数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式 课件（共17张ppt）

(共17张PPT)
人教版必修第一册A版
2.2《 基本不等式》
（2课时）
教学目标
学习目标：1.理解与掌握基本不等式及其原理；
2.能灵活运用基本不等式求解最值问题以及证明不等式成立；
教学重点：基本不等式以及运用基本不等式求解最值问题
教学难点：运用基本不等式求解最值问题
01
复习旧知——乘法公式（导学）
1、完全平方公式
2、平方差公式
各位同学，初中我们已经学习了乘法公式，它们在代数式的运算中有着重要作用，你们还能对这些公式进行阐述吗？
01
复习旧知——问题（导学）
那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时也有着与乘法公式相类似的重要作用呢？
相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.
02
探究新知——基本不等式（互学）
1、探究
我们知道，对于
都有 成立
据完全平方公式则有
①
特别地，令
则有 ②
将②代入①：
即 (当且仅当 时等号成立)
02
探究新知——基本不等式（互学）
2、基本不等式
对于 ，都有
(当且仅当 时等号成立）
叫正数 与 的算术平均数
叫正数 与 的几何平均数
02
探究新知——基本不等式（互学）
3、注意
（1）基本不等式通常用于求解与两个正项相关的最值问题，且在实际运用中，通常变形为
对于
都有 （当且仅当时等号成立）
①对于左边 ，有最小值
②对于右边 ，有最大值
02
探究新知——基本不等式（互学）
（2)如果问题出现的两个项是实数项（即可正、可负、可零），则要运用初中学习的二次函数的图像与性质来求最值.
例1、已知 求 的最小值.
解： ∵ 已知 ∴
∴ 据基本不等式可得
（当且仅当 时等号成立）
故 的最小值为 2
例2、已知 都是正数， 求证 ：
（1）如果积等于定值 ,那么当时，和有最小值 ;
证明：∵ 已知 且
∴ 据基本不等式可得
（当且仅当 时等号成立）
故和
例2、已知 都是正数， 求证 ：
（2）如果和等于定值 , 那么当时，积有最大值 ;
证明：∵ 已知 且
∴ 据基本不等式可得
∴据同正可乘方性，两边同时求平方得
(当且仅当 时等号成立)
故积有最大值 ;
例3、(1)用篱笆围一个面积为 100 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短 最短篱笆的长度是多少
解: 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 ，，则篱笆的长度为 , 且有
∵
∴ 据基本不等式可得
∴ (当且仅当 时等号成立)
故当这个矩形菜园是边长为 10 m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.
例3、(2)用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大 最大面积是多少
解（2）：由题意可得，即
且菜园的面积为
∵
∴ 据基本不等式可得
∴
∴据同正可乘方性，两边同时求平方得
(当且仅当 时等号成立)
故当这个矩形菜园是边长为 9 m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是 81
例4、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800，深为3m.如果池底每平方米的造价为150 元,池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
解:设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 ，，水池的总造价为元,
则有
即
∵已知水池容积为4800，
∴ , 即
∵ ，∴ 据基本不等式可得
∴（可乘性）
∴（可加性）
即 (当且仅当 时等号成立)
故将贮水池的池底设计成边长为的正方形时，总造价最低，
最低总造价是297 600 元.
例5、已知 且 ,求 的最小值.
证明：∵ 已知
∴
又 ∵ 已知
∴
∴
0（可加性）
即 (当且仅当 时等号成立)
故 的最小值为16.
课堂小结
17
今天我们学习了哪些内容？
1.理解与掌握了基本不等式及其原理；
2.灵活掌握了运用基本不等式求解最值问题的方法与技巧；
18
家庭作业
1、完成《学习指导与练习》第13页题型；
2、记背今天所学习基本不等式的相关知识与课堂训练作业.