2023-2024学年黑龙江省大庆铁人中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆铁人中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
2.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.设，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，，则，，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数
8.函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增
10.下列结论中正确的是( )
A. 若函数，且，则
B. 为偶函数，则的图象关于对称
C. 若函数与图象的任意连续三个交点构成边长为的等边三角形，则正实数
D. 若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是
11.已知函数，若，且，则( )
A. B.
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则的最小值为______．
13.函数，的值域是______．
14.已知，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的值域．
Ⅱ求不等式的解集．
Ⅲ当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？直接给出答案即可，无需说明理由
16.本小题分
设．
求的值及的单调递增区间；
若，，求的值．
17.本小题分
已知函数且．
求的定义域；
若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦：是自然对数的底数，
解方程：；
求不等式的解集；
若对任意的，关于的方程有解，求实数取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
若的值域为，求满足条件的整数的值；
若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当，则和无意义，得不出，所以充分性不成立，
当时，则，可以得出，则必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
根据对数的性质以及充分，必要条件的定义即可求解．
本题考查了充分，必要条件的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数的连续增函数，，，
可得，
函数的其中一个零点所在的区间是，
故选：．
根据函数零点的判定定理进行判断即可．
本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
先对原式进行常数分离，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：，则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：函数，
令，；
解得，；
所以时，；
所以函数在区间上单调递减，A错误；
又函数的最小正周期为，所以B错误；
当时，；
所以函数的图象关于点对称，C正确；
正切型函数不成轴对称，所以D错误．
故选：．
化函数，根据正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．
本题考查了正切型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题，
即，
化简得或，
因为，所以，
．
故选：．
根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案．
本题考查两角和与差的正切公式、倍角公式的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，，，，
，
，
又，
，
故，
故选：．
由，，可判断，作差法可判断，结合对数函数的单调性可判断．
本题考查了指数函数与对数函数单调性的应用及作差法的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：令、，则有，
又，故，即，
令，，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
令，则有，即，
故函数是奇函数，
有，即，即函数是减函数，
令，有，故B正确、C错误、D正确．
故选：．
利用赋值法检验选项A，，结合函数的奇偶性及单调性检验选项C，．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的判断，还考查了赋值法求解抽象函数的函数值，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数，
由题意知，，，，
两式相减可求得，，，即，，
因为在上单调递减，
所以，
所以，且，，
解得，所以，，，
时，，此时，符合题意；
时，，此时，不满足在上单调递减，不符合题意；
时，，此时，符合题意；
所以符合条件的值之和为．
故选：．
由题意列方程组求出的值，再利用函数的单调性确定的值，从而求得符合条件值之和．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，
所以的最小正周期，A错误；
当时，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，所以的图象关于点对称，C正确；
当时，，所以在上不具有单调性，D错误；
故选：．
利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质判断即可．
本题主要考查了辅助角公式，正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，则，又，则，故A错误．
对于，由为偶函数，可得，
所以，则的图象关于对称，故B正确；
对于，作出函数与的图像，
设两图像任意相邻的三个交点分别为，，，如图所示．
由题意可知为等边三角形，且，
所以函数的最小正周期．
因为，且为正实数，所以．
对于，当时，，
因为，函数在区间上单调递减，
所以，所以，即，
当时，，
因为，在区间上存在零点，
所以，解，综上：，不符合．
故选：．
，项利用函数的性质即可得；项根据正弦函数，余弦函数的对称性即可得；项，结合余弦函数图象的性质即得．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，是中档题．
画出函数的图象，利用已知条件推出，，，的范围，由得；由，得，然后判断选项的正误即可．
【解答】
解：可画出函数图象，
据题意有，
由得；
由，
得；；
．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由，故A，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值为．
故答案为：．
由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：令，则有，
故函数，
当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为，
故函数的值域为，
故答案为：
令，则函数即，再利用二次函数的性质求得函数的值域．
本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因，
则，
因函数，均在上单调递增，
则函数在上单调递增，
故有：，
设，其中，
则，
当且仅当时取等号，
则此时，得，
又函数在时单调递减，在时单调递增，
，则，
此时，．
故答案为：．
由，通过研究函数单调性可得，后设，则，其中，，再结合二次函数的单调性求解即可．
本题考查了转化思想、三角函数的性质、不等式的性质、二次函数的性质，属于中档题．
15.【答案】解：Ⅰ函数
，
因为，所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值．
所以的值域为；
Ⅱ即，
解得，
可得，，
所以解集为，；
Ⅲ在内的图象如右图所示：
当时，，
由，可得和，
即，，，，，
所以关于的方程在内的实根最多，最多有个．
【解析】Ⅰ将化为关于的函数，再通过配方和余弦函数的值域，由二次函数的值域求法，可得所求值域；
Ⅱ通过因式分解和余弦函数的图象可得所求解集；
Ⅲ结合在内的图象，以及，即可得到所求结论．
本题考查函数的值域和不等式的解集，以及方程的解的个数，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16.【答案】解：函数
，
令，则，
令，
解得，，
则函数的单调递增区间为，；
因为，
所以，因为，所以，
则，
则
．
【解析】利用余弦的倍角公式以及辅助角公式化简函数的解析式，令，代入函数解析式化简即可求解，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换思想即可求解；利用的范围以及正余弦的平方关系求出的值，然后根据化简即可求解．
本题考查了三角函数的单调性以及两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生运算转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，得或，
的定义域为；
令，
函数在上单调递减，则在上为增函数，
又，
在上为减函数，
函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，
函数在上的值域为，
的范围是；
假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得，
又由知在上为增函数，在上为减函数，
则在上为减函数，得，
即在上有两个互异实根，
由，
即，有两个大于的相异零点，
则，
结合，故存在这样的实数符合题意．
【解析】根据对数函数的真数大于求解即可；
先判断函数的单调性，再利用单调性求出函数的值域即可得解；
假设存在，由复合函数单调性法则确定函数单调性，利用单调性计算值域，根据方程有两不等根建立不等式组求参数取值范围．
本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
18.【答案】解：，
故所求解为．
因为，恒成立，故是奇函数；
又因为在上的单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，
所以原式等价于，
即所求解集为；
因为是上单调递增函数，
所以当时，成立；
又因为，等号成立当且仅当，
而当趋于时，趋于，
所以函数的值域为，
所以若关于的方程有解，
只需对任意关于都成立，
故只需，
即．
【解析】直接根据定义，利用换元法解一元二次方程，再解指数表达式即可；
探究函数的单调性、奇偶性，进一步利用这些性质解不等式即可；
当时，，而函数的值域为，所以只需即可求解．
本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性、单调性，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：因为函数的值域为，
所以函数的值域包含，
，
当时，，其值域为，不满足条件，
当时，令，，
则函数的对称轴为，
当时，，
即的值域为
所以，解得，
当时，，则函数的值域为，
即函数的值域为，不满足条件，
综上所述，，所以满足条件的整数的值为；
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，即，解得或，
由函数不是常数函数，所以，
经检验，符合题意，所以，即，
由
得
只要即可，
当时，
所以函数，则，
，
令，因为，所以，
函数，
当时，，
则时，恒成立，符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，
所以，不等式组无解；
当，即时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为．
【解析】根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可．
本题考查了不等式能成立问题和恒成立问题，函数的奇偶性，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
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