第6章 空间向量与立体几何单元综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；
对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；
对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确；
对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.
故选：D
2．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量，，
，，
向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：D.
3．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】连接，是的中点，，
，.
故选：B
4．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.
故选:C．
5．如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，过点作于点，如下图：
则垂直于平面．
设点的横坐标为，则由正方体体对角线的性质可得点的纵坐标也为，
由正方体的棱长为，得，
因为，所以，所以，
又因为，
所以，
所以当时，最小，此时点的坐标为.
故选：D．
6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，
得，于是，
由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.
故选：C
7．已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】已知等腰直角三角形,点是中点，则,
沿着翻折平面可得,
所以,
又,平面，
所以平面,
不妨设,则，
以为基底的空间向量，
所以，则
所以，
因为是异面直线，所以异面直线的余弦值为.
故选：B
8．阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为.
同理可知，与分别为平面与的一个法向量.
设直线的方向向量为，则，
不妨取，则.设直线与平面所成的角为，
则.
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
【答案】ACD
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确.
故选：ACD.
10．已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，，
且，则与不共线，A错；
对于B选项，，
所以，，所以，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选：BCD.
11．已知正方体的棱长为1，则（ ）
A．与平面所成角的正弦值为
B．为平面内一点，则
C．异面直线与的距离为
D．为正方体内任意一点，，，，则
【答案】BCD
【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，
对于A中，由，设平面的法向量为，
则，取，可得，所以，
又由，设与平面所成角为，则，
即与平面所成角的正弦值为，所以A错误；
对于B中，在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，即在直线上的射影为，
所以，所以B正确；
对于C中，由，设平面的法向量为，
则，取，可得，所以，
因为，且平面，平面，所以平面，
所以异面直线与的距离，即为直线到平面的距离，
又由，可得，所以C正确；
对于D中，设点，其中，可得，
且，
则，，，则，所以D正确.
故选：BCD.
12．已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，其中，
对于A：，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，故.
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
故.故，而二面角为锐二面角，
故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故A错误.
对于B：，故，即，故B正确.
对于C：由在正方形内部，且，
若分别是上的点，且，此时，
由图知：O在上，即O在以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，
所以点轨迹的长度为；故C正确.
对于D：设直线与平面所成的角为.
因为平面，故为平面的法向量，
而，
故，
而，
故，故D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量 ， 且， 则实数 ．
【答案】5
【解析】因为 ， 所以存在实数， 使得，即 ，
所以 ，解得，，，所以
故答案为：5
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则 .
【答案】
【解析】
如图，由题意可以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,
因M为AB的中点，N为PD的中点，故,于是,，则.
故答案为：.
15．在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 .
【答案】/
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，所以，
而平面，平面，故平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.
又，，
设平面的法向量为，
故，即，取，则，
又，
故点到平面的距离为.
故答案为：.
16．如图，四面体的每条棱长都等于，分别是上的动点，则的最小值是 ，此时 ．
【答案】
【解析】由题意可知，三个向量两两间的夹角为，
当分别是的中点，取得最小值，理由如下，
因为分别是的中点，，
则
，
所以，同理可证，
由异面直线公垂线的性质可知，此时取得最小值，
此时，，
所以，
又，，，，
，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求的值；
(2)证明：C，E，F，G四点共面.
【解析】（1）∵，
∴，，，，
∴，，
∴.
（2）证明：由（1）得：，
令，即，解得
∴.
故C，E，F，G四点共面.
18．（12分）
如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．
(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
【解析】（1）由题意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的长为，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即与夹角的余弦值为．
19．（12分）
已知空间三点，设．
(1)若，，求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与互相垂直，求k．
【解析】（1）因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
（2）因为
所以与的夹角的余弦值为；
（3）因为与互相垂直，
所以
或.
20．（12分）
如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.
(1)若M 为CE的中点，
(i) 求证: 平面
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.
(2)若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 试确定点M在EC上的位置.
【解析】（1） DA⊥平面 EAB，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，，，，
M 为CE的中点，，N 为BE的中点，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
(i) ，
，
又平面，
平面；
(ii) ，平面的法向量为，
点F 到平面MBD的距离为：；
（2）由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，，
，，
点坐标为
设平面MBD的法向量为，
则，即，令，得.
DA⊥平面 EAB ，平面 EAB
又，，平面ABD，平面ABD，
平面ABD，
平面ABD的一个法向量为
平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 ，
，解得或
点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
21．（12分）
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.
【解析】（1）取中点为，连接，
因为，且，，，所以,
又因为平面，平面，
所以,
所以以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
,
所以，令则，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
（2）,
所以点到平面的距离为.
（3）存在，，理由如下
设上存在一点，设，，
，
又因为直线与平面所成角的正弦值为，
由（1）知平面的一个法向量为，
所以：，解得，
又因为，所以：，故存在，且.
22．（12分）
如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是．
(1)求三棱柱的体积；
(2)若点是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值．
【解析】（1）如图，取和得中点和，连接，，取的中点，连接，
因为，所以，因为侧面是正方形，所以，，所以，
因为平面平面，所以为二面角的平面角，
因为二面角的大小是，所以，
因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，所以为等边三角形，所以，且，
因为，，且平面，平面，且两直线相交，所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，平面，且两直线相交，所以平面，
所以.
（2）取中点，连接，所以，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题可得，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，所以，
因为点在线段上，所以，
所以，
直线与平面所成角为，
则
所以当，即时， 有最大值，所以，
所以直线与平面所成角的最大值为.第6章 空间向量与立体几何单元综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A． B． C． D．
7．已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
8．阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
10．已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正方体的棱长为1，则（ ）
A．与平面所成角的正弦值为
B．为平面内一点，则
C．异面直线与的距离为
D．为正方体内任意一点，，，，则
12．已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量 ， 且， 则实数 ．
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则 .
15．在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 .
16．如图，四面体的每条棱长都等于，分别是上的动点，则的最小值是 ，此时 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求的值；
(2)证明：C，E，F，G四点共面.
18．（12分）
如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．
(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
19．（12分）
已知空间三点，设．
(1)若，，求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与互相垂直，求k．
20．（12分）
如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.
(1)若M 为CE的中点，
(i) 求证: 平面
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.
(2)若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 试确定点M在EC上的位置.
21．（12分）
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.
22．（12分）
如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是．
(1)求三棱柱的体积；
(2)若点是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值．
