人教版数学八下 18.2.3 第2课时 正方形的判定

(共26张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
(难点)
学习目标
问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
复习引入
新课导入
问题2 你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考:怎样判定一个四边形是正方形呢？
正方形的判定
讲授新课
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
菱形
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图,在菱形ABCD中,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
要点归纳
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
练一练
C
A
B
C
D
O
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
例2 如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45 . 求证：矩形ABCD是正方形.
解析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论.
C
B
D
A
E
F
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠C=90
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60
∵∠CEF=45 ∴∠CFE=45
∴∠AFD=∠AEB=180 -45 -60 = 75
∴矩形ABCD是正方形
∴△AEB≌△AFD，AB=AD
C
B
D
A
E
F
例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
例4 如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.
（2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
当堂练习
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是______________（只填写序号）．
②③或①④
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
5.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
∴当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结