1.2.1函数的概念
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(共86张PPT)
初中学习的函数概念：
在某一个变化过程中有两个变量x和y。如果给定其中一个变量x的值,y都有唯一确定的值和它对应,则称y是x的函数。其中x是自变量（运动的观点）
初中学过的函数：
1、 是函数吗？
2、 与 是同一函数吗？
3、
是函数吗？是一个函数还是两个函数？
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。
1.2.1 函数的概念
一枚炮弹发射后，经过26s落到地面
击中目标. 炮弹的射高为845m, 且炮弹距
地面的高度h(单位:m)随时间 t (单位: s )
变化的规律是h=130t-5t2.
实例分析1
0
5
10
15
25
20
30
26
S/106km2
t/年
1979
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
2001
下图中的曲线显示了南极上空臭氧层
空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
实例分析2
“八五”计划以来我国城镇居民
恩格尔系数变化情况
1992
52.9
1993
1999
1998
1997
1996
1995
1994
2000
50.1
49.9
48.6
49.9
46.4
44.5
41.9
39.2
1991
2001
53.8
37.9
时 间
(年)
恩格尔
系数(%)
仿照实例(1)(2)，试描述上表中恩格尔系数和时间(年)的关系.
A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001}
B={53.8, 52.9, 50.1, 49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例分析3
不同点
共同点
实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；
（1）都有两个非空数集
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系(可以是解析式、图象、表格）
三个实例有什么共同点和不同点？
问题：
三个实例共同点:
(2)两个数集间都有一种确定的对应关系；
按照某种
对应关系
(3)对于数集A中的任意一个数，数集B中
都有唯一确定的数和它对应.
(1)都有两个非空数集A，B；
记作：
其中，所有的输入值x组成的集合A叫做
函数y=f(x)的定义域
函数的定义
一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素与它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数
通常记为: y=f(x),x∈A
对应的所有的输出值y组成的集合B叫做
函数y=f(x)的值域
（x的取值范围）
（y的取值范围）
值域是集合B的子集.
A
B
判断下列对应是否构成函数？
0
1
2
3
1
4
9
A
B
1
2
3
5
6
B
4
A
3
4
A
1
2
5
6
B
4
1
2
A
4
6
B
5
1
3
A
2
4
7
B
5
6
是
否
是
否
是
理解：
（2）对应法则可以是解析式、图像、表格。
（1）定义中A、B是非空数集；
（3）对于x的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应。
（4）对y＝f（x）的理解－－作为一个整体，它是一个符号.也可以写成g(x),h(x).
对概念的理解
（1）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体.一般来说值域由定义域和对应关系所确定，因为对于定义域中的数x，按照确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和x对应.
（2）记住y=f(x)的内涵.例如对于f(x)=x2，对应关系f就是“取平方”，而对于 ，对应关系f就是“开平方”，f就是函数符号，对于具体的函数它有具体的涵义.
自变量
y = f ( x )
对应法则
因变量
解：(1)(4)是函数，(2)(3)不是函数．
(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．
(2)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(3)集合A中的0元素(或－1等等)，在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(4)集合A中的1和3在集合B中有唯一的－1与之对应，集合A中的2和4在集合B中有唯一的1与之对应，故是函数．
回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定义域、值域分别是什么？
函数 对应法则 定义域 值域
正比例
函数
反比例
函数
一次函数
二次函数
R
R
R
R
R
集合表示
区间表示
数轴表示
{x a＜x＜b}
(a , b)
。
。
{x a≤x≤b}
[a , b]
.
.
{x a≤x＜b}
[a , b)
.
。
{x a＜x≤b}
(a , b]
.
。
{x x＜a}
(－∞, a)
。
{x x≤a}
(－∞, a]
.
{x x＞b}
(b , +∞)
。
{x x≥b}
[b , +∞)
.
{x x∈R}
(－∞,+∞)
数轴上所有的点
设a,b是两个实数，而且a(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)、满足不等式a(3)、满足不等式a≤x区间的概念
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2） {x|x ≥9}
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
例1：求下列函数的定义域：
练习：课本P19 1
【例3】 求下列函数的定义域：
解：(3)要使函数有意义，需满足
∴x2＝1，即x＝±1，
∴原函数定义域为{1，－1}．
【例3】 求下列函数的定义域：
(4)要使函数有意义，需满足
即x≠0且x≠－1.
∴原函数定义域为{x|x≠0且x≠－1}．
C
练习：课本P19 2
例. 已知函数f(x)=5x+2
1. 求 f(3)
2 . 求f(－2)
3.求 f(a)
4 .求f(a+1).
归纳整体代换思想：对于公式或解析式中的未知量x ( 或其它字母)可以用具体数，其它字母，或表达式来代替（只要有意义就行）。
变式训练：已知f(x+1)=(x+1)2+2(x+1) －5
求f(x)
问题：如何判断两个函数是否相同？
下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
【例2】
函数的相等
两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域、值域和对应法则都相同．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就相等.
从本例我们还可以看出，
相同的对应关系，
其表达形式可以不同.
解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．
(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
B
例、求下例函数的值域：
求值域的方法：
（1）观察法 （2）配方法（二次函数）
（3）换元法（去根号）
例、 求函数 的值域
例、 求函数 的值域
例、 求函数 的值域
初中学习的函数概念：
在某一个变化过程中有两个变量x和y。如果给定其中一个变量x的值,y都有唯一确定的值和它对应,则称y是x的函数。其中x是自变量（运动的观点）
初中学过的函数：
1、 是函数吗？
2、 与 是同一函数吗？
3、
是函数吗？是一个函数还是两个函数？
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。
1.2.1 函数的概念
一枚炮弹发射后，经过26s落到地面
击中目标. 炮弹的射高为845m, 且炮弹距
地面的高度h(单位:m)随时间 t (单位: s )
变化的规律是h=130t-5t2.
实例分析1
0
5
10
15
25
20
30
26
S/106km2
t/年
1979
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
2001
下图中的曲线显示了南极上空臭氧层
空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
实例分析2
“八五”计划以来我国城镇居民
恩格尔系数变化情况
1992
52.9
1993
1999
1998
1997
1996
1995
1994
2000
50.1
49.9
48.6
49.9
46.4
44.5
41.9
39.2
1991
2001
53.8
37.9
时 间
(年)
恩格尔
系数(%)
仿照实例(1)(2)，试描述上表中恩格尔系数和时间(年)的关系.
A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001}
B={53.8, 52.9, 50.1, 49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例分析3
不同点
共同点
实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；
（1）都有两个非空数集
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系(可以是解析式、图象、表格）
三个实例有什么共同点和不同点？
问题：
三个实例共同点:
(2)两个数集间都有一种确定的对应关系；
按照某种
对应关系
(3)对于数集A中的任意一个数，数集B中
都有唯一确定的数和它对应.
(1)都有两个非空数集A，B；
记作：
其中，所有的输入值x组成的集合A叫做
函数y=f(x)的定义域
函数的定义
一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素与它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数
通常记为: y=f(x),x∈A
对应的所有的输出值y组成的集合B叫做
函数y=f(x)的值域
（x的取值范围）
（y的取值范围）
值域是集合B的子集.
A
B
判断下列对应是否构成函数？
0
1
2
3
1
4
9
A
B
1
2
3
5
6
B
4
A
3
4
A
1
2
5
6
B
4
1
2
A
4
6
B
5
1
3
A
2
4
7
B
5
6
是
否
是
否
是
理解：
（2）对应法则可以是解析式、图像、表格。
（1）定义中A、B是非空数集；
（3）对于x的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应。
（4）对y＝f（x）的理解－－作为一个整体，它是一个符号.也可以写成g(x),h(x).
对概念的理解
（1）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体.一般来说值域由定义域和对应关系所确定，因为对于定义域中的数x，按照确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和x对应.
（2）记住y=f(x)的内涵.例如对于f(x)=x2，对应关系f就是“取平方”，而对于 ，对应关系f就是“开平方”，f就是函数符号，对于具体的函数它有具体的涵义.
自变量
y = f ( x )
对应法则
因变量
解：(1)(4)是函数，(2)(3)不是函数．
(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．
(2)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(3)集合A中的0元素(或－1等等)，在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(4)集合A中的1和3在集合B中有唯一的－1与之对应，集合A中的2和4在集合B中有唯一的1与之对应，故是函数．
回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定义域、值域分别是什么？
函数 对应法则 定义域 值域
正比例
函数
反比例
函数
一次函数
二次函数
R
R
R
R
R
集合表示
区间表示
数轴表示
{x a＜x＜b}
(a , b)
。
。
{x a≤x≤b}
[a , b]
.
.
{x a≤x＜b}
[a , b)
.
。
{x a＜x≤b}
(a , b]
.
。
{x x＜a}
(－∞, a)
。
{x x≤a}
(－∞, a]
.
{x x＞b}
(b , +∞)
。
{x x≥b}
[b , +∞)
.
{x x∈R}
(－∞,+∞)
数轴上所有的点
设a,b是两个实数，而且a
(2)、满足不等式a
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2） {x|x ≥9}
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
例1：求下列函数的定义域：
练习：课本P19 1
【例3】 求下列函数的定义域：
解：(3)要使函数有意义，需满足
∴x2＝1，即x＝±1，
∴原函数定义域为{1，－1}．
【例3】 求下列函数的定义域：
(4)要使函数有意义，需满足
即x≠0且x≠－1.
∴原函数定义域为{x|x≠0且x≠－1}．
C
练习：课本P19 2
例. 已知函数f(x)=5x+2
1. 求 f(3)
2 . 求f(－2)
3.求 f(a)
4 .求f(a+1).
归纳整体代换思想：对于公式或解析式中的未知量x ( 或其它字母)可以用具体数，其它字母，或表达式来代替（只要有意义就行）。
变式训练：已知f(x+1)=(x+1)2+2(x+1) －5
求f(x)
问题：如何判断两个函数是否相同？
下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
【例2】
函数的相等
两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域、值域和对应法则都相同．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就相等.
从本例我们还可以看出，
相同的对应关系，
其表达形式可以不同.
解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．
(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
B
例、求下例函数的值域：
求值域的方法：
（1）观察法 （2）配方法（二次函数）
（3）换元法（去根号）
例、 求函数 的值域
例、 求函数 的值域
例、 求函数 的值域