数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4向量的数量积 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
向量的数量积
向量的夹角
O
A
B
O
A
B
O
A
B
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则
叫做向量 和 的夹角．
O
A
B
三、点拨精讲(25分钟)
思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
平面向量的数量积的定义
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定
夹角
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当0°≤θ ＜ 90°时 为正；
当90°＜θ ≤180°时 为负。
当θ =90°时 为零。
数量积符号由cos 的符号所决定
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 [ 0°，180°]．
说明：
（2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写
成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
例1.已知
解：
=-10
解：由 得
因为 所以 。
A
B
C
D
A1
B1
这种变换为向量 向向量 投影，
叫做向量 在向量 上的投影向量
O
M
N
M1
叫做向量 在向量 上的投影向量
投影向量
O
M
N
M1
探究：如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 ，
那么 与 之间有怎样的关系？
当 为锐角时，
所以，
当 为直角时，
所以，
当 为钝角（如图（3））时，
即
当 时，
所以
当 时，
所以
综上，对任意的 都有
探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？
(3)当向量 与 共线同向时， ；
当向量 与 共线反向时， .
特别地， 或
(4)
θ=90
θ=0
θ=180
︱cosθ︱≤1
设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
课堂素养达标
1.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0.
所以2|a||b|cos θ+|b|2=0.
又因为|a|=|b|,所以cos θ=- ,即θ=120°.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则 = (　　)
A.16 B.-8 C.8 D.-16
【解析】选A.
3.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则 = (　　)
【解析】选D.在菱形ABCD中,
所以
=a2+a×a×cos 60°=a2+ a2= a2.
4.设非零向量a和b,它们的夹角为θ.
(1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a与b的数量积;
(2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a与b的夹角θ.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 150°=-10 .
(2)因为cos θ= = ,且0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
【课堂小结】