2023-2024学年苏科版七年级数学下册第8章幂的运算单元综合测试卷（含答案解析）

2023-2024学年七年级数学下册单元综合测试卷
第8章《幂的运算》
考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．计算x3.x2，正确的结果是（ ）
A．x5 B．x6 C．x7 D．x8
2．下列运算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果，那么m、n的值是（ ）
A．，B．，C．．D．，
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．化简：=．
8．填空：，．
9．计算：．
10．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有克左右，用科学记数法可表示为．
11．若，则x的值为．
12．已知，，则的值为．
13．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；若，则，那么．
14．已知的三边分别为3，，7，且a为偶数，则代数式的值为．
15．已知，，则用含x的代数式表示y，结果为．
16．若x满足，则整数x的值为．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．计算：
（1）；（2）．
19．规定．
（1）求；
（2）若，求的值．
20．先化简，再求值：
（1），其中
（2），其中
21．将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．
（1）求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示）
（2）如果一列火车总共运送了块大理石，每块大理石约重千克，请问这列火车总共运送了约重多少千克的大理石？（结果用科学记数法表示）
22．如果，那么我们规定．例如；因为，所以．
（1）根据上述规定填空：______，______；
（2）记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由．
23．（1）已知、为正整数，求的值；
（2）已知，求的值．
24．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
（1）填空：当，时，__________；
（2）若，，求的值．
25．观察下列运算过程：
，
，
（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：______；______；
（2）仿照（1）中的规律，判断与的大小关系；
（3）求的值．
26．阅读下列材料
若，则a，b的大小关系是a_____b（填“<”或“>”），
解：因为，所以所以，
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
（2）已知，试比较x与y的大小关系．
（3）已知，比较a，b，c的大小关系．
27．定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．
一般地，把记作：，读作“的圈次方”，特别地，规定：．
另外我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
（1）直接写出计算结果：，；
（2）请把有理数的圈次方写成幂的形式：；
（3）计算：．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．A
【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此即可求解．
【详解】解：原式=x3+2=x5，故选：A
2．A
【分析】本题重点考查了幂的运算，掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键．将各数化简即可求出答案．
【详解】解：，，，，
∵，∴最大，故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查整式的计算，A、利用同底数幂相乘的原则进行判断即可； B、根据积的乘方计算法则进行判断即可；C、根据合并同类项的原则进行判断即可； D、根据同底数幂相除的原则进行判断即可．
【详解】A. ，计算错误，故本项不符合题意；
B. ，计算正确，故本项符合题意；
C. ，计算错误，故本项不符合题意；
D. ，计算错误，故本项不符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查的是幂的乘方运算，根据幂的乘方运算可得，再建立简单方程求解即可，熟记幂的运算法则是解本题的关键．
【详解】解：∵，∴，∴，，
解得：，；故选C．
5．D
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
6．A
【分析】此题主要考查了乘方和负整数指数幂、零指数幂的运算，关键是掌握计算公式．首先根据乘方和负整数指数幂，零指数幂，分别进行计算，再比较大小即可．
【详解】解：；；；，
，，故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．
【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，根据相关运算法则即可．
【详解】解：，故答案为：
8．1
【分析】本题考查的是零次幂与负整数指数幂的含义，根据零次幂与负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解析：∵，∴，．
答案：1，
9．
【分析】本题主要考查积的乘方逆运算，根据积的乘方法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了主要考查了幂的乘方．利用幂的乘方化简，再得到，解方程即可求解．
【详解】解；∵，∴，∴，解得，故答案为：．
12．576
【分析】根据同底数幂的乘法对化简，再代数求值．
【详解】解：，
由于，，
故，
故答案为：576．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．/
【分析】根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
14．或
【分析】此题考查三角形三边关系．根据“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”和“为偶数”求得的值；然后代入求值即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
又因为是偶数，
所以的值为8或10．
当时，；
当时，．
综上所述，代数式的值为或．
故答案为：或．
15．
【分析】首先将y化为，并把的表达式代入y的式子中即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
16．或3或1
【分析】此题主要考查了零指数幂，以及有理数的乘方．根据零指数幂可得，根据有理数的乘方可得；，为偶数，再解即可．
【详解】解：由题意得：
①，，
解得：；
②，
解得：；
③，为偶数，
解得：，
故答案为：或3或1．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．6
【分析】本题考查了乘方，负整数指数幂，零指数幂计算，掌握公式，计算即可．
【详解】解：
18．（1）；（2）
【分析】题目主要考查同底数幂的乘法及合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算同底数幂的乘法运算，然后合并同类项计算即可；
（2）先计算同底数幂的乘法及积的乘方运算，同底数幂的除法运算，然后合并同类项计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（1）243；（2）1
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答．
（2）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，则，解得．
20．（1），；（2），
【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解；
（2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解．
【详解】（1）解：
当时，原式；
（2）解：
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
21．（1）每块大理石的体积为
（2）这列火车总共运送了约重千克大理石
【分析】（1）根据长方体体积的计算公式，结合同底数幂的乘法计算法则和科学记数法的表示方法，计算即可；
（2）题干两个数据相乘，再结合同底数幂的乘法计算法则计算即可．
【详解】（1）根据题意，得：
；
答：每块大理石的体积为．
（2）根据题意，得：
．
答：这列火车总共运送了约重千克大理石．
【点睛】本题考查科学记数法，同底数幂的乘法的实际应用．掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
22．（1）3，0，；（2）
【分析】本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算；
（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
23．（1）；（2）
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可；
【详解】（1）解：∵、为正整数，
（2）∵，
；
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
24．（1）3（2）81
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2），，
，，
整理得：，，解得：，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
25．（1），（2）（3）
【分析】（1）观察计算过程即可写出相应的发现；
（2）利用题干中的方法解答即可得出与的大小关系；
（3）利用以上的解题规律进行运算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：；
，
；
（3）解：
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，利用题干中的方法和解答中发现的规律解答是解题的关键．
26．（1）C；（2）；（3）
【分析】分别根据幂的乘方法则的逆运算计算．
【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．
故选：C．
（2），，，
；
（3），，，且，
．
【点睛】本题考查幂的乘方，实数的大小比较，关键是掌握幂的乘方的法则．
27．（1）1，；（2）；（3）
【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，同底数幂的除法，
（1）根据题意转化为有理数的除法运算即可；
（2）先化为除法，然后根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘以一个数等于除以这个数的倒数转化为乘方运算，再根据“同底数幂相除，底数不变指数相减”化简即可；
（3）利用（2）题结论先求出和的值，再代入求值即可；
【详解】（1）解：，
，
（2）解：
（3）解：，
，
原式