18.2.3正方形同步练习（含答案）2023—2024学年人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 18.2.3正方形同步练习（含答案）2023—2024学年人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 279.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-22 13:57:13 | ||
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文档简介
18.2.3正方形同步练习2023—2024学年人教版数学八年级下册
一．选择题（共12小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，有下列论断：
①AB＝BC；②∠DAB＝90°；③BO＝DO，AO＝CO；
④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD．
其中推理不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
4．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②
5．如图，在正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝AB，PB＝PC，若对角线BD与AP交于点M，则∠AMD的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的个数是（ ）
①添加“AB∥CD“，则四边形ABCD是菱形
②添加“∠BAD＝90”，则四边形ABCD是矩形
③添加“OA＝OC“，则四边形ABCD是菱形
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（ ）
A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90°
B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
11．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．点E，F是AD上两点，且DE＝DB，DF＝DC，若BD＝2，CD＝3．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，点G，H分别在AD，BC上，且GH⊥EC．若DG＝2，CH＝6，则正方形ABCD的面积是 ．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上的点，且，点F是对角线BD所在直线上一点且BF＝BE．过点F作∠EFG＝90°，边FG交直线AD于点G，则AG的长为 ．
15．在矩形ABCD中，再增加条件 （只需填一个）可使矩形ABCD成为正方形．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，连接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，则BD＝ ．
17．如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
三．解答题（共5小题）
18．（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
19．在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．
（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．
（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？
20．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．
（1）若连接BG、CE，求证：BG＝CE．
（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
21．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．
（1）判断CK与GD的位置关系为 ，判断四边形GKCD的形状为 ；
（2）求证：DE＝DG；
（3）求证：DE⊥CK．
22．已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AF平分∠MAC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）当△ABC还满足一个什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1--10CDBAD DCCDD 11--12BD
二．填空题（共5小题）
13．64
14．8﹣8或8+8
15．AB＝BC
16．39
17．
三．解答题（共5小题）
18．解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：
如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
在△ADF和△ABG中，
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF；
（2）EF＝BE﹣DF，理由如下：
如图2，在BC上截取BG＝DF，连接AG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵BG＝DF，
在△ADF和△ABG中，
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAG＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF．
19．解：（1）当O为AC的中点则四边形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE＝∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC＝∠ECP，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理，OC＝OD，
∴OD＝OE．
∵AO＝CO，EO＝DO，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DC、CE是∠ACB与∠ACP的平分线，
∴∠DCE＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA＝90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA＝90°，
则DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．
20．（1）证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG＝CE．
（2）四边形PQMN为正方形，
证明：∵EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N，
∴PN∥BG，MN＝CE，MN∥CE，PQ＝CE，PQ∥CE，PN＝BG，
∵BG＝CE，
∴PN＝MN，MN＝PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN是菱形，
∵△BAG≌△EAC，
∴∠GBA＝∠AEC，
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠EAB＝90°，
∴∠ABG+∠BWA＝90°，
∵∠BWA＝∠GWE，
∴∠GWE+∠AEC＝90°，
∴∠EOW＝180°﹣90°＝90°，
∵MN∥CE，PN∥BG，
∴∠NZO＝∠EOW＝90°，∠NIO＝90°，
∴∠MNP＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°
∴菱形PQMN是正方形，
即四边形PQMN为正方形．
21．（1）解：CK与GD的位置关系为CK∥GD，四边形GKCD的形状为平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴∠GAD＝∠B＝90°，
在△ADG与△BCK中，
，
∴△ADG≌△BCK（SAS），
∴∠G＝∠BKC，
∴CK∥DG，
∵KG∥CD，
∴四边形GKCD为平行四边形；
故答案为：CK∥GD，平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠GAD＝∠DCE＝90°，
在△GAD和△ECD中，
，
∴△GAD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DG；
（3）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵△GAD≌△ECD，
∴∠GDA＝∠CDE，
∴∠GDE＝∠GDA+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴DE⊥DG．
22．（1）证明：∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AF平分∠MAC，
∴∠MAF＝∠CAF．
∵AF∥BC，
∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
（2）解：△ABC还满足∠BAC＝90°时，四边形ADCF是正方形．理由如下：
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∵平行四边形ADCF是矩形；
∴四边形ADCF是正方形
一．选择题（共12小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，有下列论断：
①AB＝BC；②∠DAB＝90°；③BO＝DO，AO＝CO；
④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD．
其中推理不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
4．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②
5．如图，在正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝AB，PB＝PC，若对角线BD与AP交于点M，则∠AMD的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的个数是（ ）
①添加“AB∥CD“，则四边形ABCD是菱形
②添加“∠BAD＝90”，则四边形ABCD是矩形
③添加“OA＝OC“，则四边形ABCD是菱形
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（ ）
A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90°
B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
11．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．点E，F是AD上两点，且DE＝DB，DF＝DC，若BD＝2，CD＝3．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，点G，H分别在AD，BC上，且GH⊥EC．若DG＝2，CH＝6，则正方形ABCD的面积是 ．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上的点，且，点F是对角线BD所在直线上一点且BF＝BE．过点F作∠EFG＝90°，边FG交直线AD于点G，则AG的长为 ．
15．在矩形ABCD中，再增加条件 （只需填一个）可使矩形ABCD成为正方形．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，连接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，则BD＝ ．
17．如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
三．解答题（共5小题）
18．（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
19．在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．
（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．
（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？
20．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．
（1）若连接BG、CE，求证：BG＝CE．
（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
21．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．
（1）判断CK与GD的位置关系为 ，判断四边形GKCD的形状为 ；
（2）求证：DE＝DG；
（3）求证：DE⊥CK．
22．已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AF平分∠MAC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）当△ABC还满足一个什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1--10CDBAD DCCDD 11--12BD
二．填空题（共5小题）
13．64
14．8﹣8或8+8
15．AB＝BC
16．39
17．
三．解答题（共5小题）
18．解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：
如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
在△ADF和△ABG中，
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF；
（2）EF＝BE﹣DF，理由如下：
如图2，在BC上截取BG＝DF，连接AG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵BG＝DF，
在△ADF和△ABG中，
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAG＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF．
19．解：（1）当O为AC的中点则四边形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE＝∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC＝∠ECP，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理，OC＝OD，
∴OD＝OE．
∵AO＝CO，EO＝DO，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DC、CE是∠ACB与∠ACP的平分线，
∴∠DCE＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA＝90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA＝90°，
则DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．
20．（1）证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG＝CE．
（2）四边形PQMN为正方形，
证明：∵EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N，
∴PN∥BG，MN＝CE，MN∥CE，PQ＝CE，PQ∥CE，PN＝BG，
∵BG＝CE，
∴PN＝MN，MN＝PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN是菱形，
∵△BAG≌△EAC，
∴∠GBA＝∠AEC，
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠EAB＝90°，
∴∠ABG+∠BWA＝90°，
∵∠BWA＝∠GWE，
∴∠GWE+∠AEC＝90°，
∴∠EOW＝180°﹣90°＝90°，
∵MN∥CE，PN∥BG，
∴∠NZO＝∠EOW＝90°，∠NIO＝90°，
∴∠MNP＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°
∴菱形PQMN是正方形，
即四边形PQMN为正方形．
21．（1）解：CK与GD的位置关系为CK∥GD，四边形GKCD的形状为平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴∠GAD＝∠B＝90°，
在△ADG与△BCK中，
，
∴△ADG≌△BCK（SAS），
∴∠G＝∠BKC，
∴CK∥DG，
∵KG∥CD，
∴四边形GKCD为平行四边形；
故答案为：CK∥GD，平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠GAD＝∠DCE＝90°，
在△GAD和△ECD中，
，
∴△GAD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DG；
（3）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵△GAD≌△ECD，
∴∠GDA＝∠CDE，
∴∠GDE＝∠GDA+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴DE⊥DG．
22．（1）证明：∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AF平分∠MAC，
∴∠MAF＝∠CAF．
∵AF∥BC，
∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
（2）解：△ABC还满足∠BAC＝90°时，四边形ADCF是正方形．理由如下：
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∵平行四边形ADCF是矩形；
∴四边形ADCF是正方形