数学人教A版（2019）必修第一册5.1.2弧度制 课件（共30张ppt）

(共30张PPT)
人教版必修第一册A版
5.1.2《 弧 度 制 》
（ 4 课 时 ）
学习目标：1.认识与理解弧度制的相关概念；
2.理解与掌握弧度制与角度制的换算关系；
3.了解弧度制中的弧长公式与扇形面积公式.
教学重点：弧度制与角度制的换算关系；
教学难点：认识与理解弧度制的相关概念.
教学目标
01
复习导入—— 角 度 制
1千克=2.2046226磅
1米=3.2808399英尺
0摄氏度=32华氏度
（一）情景：日常生活中，有些量可以用不同的单位进行度量．例如度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制；度量温度可以用℃ (摄氏温度) 、 F (华氏温度) 、 K (热力学温度)等不同单位制．
复习导入 —— 角 度 制
（二）初中的角度制：以度（°）、分（′）、秒（″）为单位来衡量角的大小就叫做角度制.
其中用角度制来度量角时，把一个周角 360等分, 每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．角度制量角用的是六十进制.
01
1度（°）=60分（′）=3600秒（″）
1分（′）=60秒（″）
复习导入—— 角 度 制
（三）问题：日常的运算多数是十进制, 角的度量能否像长度的度量一样，可以用除角度制（六十进制）以外的十进制方式来度量呢？
01
复习导入—— 角 度 制
（四）科普小知识：
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，他是科学史上最多产的一位杰出的数学家，从19岁到76岁，一生不倦，共写下了886本书籍和700多篇论文。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。
欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748 年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于弧度，1弧度等于周角的，这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.
01
复习导入—— 角 度 制
01
下面就让我们跟随着伟大数学家欧拉的脚步，全面深入地认识度量角的另一种十进制单位——弧度制。
02
探究新知1—— 弧 度 制
(一)情景问题： 在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比分别为多少？
02
探究新知1—— 弧 度 制
注1：角度制的弧长公式 （平分法）
（其中为半径，为弧所对圆心角的度数）
注2：
02
探究新知1—— 弧 度 制
(一)情景问题： 在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比分别为多少？
据初中所学习的弧长公式 (其中为弧所对圆心角的度数)可得
故在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中,
圆周角所对的弧长与半径之比都为
（二）探究
02
探究新知1—— 弧 度 制
据初中所学习的弧长公式 (其中为弧所对圆心角的度数)可得
故在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中,
圆周角所对的弧长与半径之比都为
（二）探究
02
探究新知1—— 弧 度 制
（三）分析
对于函数解析式
∵ 为一个常数（定值）
∴ 与圆心角 的大小 成正比例关系
又∵正比例系数
∴ 随圆心角 的度数 的增大而增大
故我们可以用弧长与半径的比值来表示这个圆弧所对圆心角的大小
02
探究新知1—— 弧 度 制
（四）弧度制的相关概念
1.弧度与弧度制
规定：弧长等于半径长（即）的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，
记作 “” ,读作 “1弧度”
以弧度（）为单位来度量角的制度就称为弧度制
当 (即 ) 时
圆心角
注： 用弧度制表示角时,可以省略单位“rad”．如“2rad”可以写成“ 2 ”．
但是, 在用角度制表示角时, 不能省略单位度“°”.
02
探究新知1—— 弧 度 制
正角α
负角α
零角α
2.弧度制角的分类
同时规定，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.
注：角α的正负由角α的终边的旋转方向决定
02
探究新知1—— 弧 度 制
3.弧度制角的大小
规定：半径为,弧长为的圆心角的大小为
即 “圆心角的绝对值等于它所对弧长与半径之比”
注：角的正负由角终边的旋转方向决定.
03
探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换
（一）探究
∵半径为的圆的周长是,
∴据弧度制角的大小公式可知
周角360 的弧度数为
故
360°
03
探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换
（二）弧度制与角度制的换算公式
由上探究可知 ，
故可得如下角度制与弧度制的换算公式：
∵
∴ 等式两边同时除以180可得
∵
∴ 等式两边同时除以可得
注: 通常在高中弧度制与角度制的转换过程中我们只取等号，除有特殊说明的以外.
1.角度转化为弧度
2.弧度转化为角度
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探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换
（三）一些特殊角的角度值和弧度值对应关系
角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度制
0
提示： ，，
03
探究新知2—— 角度制与弧度制之间的相互转换
小 结
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R之间建立起一一对应的关系:
每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图51-12).
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
04
小组合作、讨论交流1
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例1 把下列角度转换为弧度.
（1）； （2）
例2 把下列弧度转换为角度.
（1）； （2）
05
成果展示1
例1 把下列角度转换为弧度.
（1）； （2）
解（1）：∵
∴
解（2）：∵ ,
∴
注：弧度制与角度制的换算公式
05
成果展示1
例2 把下列弧度转换为角度.
（1）； （2）
解（1）：∵
∴
解（2）：∵
∴
06
探究新知3—— 弧度制的弧长公式与扇形面积公式
（一）探究：已知扇形的圆心角为 ，半径为, 弧长为, 扇形面积为 .
求证：（1）; (2) .
证明（1）
由弧度制的定义可知
∵已知
∴
故 成立
06
探究新知3—— 弧度制的弧长公式与扇形面积公式
（一）探究：已知扇形的圆心角为 ，半径为, 弧长为, 扇形面积为 .
求证：（1）; (2) .
证明（2）
∵已知圆心角为的扇形面积为
∴ 圆心角为 的扇形面积为
故 成立
06
探究新知3—— 弧度制的弧长公式与扇形面积公式
(二)弧长公式与扇形面积公式
1.角度制的弧长公式与扇形面积公式（）
（1） (平分法)
（2） (平分法)
2.弧度制的弧长公式与扇形面积公式（）
（1） (定义法)
（2） (类三角形法)
06
提升演练（检测实践）
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例3 弧长为，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 .
06
提升演练（检测实践）
例3 弧长为，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 .
解：设扇形的弧长为 , 半径为 ,圆心角为
∵已知
∴ 据弧度制的弧长公式 与扇形面积公式 可得
课堂小结
07
今天我们学习了哪些内容？
1.认识与理解了弧度制的相关概念；
2.理解与掌握了弧度制与角度制相互转换；
3.掌握了弧度制中的弧长公式与扇形面积公式.
08
学生自评
请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价
09
家庭作业
1.完成《高考领航》第109、110页知识点1、知识点2填空；
2.完成《课时规范训练》第56、57页题型.