2023-2024学年河南省周口市太康第一高级中学高一（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

2023-2024学年河南省周口市太康第一高级中学高一（上）月考数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则等于( )
A. B.
C. D.
2.若，且，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3.若函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在上的偶函数，且当时，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知的值域为，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，定义域为的函数是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
11.已知，是第一象限角，且，则下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
12.设函数，对关于的方程，下列说法正确的是( )
A. 当时，方程有个实根
B. 当时，方程有个不等实根
C. 若方程有个不等实根，则
D. 若方程有个不等实根，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则的值为______．
14.已知函数的最小正周期是，且的图象过点，则的图象的对称中心坐标为 ．
15.如图，直角中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则 ．
16.对任意，一元二次不等式都成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，角的顶点坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的最大值和对应的取值；
求在的单调递增区间．
19.本小题分
已知定义在上的奇函数，在时，且．
求在上的解析式；
若，常数，解关于的不等式．
20.本小题分
已知函数是奇函数，且．
求，的值；
证明函数在上是增函数．
21.本小题分
已知函数．
若函数有唯一零点，求实数的取值范围；
若对任意实数，对任意，，恒有成立，求正实数的取值范围．
22.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
或，
，
．
故选：．
化简集合，求出补集，再根据交集运算求解可得结果．
本题主要考查一元二次不等式的解法，集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．
本题主要考查三角函数角象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．
【解答】
解：，且，
，
又，
角为第四象限角，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：在递增，值域是，
若的值域是，则是增函数，
故，且当时，，
即，解得：，
故选：．
根据常见函数的性质得到关于的不等式组，解出即可．
本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，考查函数的值域，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
利用对数和指数的运算求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题．
【解答】
解：，，
，，
，，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：依题意，当时，时，在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，即有在上单调递减，且它的图像关于轴对称，
对任意实数，都有恒成立，
所以，
于是得，两边平方整理得，
令，
因此，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：．
探讨给定函数在上的单调性，结合偶函数的性质脱去法则“”，再借助一次函数的性质求解作答．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及恒成立问题，也考查了转化思想，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：若对任意的实数都有成立，
则函数在上为减函数，
函数，
故，
解得：，
故选：．
由已知可得函数在上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数的取值范围．
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
7.【答案】
【解析】解：当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为，
因此函数在上的取值集合包含，
当时，函数在上的值为常数，不符合要求，
当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，
于是得，函数在上单调递增，取值集合是，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
求出函数在上的取值集合，再根据给定的值域确定函数在上的取值集合，列式求解作答．
本题主要考查了分段函数性质的应用，还考查了函数值域的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：当时，，，
所以，
当时，单调递减，
所以；
综上，
所以函数的值域为．
故选：．
根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数的值域，再根据高斯函数的定义求出的值域即得．
本题主要考查分段函数的应用，函数的值域，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，函数的定义域为，符合题意；
对于，函数的定义域为，不符合题意
对于，函数的定义域为，符合题意；
对于，函数的定义域为，不符合题意．
故选：．
根据基本初等函数的定义域逐项分析即得．
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，
，
，
，
，
，故A正确；
对于，当，，，时，有，，
但此时，，，故B错误；
对于，当，，时，有，，
但此时，，，故C错误；
对于，，
，
，
，
，
由不等式的同向可加性，
由和可得，故D正确．
故选：．
通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可．
本题主要考查等式与不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，是第一象限角，且，
当，时，，
此时，所以A错误；
易知，所以，
又因为，即，所以，即C正确；
又因为，所以，
因此，即，故B正确；
取，，则，所以不成立．
故选：．
由题意可知，利用特殊值可以排除选项，再根据同角三角函数的基本关系判断即可．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由函数可知，图象如下：
对于，当时，
方程即为，
即，所以，
而，由图可知与有三个交点，即方程有个不同的实根．故A正确；
对于，当时，方程为，即，
解得或，
时，由图可知与有三个交点，即此时方程有个不同的实根，
时，由图可知与有两个交点，即此时方程有个不同的实根，
综合可知，当时，方程有个不等实根；即B正确；
对于，令，则方程等价成，
由图可知，若方程有个不等实根，包括以下三种情况，
方程只有一根，且
则，即或
由可知，时不合题意，舍去，
当时，此时，方程只有一根，不合题意，
方程只有一根，且，
由知，此时也不符合题意，
方程有两个不相等的实数根，且，或，或，，
令，
若，，需满足，解得，不合题意；
若，，需满足，解得，即，
若，，需满足，解得，不合题意；
综上可知，若方程有个不等实根，则；故C错误；
对于，若方程有个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且，，
则需满足解得，
即可得，故D正确．
故选：．
根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究的根的个数，对选项逐一判断即可．
本题主要考查了分段函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为．
故答案为：．
根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，考查运算求解能力，属于中档题．
根据已知，求出，的值，得到函数的解析式，结合正弦函数的对称性，可得答案．
【解答】
解：函数的最小正周期是，
，可得，
的图象过点，可得，
，，
，，
，
故，
，
由，，
得，，
故的图象的对称中心坐标为 ．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论．
【解答】
解：设扇形的半径为，
则扇形的面积为，直角三角形中，，
的面积为，由题意得，
，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：因为对任意，一元二次不等式都成立，
所以，
解得，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
由二次不等式恒成立结合图象求解即可．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：由题知角终边经过点，
，
，，，
；
由知，
则原式．
【解析】根据角终边经过点，得出，，的值，即可求出；
根据诱导公式进行化简，代入角的三角函数值即可．
本题主要考查了任意角三角函数的定义，考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题．
18.【答案】解：因为函数，
所以的最小正周期为；
因为，
由，可得，
当时，函数取最大值；
由，可得，
又，
取，即函数在的单调递增区间为．
【解析】本题主要考查了正弦型函数的图象和性质，属于基础题．
根据正弦型函数的周期公式即得；
根据正弦函数的图象和性质即得；
根据正弦函数的单调性结合条件即得．
19.【答案】解：是上的奇函数且时，，
当时，，
又为奇函数，
，
，
又，，
，
综上所述，当时，；
时，，
当时，，，即，
，
设，不等式变为，
，
，
，
而当时，，且，
又在上单调递增，
，
，
，即，
，
综上可知，不等式的解集是．
【解析】根据奇函数定义以及函数在上的解析式，结合即可写出在上的解析式；
将不等式转化成，再利用换元法以及，解出的取值范围即可得不等式的解集．
本题主要考查函数奇偶性，考查计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数是奇函数，，
，
，
，
又，，
．
证明：由得，
任取，，且，
，
，，，，
，即，
函数在上是增函数．
【解析】由奇函数的性质可知，可求出的值，再利用可求出的值．
利用定义法证明函数的单调性即可．
本题主要考查了奇函数的性质，考查了函数单调性的判断与证明，属于基础题．
21.【答案】解：函数有唯一零点，
即有唯一零点，即有唯一零点，
当时，，解得，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，其，当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；
当时，，方程有两个不等的实数根，；
若为的解，则，解得；
若为的解，则，解得；
要使有唯一实数解，则．
综上，实数的取值范围为．
函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数，
由复合函数性质知为上的减函数，，，
不等式转化为，
即转化为，
即
令，，即．
二次函数对称轴为，由，开口向上，
当时，，函数在上单调递减，，解得，不符合题意，舍去；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，即，解得，
即；
当时，，函数在上单调递增，，解得，
即；
综上可知，正实数的取值范围．
【解析】将函数有唯一零点转化成方程有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；
由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于即可求得正实数的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题．
22.【答案】解：对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”；
因为在递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故；
若，故在上最小值，此时不存在，舍去；
若故在上单调递减，从而，解得舍或，
从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，由，
得，由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
故实数的最大值为．
【解析】本题考查新定义，给出“依赖函数”的定义，先要读懂这个定义，根据定义解决问题；本题还涉及多参数的恒成立、有解问题．
举反例说明问；
由“依赖函数”的定义结合函数单调性分析出，的关系，然后求的范围；
由为“依赖函数”对的范围进行分类讨论，得出的值，再解决多变量的恒成立，有解问题．
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