第7章 计数原理单元综合能力测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A．90 B．180 C．220 D．360
【答案】C
【解析】小明选取节气的不同情况的种数为.
故选：C
2．的展开式中常数项为第（ ）项
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】的通项为，令有.
故的展开式中常数项为第5项.
故选：B
3．北京时间2023年10月26日19时34分，神州十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神州十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．504种 B．432种 C．384种 D．240种
【答案】A
【解析】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，
故总共有种排法.
故选：A.
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展开式的通项为，
则的展开式中含项为，
即的系数为.
故选：A.
5．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（ ）种．
A．120 B．240 C．480 D．960
【答案】C
【解析】从8个车位里选择5个相邻的车位，共有4种方式，
即选，
选一种方式将5辆车相邻停放，有种方式，
则不同的泊车方案有种，
故选：C.
6．在二项式的展开式中，所有项的系数之和记为，第项的系数记为，若，则的值为（ ）
A． B．2或 C．2 D．或
【答案】D
【解析】在二项式的展开式中，所有项的系数之和为，
第项的系数，则，
由，得，即，解得或，
所以或.
故选：D
7．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
【答案】A
【解析】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，
① 当,颜色相同时涂色方法数是：，
② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，
满足题意的涂色方法总数是：．
故选：A．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知通项公式，
所以，
同时，
上述两式相加得
，
所以，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对A：由组合数性质：可知，A正确；
对B： ，故B错误；
对C：，
，故，C错误；
对D：
，故D正确.
故选：AD.
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确；
B：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确；
C：因为，
所以项的系数，
D：对已知等式，两边同时求导，得，在该式中，令，则有，所以本选项正确，
故选：ABD
11．甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有种排法 B．若甲不排第一个共有种排法
C．若甲与丙不相邻，共有种排法 D．若甲在乙的前面，共有种排法
【答案】ACD
【解析】甲、乙、丙等人排成一列，
对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，
共有种排法，A对；
对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，
共有种，B对；
对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，
然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，
所以，共有种排法，C对；
对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，
然后将其余个人全排，共有种排法，D对.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 .
【答案】
【解析】令得，所以.
故答案为：
13．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 ．
【答案】22
【解析】依据题意，办法有类，若6个数字中有个0，故有种，若6个数字中有个0，故有种，
若6个数字中有个0，故有种，由分类加法计数原理得共有种.
故选：22
14．若，则 ．
【答案】
【解析】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：
个 个 个
0 5 0
1 3 1
2 1 2
由上表可知.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知的展开式中的所有二项式系数之和为．
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项．
【解析】（1）展开式中所有二项式系数之和为，解得．
（2）由（1）知
所以展开式通项为，
令，解得，则，
所以展开式中的常数项为．
16．（15分）
根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
(1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
【解析】（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法，
将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有种坐法．
（2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法，
再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有种坐法．
17．（15分）
已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是．
(1)求实数a的值；
(2)求的值（结果可保留幂的形式）．
【解析】（1）（1）二项式的展开式中含的项为，
∴，
则，
又，解得．
（2）由（1）可得，
令，则①，
令，则②，
∴由① ＋② 可得：；
由① －② 可得：．
∴.
18．（17分）
请用二项式定理解决下列问题，写出必要的过程：
(1)求除以100的余数；
(2)证明：（，且）．
【解析】（1），
由展开式可知，前100项都能被100整除，最后一项是，
而
其展开式的前100项都能被100整除，最后一项是，
所以除以100的余数是1；
（2）因为
，
即，故，即原不等式成立．
19．（17分）
设数列，为的满足下列性质的排列的个数，性质T：排列中仅存在一个，使得．
(1)求的值，并写出时其中一种排列的情形．
(2)若，求满足性质的所有排列的情形．
(3)求数列的通项公式．
【解析】（1）由性质的定义可知：当时，由1构成的排列不满足性质，故；
当时，由构成的排列满足性质，故；
当时，由构成的所有排列为：
其中满足仅存在一个，使得的排列有：
，从中任选一个即可；
（2）若，由构成的所有种排列中，
符合性质的排列有：
，故；
（3）由（1）、（2）可得：，同理可得：；
∴归纳出，
证明：∵在的所有排列中，
若，，从个数中选个数，
从小到大排列为：，
其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置，
∴满足题意的排列个数为，
若，则满足题意的排列个数为，
综上：，即，
∴
＝
，
故数列的通项公式为．第7章 计数原理单元综合能力测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A．90 B．180 C．220 D．360
2．的展开式中常数项为第（ ）项
A．4 B．5 C．6 D．7
3．北京时间2023年10月26日19时34分，神州十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神州十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．504种 B．432种 C．384种 D．240种
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（ ）种．
A．120 B．240 C．480 D．960
6．在二项式的展开式中，所有项的系数之和记为，第项的系数记为，若，则的值为（ ）
A． B．2或 C．2 D．或
7．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有种排法 B．若甲不排第一个共有种排法
C．若甲与丙不相邻，共有种排法 D．若甲在乙的前面，共有种排法
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 .
13．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为 ．
14．若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知的展开式中的所有二项式系数之和为．
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项．
16．（15分）
根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
(1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
17．（15分）
已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是．
(1)求实数a的值；
(2)求的值（结果可保留幂的形式）．
18．（17分）
请用二项式定理解决下列问题，写出必要的过程：
(1)求除以100的余数；
(2)证明：（，且）．
19．（17分）
设数列，为的满足下列性质的排列的个数，性质T：排列中仅存在一个，使得．
(1)求的值，并写出时其中一种排列的情形．
(2)若，求满足性质的所有排列的情形．
(3)求数列的通项公式．
