数学人教A版（2019）必修第一册5.5三角恒等变换 课件（共34张ppt）

(共34张PPT)
人教版必修第一册A版
5.5《 三角恒等变换 》
（ 3 课 时 ）
教学目标
学习目标：1.理解与掌握三角恒等变换的相关公式（和差角公式、倍角公式、半角公式、辅助角公式、和差化积公式以及积化和差公式）；
2.能灵活运用三角恒等变换的相关公式来求解相关的实际问题.
教学重点：三角恒等变换的相关公式及其实际运用.
教学难点：倍角公式、半角公式、辅助角公式的理解与掌握.
一
复习导入——诱导公式（导学）
1.诱导公式一：终边相同角的同一三角函数的值相等.即：
其中
2.诱导公式二：
（一）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限.”
3.诱导公式三：
4.诱导公式四：
5.诱导公式五：
6.诱导公式六：
一
复习导入——诱导公式（导学）
1.诱导公式一：终边相同角的同一三角函数的值相等.即：
其中
2.诱导公式二：
（一）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限.”
3.诱导公式三：
4.诱导公式四：
5.诱导公式五：
6.诱导公式六：
三角恒等变换：利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的，这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就叫做三角恒等变换。
一
复习导入——诱导公式（导学）
（二）问题
通过观察诱导公式，我们可以发现它们都是特殊角与任意角的和（或差)的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系.
如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与的三角函数会有什么关系呢 相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.
二
探究新知1——和差角公式（互学）
（一）探究1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出与的正弦、余弦吗
1.分析：不妨令
如图，设单位圆O与轴的正半轴相交于点 ，以x轴非负半轴为始边,分别作角设它们的终边分别与单位圆O相交于点
据三角函数的定义可得
故
故
故
二
（一）探究1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出与的正弦、余弦吗
1.分析：如图，连接若把扇形绕着点旋转角，则点 分别与点重合
根据圆的旋转对称性可知: 与 重合，
即
∴ 弦
又∵ ，，
∴ 据平面两点间的距离公式可得
探究新知1——和差角公式（互学）
二
（一）探究1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出与的正弦、余弦吗
1.分析：
两边求平方可得
故 成立
2.差角的余弦公式：对于任意角
探究新知1——和差角公式（互学）
二
（二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？
1. 和角的余弦公式
∵
∴据差角的余弦公式可得
于是可得
和角的余弦公式：
探究新知1——和差角公式（互学）
二
（二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？
2. 和角的正弦公式
∵
∴可得
和角的正弦公式：
探究新知1——和差角公式（互学）
二
（二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？
3. 差角的正弦公式
∵
∴可得
差角的正弦公式：
探究新知1——和差角公式（互学）
二
（二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？
4. 和角的正切公式
∵
∴可得
和角的正切公式：
探究新知1——和差角公式（互学）
二
（二）探究2：由探究1我们得到差角的余弦公式 ，那么我们能由这个公式分别推出， , 的恒等变形吗？
5. 差角的正切公式
∵
∴可得
差角的正切公式：
探究新知1——和差角公式（互学）
二
（三）和(差)角公式小结
6.差角的正切公式：
2.差角的余弦公式：
1.和角的余弦公式：
3.和角的正弦公式：
4.差角的正弦公式：
5.和角的正切公式：
探究新知1——和(差)角公式（互学）
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例1利用公式证明下列诱导公式：
（1）; (2)
例2 已知是第三象限角，求的值.
四
成果展示1(迁移变通)
例1利用公式证明下列诱导公式：
（1）; (2)
证明（1）
据差角的余弦公式
可得
故 成立
证明（2）
据差角的余弦公式
可得
故 成立
四
成果展示1(迁移变通)
解：∵ 已知
∴ ,且据平方关系可得
例2 已知是第三象限角，
求的值.
又∵ 已知是第三象限角
∴ ,且据平方关系可得
故
五
提升演练1（检测实践）
例3 已知是第四象限角，
求 的值.
又∵
∴
解： ∵ 已知是第四象限角，
∴ ,且据平方关系与商数关系可得
五
提升演练1（检测实践）
例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1); (2);
(3).
解(1)据差角的正弦公式 可得
解(2)据和角余弦公式 可得
解(3)∵，∴ 据和角正切公式 可得
六
探究新知2——二倍角公式（互学）
（一）探究：各位同学，你们能利用 和（差）角公式推导出的公式吗？
分析：据 和（差）角公式可得
六
探究新知2——二倍角公式（互学）
（二）二倍角公式
由上探究可得如下的二倍角公式：
1.
2.
3.
七
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例5 已知 求 的值.
八
成果展示2（迁移变通）
解：∵ 已知
∴ ，即是第二象限角
又∵已知
∴
于是据二倍角公式可得
例5 已知 求 的值.
九
提升演练2（检测实践）
例6 在中， 求.
解：∵ 已知在中，，且
∴
∴
又∵已知
∴
∴ 据和角的正切公式可得
十
探究新知3——半角公式与辅助角公式（互学）
（一）半角公式
∵ ，∴ 据二倍角公式可得如下半角公式
1.
2.
3.
十
探究新知3——半角公式与辅助角公式（互学）
（二）辅助角公式
1.探究
∵
设, 即
∴
十
探究新知3——半角公式与辅助角公式（互学）
（二）辅助角公式
其中 ,
2.辅助角公式：由上探究可得
十一
小组合作、讨论交流3(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例7 试以 表示 .
例8 求证：
（1）
（2）
十二
成果展示3（迁移变通）
解：由题意据半角公式 可得
， 即
， 即
例7 试以 表示 .
十二
成果展示3（迁移变通）
证明（1）
∵ ①
②
∴ 用①+②可得
故 成立
例8 求证：
（1）
（2）
证明（2）
∵ 由（1）知
③
设 ，
则有
∴ 成立
十三
提升演练3（检测实践）
例9 求下列函数的周期，最大值和最小值.
（1） (2)
解：由题意据辅助角公式
（ 其中 , ）可得
（1）∵
∴函数的周期为,最大值为2，最小值为-2
（2）∵
其中 ,
∴函数的周期为,最大值为5，最小值为-5
课堂小结
十四
今天我们学习了哪些内容？
1.理解与掌握了三角恒等变换的相关公式（和差角公式、倍角公式、半角公式、辅助角公式、和差化积公式以及积化和差公式）；
2.能灵活运用三角恒等变换的相关公式来求解相关的实际问题.
十五
学生自评
请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价
十六
家庭作业
1.完成《高考领航》第134-145页知识点填空；
2.完成《课时规范训练》第71-80页题型.