【精品解析】浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题

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名称 【精品解析】浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题
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文件大小 285.0KB
资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2024-03-22 11:04:44

文档简介

浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024高一上·金华期末)(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解:.
故答案为:C.
【分析】本题考查特殊角对应的三角函数值,可直接得出结果.
2.(2024高一上·金华期末)已知集合,,若,则实数可以为(  )
A.1 B.3 C.4 D.7
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:由,知,C不可能;
由,知且,否则中有元素1或者3,矛盾,即AB不可能;
当时,,符合题意,因此实数可以为7.
故答案为:D.
【分析】本题考查集合的交集运算,根据集合元素的互异性可得:,根据集合的交集运算可得:且,据此可选项正确答案.
3.(2024高一上·金华期末)若对于任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解:令函数,显然在上单调递减,,
因为任意,不等式恒成立,于是,
所以.
故答案为:A.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.不等式恒成立,可转化为:,应用二次函数的性质即可求解.
4.(2024高一上·金华期末)哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物(哥哥的手和弟弟的手放在一起),哥哥用力为,弟弟用力为,若,且的夹角为120°时,保持平衡状态,则此时与重物重力之间的夹角为(  )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【答案】C
【知识点】向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解:根据力的平衡,的合力为,如图所示:
由于,且的夹角为,
则为等边三角形,则,
则与重物重力之间的夹角为.
故答案为:C.
【分析】本题考查向量的平行四边形法则.结合物理相关知识,作出图形,根据图形可得的合力为,利用三角形和向量夹角的知识可推出为等边三角形,结合图形可求出与重物重力之间的夹角.
5.(2024高一上·金华期末)“”是“函数的定义域为”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数恒成立问题
【解析】【解答】解:函数的定义域为
则恒成立,即,解得,
故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故答案为:B.
【分析】根据函数的定义域为可得恒成立,根据可求出的取值范围,再利用充分条件和必要条件的定义可判断出答案.
6.(2024高一上·金华期末)已知函数,,是正实数.若存在唯一的实数,满足,则的最小值为(  )
A.46 B.48 C.52 D.64
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解:根据函数,是正数,且存在唯一的实数,满足,可得,即,由,则,
所以,故,
故答案为:B.
【分析】本题考查利用不等式的性质求最值.已知函数,是正数,且存在唯一的实数,满足,结合二次函数的图象可得,据此可求出,利用,变形可得:,进而求出的最小值.
7.(2024高一上·金华期末)某种废气需要经过严格的过滤程序,使污染物含量不超过20%后才能排放.过滤过程中废弃的污染物含量(单位:)与时间(单位:)之间的关系为,其中是原有废气的污染物含量(单位:),是正常数.若在前消除了20%的污染物,那么要达到排放标准至少经过(答案取整数)(  )
参考数据:,,,
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解:由题有,设小时后污染物含量不超过,
则,解得,即至少经过29小时能达到排放标准.
故答案为:B.
【分析】本题考查函数模型的应用,指数式的与对数式的互化.将指数式转化为对数式,可求出的范围,进而求出答案.
8.(2024高一上·金华期末)若实数,,满足,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解:设,则为偶函数,
设,则因为在上均为增函数,
故,故,
故在上为增函数,且为偶函数.
又,则,
即,当且仅当时取等号.
故,故.
故答案为:C.
【分析】本题考查函数的单调性.先构造函数,根据复合函数的单调性可得:在上为增函数,且为偶函数.又知,可变形为:,进而可转化为:,结合偶函数性质可得出答案.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.(2024高一上·金华期末)在中(  )
A.若,则 B.若,则
C. D.
【答案】A,C,D
【知识点】余弦函数的性质;诱导公式
【解析】【解答】解:A、在中,由余弦函数单调性可得,A正确;
B、若为钝角,为锐角,则,B错误;
C、,C正确;
D、,D正确.
故答案为:ACD.
【分析】本题考查余弦函数的单调性,三角函数的诱导公式.对A,大前提在中,所以,根据余弦函数的单调性判断;对B,举反例为钝角,为锐角,判断正切值得符号可判断;对CD,根据三角形内角和为可表示出:,,再结合三角函数的诱导公式可判断.
10.(2024高一上·金华期末)已知()(  )
A.当时,的值域为 B.当时,
C.当时,是偶函数 D.当时,是奇函数
【答案】B,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合;幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解:A、当时,,此时的值域为,故A错误,
B、当时,在上单调递增,所以,B正确,
C、当时,,,所以是偶函数,C正确,
D、当时,,,则,,定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数,D错误,
故答案为:BC.
【分析】本题考查幂函数的性质和函数的奇偶性.将代入解析式,根据反比例函数的性质可求出值域;将代入解析式,根据幂函数的单调性可判断出在上单调递增,当时,先求出和的解析式,再结合函数奇偶性的定义可进行判断.
11.(2024高一上·金华期末)已知函数()的最小正周期为,则(  )
A.
B.函数在上为增函数
C.是的一个对称中心
D.函数的图像关于轴对称
【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】解:A、,又最小正周期为,故,则,A错误;
B、,当时,,为正弦函数的单调递增区间,B正确;
C、,故不是的一个对称中心,C错误;
D、为偶函数,图像关于轴对称,D正确.
故答案为:BD.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用降幂升角公式和辅助角公式将解析式化为:,利用最小正周期公式可求出;对B,由可得:,结合正弦函数的单调性可进行判断;对C,根据即可进行判断;对D,求出的解析式,再利用函数的奇偶性即可进行判断.
12.(2024高一上·金华期末)已知函数,则(  )
A.函数是周期函数
B.函数有最大值和最小值
C.函数有对称轴
D.对于,函数单调递增
【答案】B,C
【知识点】函数的最大(小)值;函数的奇偶性;奇偶函数图象的对称性;函数的周期性
【解析】【解答】解:因为,
C、因为,
所以,函数的图象关于直线对称,C正确;
D、因为,,故函数在上不单调,D错误;
B、因为函数的图象关于直线对称,
要求函数的最大值和最小值,只需求出函数在上的最大值和最小值即可,
设,
当时,,
令,因为函数在上单调递增,函数在上单调递增,
所以,函数在上单调递增,
当时,,
因为函数、在上均为增函数,
所以,函数在上为增函数,
所以,函数在上为增函数,
由对称性可知,函数在上为减函数,
故函数在处取得最大值,且,
故函数在处取得最小值,且最小值为,
当时,则,则函数在上为减函数,
对任意的、,且,则,,
则,由不等式的基本性质可得,
即,所以,函数在上单调递减,
又因为当时,函数取得最大值,
故函数仅在处取得最大值,
对任意的,,,
若,则,
若,则,则,则,
所以,.
综上所述,对任意的,,
又因为函数在上单调递减,
故当时,在处取得最小值,
综上所述,函数既有最大值,也有最小值,B正确;
A、由C选项可知,函数仅在处取得最大值,
若函数是以为周期的周期函数,则,与题意矛盾,
故函数不可能是周期函数,A错误.
故答案为:BC.
【分析】本题考查函数的周期性,最值,对称性和单调性.利用诱导公式可将解析式化简为:,通过计算可知:,利用函数对称性的定义可判断出函数的图象关于直线对称;先判断函数在上的单调性,结合函数最值的定义可可求出函数的最值;利用特殊值法再区间取两个特殊值,计算函数值:,,故函数在上不单调,进而判断D选项;利用反证法:先设函数是以为周期的周期函数,再结合B选项中的结论:函数仅在处取得最大值,所以,推出矛盾,进而判断A选项.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2024高一上·金华期末)   0(填>或<).
【答案】>
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解:,故2对应的角度终边在第二象限,则;
故答案为:.
【分析】本题考查三角函数符号的判断.因为,所以,故2对应的角度终边在第二象限,然后根据正弦函数在每个象限的符号分析可得出结论.
14.(2024高一上·金华期末)函数(为月份),近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数,游客流量越大所需服务工作的人数越多,则可以推断,当   时,游客流量最大.
【答案】8
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解:因为,
所以,
所以当,即时,取最大值,
所以时,取最大值,
又游客流量越大所需服务工作的人数越多,
所以时,游客流量最大.
故答案为:8.
【分析】本题考查余弦函数的性质.已知,可求出的范围,再根据余弦函数性质可得出:,取得最大值,解方程可求出最大值时的值.
15.(2024高一上·金华期末)已知函数则方程的所有根之积为   .
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解:令,由可得,
当时,由,即,则,即方程无解;
当时,由,可得或.
(1)当时,当时,由可得,
解得,,
当时,由可得,;
(2)当时,当时,由可得,
,方程无解,
当时,由可得,,
因此,方程的所有根之积为.
故答案为:.
【分析】本题考查分段函数的应用.采用换元法令,由可得,进而讨论当时,方程的根的情况;讨论当时,方程的根的情况,解得:或;再分段讨论或可求出方程的根,再将所有根全部相乘,可得出答案.
16.(2024高一上·金华期末)若函数的值域为,则实数的最小值为   .
【答案】-2
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解:根据题意,函数的定义域为,
因为的值域为,
所以在上恒成立,
当时,则,则,
此时必有,变形可得,
当时,则,则,
此时必有,变形可得,
综合可得:在上恒成立,
设,,
则,
因为,所以且,
由基本不等式可得,
即,所以,
因为在上恒成立,
所以,解得,
故实数的最小值为.
故答案为:.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.已知函数的值域为,故原问题可转化为:在上恒成立,通过分离常数可得:在上恒成立,令,利用基本不等式求出最值,进而求出K的最小值.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2024高一上·金华期末)计算下列各式的值:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
【答案】解:(Ⅰ)原式
(Ⅱ)原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质;对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查对数的运算法则,对数恒等式,指数幂的运算法则.
(1)利用对数的运算法可求出答案,,可变形为:,利用对数的运算性质可求出答案,利用对数恒等式可求出答案;
(2)可改写成:,再利用平方差公式进行分解,可还原成立方差公式,可使用完全平方公式进行展开,再结合指数幂的运算法则可求出答案.
18.(2024高一上·金华期末)已知向量,.
(Ⅰ)若,求的坐标;
(Ⅱ)若,求与的夹角.
【答案】解:(Ⅰ)由题意,设.
,,
,或.
(Ⅱ),,
,.
设与的夹角为,则.
又,,与的夹角为
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】
(1)设,利用向量的模长公式可得到方程:,解方程可求出的坐标;
(2)根据垂直向量数量积为0,可得:,进而求出,代入向量的夹角公式可求出答案.
19.(2024高一上·金华期末)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期与对称轴方程;
(Ⅱ)当且时,求的值.
【答案】解:由题设有.
(Ⅰ)函数的最小正周期是.
对称轴,
(Ⅱ)由得,即,
因为,所以.
若.则与,矛盾

从而.
于是
【知识点】两角和与差的正弦公式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质,两角和的正弦公式.
(1)利用降幂升角公式和辅助角公式可化简出的解析式:,利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期,利用正弦型函数的对称轴公式:可得出函数的对称轴方程;
(2)由已知条件可求出的值,利用同角三角函数的基本关系求出的值,再利用两角和的正弦公式可求得的值.
20.(2024高一上·金华期末)如图,在扇形中,半径,圆心角,是扇形弧上的动点,过作的平行线交于.记.
(Ⅰ)求的长(用表示);
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时角的大小.
【答案】解:(Ⅰ)过,作的垂线,垂足分别为,,
则,,,

(Ⅱ)

,,
,即时,
因此,当时,面积的最大值为
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值;任意角三角函数的定义
【解析】【分析】本题考查三角函数的定义,三角函数的值域.
(1)过,作的垂线,垂足分别为,,根据直角三角形的三角函数可表示出,,
根据可求出答案;
(2)由化简可得:,又知,可得,结合正弦函数的图象和性质可求出 面积的最大值 ,进而得出答案.
21.(2024高一上·金华期末)已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论的单调性(不必给出证明);
(Ⅱ)当时,求的值域;
(Ⅲ)若存在,,使得,求的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)当时,在上单调递增;
(Ⅱ)当时,,当且仅当时取等号;
所以的值域为.
(Ⅲ)令,则问题等价于存在,,使得
令,因为在有两个零点,
故解得.
由韦达定理和根的定义可知:,.
又因为,故的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间;基本不等式在最值问题中的应用;函数零点存在定理
【解析】【分析】本题考查函数的单调性,函数零点与方程的根,基本不等式的应用.
(1)当时,,结合函数和的单调性,可得出函数的单调性;
(2)当时,,观察函数解析积为定值,使用基本不等式可求出函数的值域.
(3)采用换元法令,原问题可转化为:存在,,使得,令,根据二次函数的零点存在性问题可列出式子:,可解得:,再根据韦达定理进行变形,可求出答案.
22.(2024高一上·金华期末)二次函数的最大值为,且满足,,函数().
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若存在,使得,且的所有零点构成的集合为,证明:.
【答案】解:(Ⅰ)由可得,对称轴为,
最大值为可设(),又因为,
所以,所以.
(Ⅱ)因为,所以().
由,化简可得
即.
令,
由判别式,可知在上有解
①当时,,此时
②当时,,此时
③当时,的对称轴是,
在区间上有一根为;
在区间上有一根为.
此时.
综合①②③,成立
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的奇偶性;函数零点存在定理
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性,待定系数法求函数解析式,零点存在定理.
(1)已知,据此可得对称轴为,所以函数为偶函数,根据题意设,其中,由可求出的值,可得出函数的解析式;
(2)由可得,令,再根据二次函数的性质:分、、三种情况讨论,在第一种情况下,直接验证即可;在第二种情况下,直接利用零点存在定理可证得结论成立,综合可得出结论.
1 / 1浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024高一上·金华期末)(  )
A. B. C. D.
2.(2024高一上·金华期末)已知集合,,若,则实数可以为(  )
A.1 B.3 C.4 D.7
3.(2024高一上·金华期末)若对于任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是(  )
A. B. C. D.
4.(2024高一上·金华期末)哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物(哥哥的手和弟弟的手放在一起),哥哥用力为,弟弟用力为,若,且的夹角为120°时,保持平衡状态,则此时与重物重力之间的夹角为(  )
A.60° B.90° C.120° D.150°
5.(2024高一上·金华期末)“”是“函数的定义域为”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.(2024高一上·金华期末)已知函数,,是正实数.若存在唯一的实数,满足,则的最小值为(  )
A.46 B.48 C.52 D.64
7.(2024高一上·金华期末)某种废气需要经过严格的过滤程序,使污染物含量不超过20%后才能排放.过滤过程中废弃的污染物含量(单位:)与时间(单位:)之间的关系为,其中是原有废气的污染物含量(单位:),是正常数.若在前消除了20%的污染物,那么要达到排放标准至少经过(答案取整数)(  )
参考数据:,,,
A. B. C. D.
8.(2024高一上·金华期末)若实数,,满足,则(  )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.(2024高一上·金华期末)在中(  )
A.若,则 B.若,则
C. D.
10.(2024高一上·金华期末)已知()(  )
A.当时,的值域为 B.当时,
C.当时,是偶函数 D.当时,是奇函数
11.(2024高一上·金华期末)已知函数()的最小正周期为,则(  )
A.
B.函数在上为增函数
C.是的一个对称中心
D.函数的图像关于轴对称
12.(2024高一上·金华期末)已知函数,则(  )
A.函数是周期函数
B.函数有最大值和最小值
C.函数有对称轴
D.对于,函数单调递增
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2024高一上·金华期末)   0(填>或<).
14.(2024高一上·金华期末)函数(为月份),近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数,游客流量越大所需服务工作的人数越多,则可以推断,当   时,游客流量最大.
15.(2024高一上·金华期末)已知函数则方程的所有根之积为   .
16.(2024高一上·金华期末)若函数的值域为,则实数的最小值为   .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2024高一上·金华期末)计算下列各式的值:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
18.(2024高一上·金华期末)已知向量,.
(Ⅰ)若,求的坐标;
(Ⅱ)若,求与的夹角.
19.(2024高一上·金华期末)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期与对称轴方程;
(Ⅱ)当且时,求的值.
20.(2024高一上·金华期末)如图,在扇形中,半径,圆心角,是扇形弧上的动点,过作的平行线交于.记.
(Ⅰ)求的长(用表示);
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时角的大小.
21.(2024高一上·金华期末)已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论的单调性(不必给出证明);
(Ⅱ)当时,求的值域;
(Ⅲ)若存在,,使得,求的取值范围.
22.(2024高一上·金华期末)二次函数的最大值为,且满足,,函数().
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若存在,使得,且的所有零点构成的集合为,证明:.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解:.
故答案为:C.
【分析】本题考查特殊角对应的三角函数值,可直接得出结果.
2.【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:由,知,C不可能;
由,知且,否则中有元素1或者3,矛盾,即AB不可能;
当时,,符合题意,因此实数可以为7.
故答案为:D.
【分析】本题考查集合的交集运算,根据集合元素的互异性可得:,根据集合的交集运算可得:且,据此可选项正确答案.
3.【答案】A
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解:令函数,显然在上单调递减,,
因为任意,不等式恒成立,于是,
所以.
故答案为:A.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.不等式恒成立,可转化为:,应用二次函数的性质即可求解.
4.【答案】C
【知识点】向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解:根据力的平衡,的合力为,如图所示:
由于,且的夹角为,
则为等边三角形,则,
则与重物重力之间的夹角为.
故答案为:C.
【分析】本题考查向量的平行四边形法则.结合物理相关知识,作出图形,根据图形可得的合力为,利用三角形和向量夹角的知识可推出为等边三角形,结合图形可求出与重物重力之间的夹角.
5.【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数恒成立问题
【解析】【解答】解:函数的定义域为
则恒成立,即,解得,
故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故答案为:B.
【分析】根据函数的定义域为可得恒成立,根据可求出的取值范围,再利用充分条件和必要条件的定义可判断出答案.
6.【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解:根据函数,是正数,且存在唯一的实数,满足,可得,即,由,则,
所以,故,
故答案为:B.
【分析】本题考查利用不等式的性质求最值.已知函数,是正数,且存在唯一的实数,满足,结合二次函数的图象可得,据此可求出,利用,变形可得:,进而求出的最小值.
7.【答案】B
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解:由题有,设小时后污染物含量不超过,
则,解得,即至少经过29小时能达到排放标准.
故答案为:B.
【分析】本题考查函数模型的应用,指数式的与对数式的互化.将指数式转化为对数式,可求出的范围,进而求出答案.
8.【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解:设,则为偶函数,
设,则因为在上均为增函数,
故,故,
故在上为增函数,且为偶函数.
又,则,
即,当且仅当时取等号.
故,故.
故答案为:C.
【分析】本题考查函数的单调性.先构造函数,根据复合函数的单调性可得:在上为增函数,且为偶函数.又知,可变形为:,进而可转化为:,结合偶函数性质可得出答案.
9.【答案】A,C,D
【知识点】余弦函数的性质;诱导公式
【解析】【解答】解:A、在中,由余弦函数单调性可得,A正确;
B、若为钝角,为锐角,则,B错误;
C、,C正确;
D、,D正确.
故答案为:ACD.
【分析】本题考查余弦函数的单调性,三角函数的诱导公式.对A,大前提在中,所以,根据余弦函数的单调性判断;对B,举反例为钝角,为锐角,判断正切值得符号可判断;对CD,根据三角形内角和为可表示出:,,再结合三角函数的诱导公式可判断.
10.【答案】B,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合;幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解:A、当时,,此时的值域为,故A错误,
B、当时,在上单调递增,所以,B正确,
C、当时,,,所以是偶函数,C正确,
D、当时,,,则,,定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数,D错误,
故答案为:BC.
【分析】本题考查幂函数的性质和函数的奇偶性.将代入解析式,根据反比例函数的性质可求出值域;将代入解析式,根据幂函数的单调性可判断出在上单调递增,当时,先求出和的解析式,再结合函数奇偶性的定义可进行判断.
11.【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】解:A、,又最小正周期为,故,则,A错误;
B、,当时,,为正弦函数的单调递增区间,B正确;
C、,故不是的一个对称中心,C错误;
D、为偶函数,图像关于轴对称,D正确.
故答案为:BD.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用降幂升角公式和辅助角公式将解析式化为:,利用最小正周期公式可求出;对B,由可得:,结合正弦函数的单调性可进行判断;对C,根据即可进行判断;对D,求出的解析式,再利用函数的奇偶性即可进行判断.
12.【答案】B,C
【知识点】函数的最大(小)值;函数的奇偶性;奇偶函数图象的对称性;函数的周期性
【解析】【解答】解:因为,
C、因为,
所以,函数的图象关于直线对称,C正确;
D、因为,,故函数在上不单调,D错误;
B、因为函数的图象关于直线对称,
要求函数的最大值和最小值,只需求出函数在上的最大值和最小值即可,
设,
当时,,
令,因为函数在上单调递增,函数在上单调递增,
所以,函数在上单调递增,
当时,,
因为函数、在上均为增函数,
所以,函数在上为增函数,
所以,函数在上为增函数,
由对称性可知,函数在上为减函数,
故函数在处取得最大值,且,
故函数在处取得最小值,且最小值为,
当时,则,则函数在上为减函数,
对任意的、,且,则,,
则,由不等式的基本性质可得,
即,所以,函数在上单调递减,
又因为当时,函数取得最大值,
故函数仅在处取得最大值,
对任意的,,,
若,则,
若,则,则,则,
所以,.
综上所述,对任意的,,
又因为函数在上单调递减,
故当时,在处取得最小值,
综上所述,函数既有最大值,也有最小值,B正确;
A、由C选项可知,函数仅在处取得最大值,
若函数是以为周期的周期函数,则,与题意矛盾,
故函数不可能是周期函数,A错误.
故答案为:BC.
【分析】本题考查函数的周期性,最值,对称性和单调性.利用诱导公式可将解析式化简为:,通过计算可知:,利用函数对称性的定义可判断出函数的图象关于直线对称;先判断函数在上的单调性,结合函数最值的定义可可求出函数的最值;利用特殊值法再区间取两个特殊值,计算函数值:,,故函数在上不单调,进而判断D选项;利用反证法:先设函数是以为周期的周期函数,再结合B选项中的结论:函数仅在处取得最大值,所以,推出矛盾,进而判断A选项.
13.【答案】>
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解:,故2对应的角度终边在第二象限,则;
故答案为:.
【分析】本题考查三角函数符号的判断.因为,所以,故2对应的角度终边在第二象限,然后根据正弦函数在每个象限的符号分析可得出结论.
14.【答案】8
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解:因为,
所以,
所以当,即时,取最大值,
所以时,取最大值,
又游客流量越大所需服务工作的人数越多,
所以时,游客流量最大.
故答案为:8.
【分析】本题考查余弦函数的性质.已知,可求出的范围,再根据余弦函数性质可得出:,取得最大值,解方程可求出最大值时的值.
15.【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解:令,由可得,
当时,由,即,则,即方程无解;
当时,由,可得或.
(1)当时,当时,由可得,
解得,,
当时,由可得,;
(2)当时,当时,由可得,
,方程无解,
当时,由可得,,
因此,方程的所有根之积为.
故答案为:.
【分析】本题考查分段函数的应用.采用换元法令,由可得,进而讨论当时,方程的根的情况;讨论当时,方程的根的情况,解得:或;再分段讨论或可求出方程的根,再将所有根全部相乘,可得出答案.
16.【答案】-2
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解:根据题意,函数的定义域为,
因为的值域为,
所以在上恒成立,
当时,则,则,
此时必有,变形可得,
当时,则,则,
此时必有,变形可得,
综合可得:在上恒成立,
设,,
则,
因为,所以且,
由基本不等式可得,
即,所以,
因为在上恒成立,
所以,解得,
故实数的最小值为.
故答案为:.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.已知函数的值域为,故原问题可转化为:在上恒成立,通过分离常数可得:在上恒成立,令,利用基本不等式求出最值,进而求出K的最小值.
17.【答案】解:(Ⅰ)原式
(Ⅱ)原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质;对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查对数的运算法则,对数恒等式,指数幂的运算法则.
(1)利用对数的运算法可求出答案,,可变形为:,利用对数的运算性质可求出答案,利用对数恒等式可求出答案;
(2)可改写成:,再利用平方差公式进行分解,可还原成立方差公式,可使用完全平方公式进行展开,再结合指数幂的运算法则可求出答案.
18.【答案】解:(Ⅰ)由题意,设.
,,
,或.
(Ⅱ),,
,.
设与的夹角为,则.
又,,与的夹角为
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】
(1)设,利用向量的模长公式可得到方程:,解方程可求出的坐标;
(2)根据垂直向量数量积为0,可得:,进而求出,代入向量的夹角公式可求出答案.
19.【答案】解:由题设有.
(Ⅰ)函数的最小正周期是.
对称轴,
(Ⅱ)由得,即,
因为,所以.
若.则与,矛盾

从而.
于是
【知识点】两角和与差的正弦公式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质,两角和的正弦公式.
(1)利用降幂升角公式和辅助角公式可化简出的解析式:,利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期,利用正弦型函数的对称轴公式:可得出函数的对称轴方程;
(2)由已知条件可求出的值,利用同角三角函数的基本关系求出的值,再利用两角和的正弦公式可求得的值.
20.【答案】解:(Ⅰ)过,作的垂线,垂足分别为,,
则,,,

(Ⅱ)

,,
,即时,
因此,当时,面积的最大值为
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值;任意角三角函数的定义
【解析】【分析】本题考查三角函数的定义,三角函数的值域.
(1)过,作的垂线,垂足分别为,,根据直角三角形的三角函数可表示出,,
根据可求出答案;
(2)由化简可得:,又知,可得,结合正弦函数的图象和性质可求出 面积的最大值 ,进而得出答案.
21.【答案】解:(Ⅰ)当时,在上单调递增;
(Ⅱ)当时,,当且仅当时取等号;
所以的值域为.
(Ⅲ)令,则问题等价于存在,,使得
令,因为在有两个零点,
故解得.
由韦达定理和根的定义可知:,.
又因为,故的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间;基本不等式在最值问题中的应用;函数零点存在定理
【解析】【分析】本题考查函数的单调性,函数零点与方程的根,基本不等式的应用.
(1)当时,,结合函数和的单调性,可得出函数的单调性;
(2)当时,,观察函数解析积为定值,使用基本不等式可求出函数的值域.
(3)采用换元法令,原问题可转化为:存在,,使得,令,根据二次函数的零点存在性问题可列出式子:,可解得:,再根据韦达定理进行变形,可求出答案.
22.【答案】解:(Ⅰ)由可得,对称轴为,
最大值为可设(),又因为,
所以,所以.
(Ⅱ)因为,所以().
由,化简可得
即.
令,
由判别式,可知在上有解
①当时,,此时
②当时,,此时
③当时,的对称轴是,
在区间上有一根为;
在区间上有一根为.
此时.
综合①②③,成立
【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的奇偶性;函数零点存在定理
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性,待定系数法求函数解析式,零点存在定理.
(1)已知,据此可得对称轴为,所以函数为偶函数,根据题意设,其中,由可求出的值,可得出函数的解析式;
(2)由可得,令,再根据二次函数的性质:分、、三种情况讨论,在第一种情况下,直接验证即可;在第二种情况下,直接利用零点存在定理可证得结论成立,综合可得出结论.
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