个数是它正上方和左 右两边三个数的和（不足3个数时，用0补上），则的展开式中，项的系数为 .
例71．（2024·辽宁本溪·高二校考期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
例72．（2024·北京东城·高二东直门中学校考期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.
杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为.请写出一条其他的性质，用组合数表示为： .从杨辉三角蕴含的规律可知： .
例73．（2024·安徽滁州·高二校考期末）如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则 ．
例74．（2024·四川资阳·高二统考期末）杨辉是我国南宋时期数学家，在其所著的《详解九章算法》一书中，辑录了图①所示的三角形数表，这比欧洲早500多年．杨辉三角本身包含很多性质，并有广泛的应用．借助图②所示的杨辉三角，可以得到，从第0行到第行：第1斜列之和；第2斜列之和．类比以上结论，并解决如下问题：图③所示为一个层三角垛，底层是每边堆个圆球的三角形（底层堆积方式如图所示），向上逐层每边少1个，顶层是1个．则小球总数 ．
例75．（2024·江苏连云港·高二统考期末）如图，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，记这个数列的前项和为，则的值为 .
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想
例76．（2024·河南·模拟预测）某惠民医院开展“关爱健康，守护生命，服务老人”的义诊活动，需要临时从某科室中抽调3名医护人员，已知该科室现共有3名医生和4名护士.为了保障医院工作正常运作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有（ ）
A．72种 B．36种 C．30种 D．18种
例77．（2024·全国·模拟预测）的展开式中含项的系数为（ ）
A．1984 B．960 C．660 D．704
例78．（2024·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
例79．（2024·海南省直辖县级单位·高二校考期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．72种
例80．（2024·北京·统考模拟预测）展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
②转化与化归思想
例81．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设，则
例82．（2024·江苏宿迁·高二宿迁中学校考期中）化简： ．
例83．（2024·天津河西·高二统考期中）若，则 ．
例84．（2024·山东泰安·统考模拟预测）若，则 .
例85．（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种
例86．（2024·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）有6个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，那么钥匙的放法有 种．
③特殊到一般思想
例87．（2024·天津静海·高三校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）
例88．（2024·高二课时练习）从正方体ABCD A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为 ．
例89．（2024·广东深圳·深圳市光明区高级中学校考模拟预测）若二项式的展开式的第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式的常数项是 .（用数字作答）
例90．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为 ．
例91．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知多项式，则 ， .
例92．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）在二项式的展开式中，第6项系数最大，则 ，其常数项为 .
