2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是偶函数且满足“对任意，，都有”的函数是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象如图，则其解析式为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中是假命题的为( )
A. ，使 B. ，使
C. ， D. ，
10.若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.设，，均为不等于的正实数，则下列等式中不成立的是( )
A. B.
C. D.
12.为了得到函数的图象，下列变换正确的是( )
A. 将函数的图象向右平移个单位长度
B. 将函数的图象向右平移个单位长度
C. 将函数的图象向左平移个单位长度
D. 将函数的图象向左平移个单位长度
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知，则的值为______．
14.已知函数，则函数的零点为 ．
15.若且在区间上是增函数，则的取值范围是______．
16.已知，且，则 ______．
四、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值：
Ⅰ已知且是第三象限角，求与的值；
Ⅱ．
18.本小题分
Ⅰ已知集合，若，求的取值范围；
Ⅱ已知关于的不等式的解集为，试求关于的不等式的解集．
19.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
求函数的解析式；
若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，求函数的值域；
Ⅱ若，且是第一象限角，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】
解：，
或，
则，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：不等式整理可得，
可得不等式的解集为．
故选：．
直接分解因式，可得不等式的解集．
本题考查二次不等式的解集的求法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数，
则，
故．
故选：．
依次将的值代入函数解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由基本初等函数是的性质可知，不是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故A、、均错误；
令，则为偶函数，且当时，为增函数，符合题意，D正确．
故选：．
利用函数奇偶性的性质判断可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：由，，
可得，
则．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意，“”是“”的充分而不必要条件．
故选：．
根据充分而不必要条件的定义判断．
本题考查充分而不必要条件的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数的定义域为：，函数是连续函数，
．
，
由函数零点判定定理可知，函数的零点所在的大致区间是．
故选：．
利用函数的零点判定定理，化简求解即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
8.【答案】
【解析】解：由题意，且，
而，，
可得，
由五点法作图可得，
可得，
所以函数的解析式为
故选：．
由函数的图象可知的值，由过的点，，可得周期，进而可得的值，再将点代入由五点法作图可得的值，即求出函数的解析式．
本题考查由三角函数图象求三角函数的解析式的方法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则，，不存在，满足，该命题为假；
对于，，则，则不存在，满足，该命题为假；
对于，当时，不满足，该命题为假；
对于，，都有，该命题为真．
故选：．
根据题意，分析选项中命题是否正确，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，注意全称命题和特称命题的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，
当且仅当即时等号成立，
由任意，恒成立，所以，
符合条件有，，，故A、、对；，故B错．
故选：．
利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，A正确；
对于，，所以不正确；
对于，，所以不正确；
对于，，所以不正确；
故选：．
通过对数的换底公式以及对数运算公式、，判断选项即可．
本题考查对数的运算法则，基本知识的考查，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象解析式为，故A对；
对于，因为，
则将其图象图象向右平移个单位长度得到的图象解析式为：
，故B对；
对于，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为：
，故C错；
对于，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为：
，故D错．
故选：．
由三角函数图象变换法则依次对每一选项进行分析判断．
本题考查了三角函数图象变换，属于基础题．
13.【答案】，．
【解析】解：因为，
所以，
所以，或，
当时，，
当时，，
故答案为：，．
利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，或，进而根据二倍角公式即可求解的值．
本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于基础题．
14.【答案】和
【解析】解：令，得，
当时，令，得；
当时，，
因为，都是增函数，
所以在区间上单调递增，又，所以，
故函数的零点为和．
故答案为：和．
先将函数的零点问题转化为方程的根的问题，再分类讨论方程的根的情况计算可得答案．
本题主要考查函数的零点，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：且在区间上是增函数，
，解得．
故的取值范围是．
故答案为．
由于且在区间上是增函数，利用复合函数和对数函数的单调性可得，解得的取值范围即可．
本题考查了复合函数和对数函数的单调性，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，，
则．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ因为且是第三象限角，
所以，；
Ⅱ
．
【解析】结合同角基本关系即可求解；
Ⅱ结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ集合，，
因为，所以，
即的取值范围为；
Ⅱ关于的不等式的解集为，
所以，是方程的两个根，
所以，解得，，
所以不等式的解集为．
【解析】Ⅰ由两个集合交集不是空集，可得的范围；
Ⅱ由已知不等式的解集，可得方程的根，进而求出，的值，可得所求不等式的解集．
本题考查二次不等式的解集的求法及不等式与方程之间的转化，属于基础题．
19.【答案】解：由图可知，解得，
设，则，
函数是定义在上的偶函数，
，
，
；
作出函数的图象如图所示：
，
由图可知，当时，关于的方程的根的个数为；
当或时，关于的方程的根的个数为；
当时，关于的方程的根的个数为；
当时，关于的方程的根的个数为．
所以的取值范围为：．
【解析】根据偶函数的定义求出时的函数解析式即可．
对参数分类讨论，借助数形结合的方法求得结果．
本题考查了函数的奇偶性和数形结合思想，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ
，
因为，
所以，
所以的值域为；
Ⅱ，
因为是第一象限角，，
所以，
所以，
．
【解析】Ⅰ利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用正弦函数的性质即可求解；
Ⅱ由，是第一象限角，即，从而，再由，能求出结果．
本题考查三角函数的化简，考查三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查运算求解能力，是中档题．
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